（廣西課標版）2020版高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練20 坐標系與參數(shù)方程（選修4-4） 文

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1、專題能力訓練20　坐標系與參數(shù)方程(選修4—4) 一、能力突破訓練 1.在平面直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為x=1+3cost,y=-2+3sint(t為參數(shù)).在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸非負半軸為極軸)中,直線l的方程為2ρsinθ-π4=m(m∈R). (1)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程; (2)設圓心C到直線l的距離等于2,求m的值. 2.(2019全國Ⅲ,文22)如圖,在極坐標系Ox中,A(2,0),B2,π4,C2,3π4,D(2,π),弧AB,BC,CD所在圓的圓心分別是(1,0),

2、1,π2,(1,π),曲線M1是弧AB,曲線M2是弧BC,曲線M3是弧CD. (1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標方程; (2)曲線M由M1,M2,M3構成,若點P在M上,且|OP|=3,求P的極坐標. 3.(2019甘肅白銀聯(lián)考,22)在平面直角坐標系xOy中,直線l的方程為3x+y+a=0,曲線C的參數(shù)方程為x=3cosθ,y=1+3sinθ(θ為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求直線l和曲線C的極坐標方程; (2)若直線θ=π6(ρ∈R)與直線l的交點為M,與曲線C的交點為A,B,且點M恰好為線段AB的中點

3、,求a. 4.(2018全國Ⅰ,文22)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求C2的直角坐標方程; (2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程. 5.在極坐標系中,曲線C的極坐標方程為ρsin2θ-cos θ=0,點M1,π2.以極點O為原點,以極軸為x軸正半軸建立直角坐標系.斜率為-1的直線l過點M,且與曲線C交于A,B兩點. (1)求出曲線C的直角坐標方程和直線l的參數(shù)方程; (2)求點M到A,B

4、兩點的距離之積. 二、思維提升訓練 6.(2019湖南常德檢測,22)在平面直角坐標系xOy中,已知直線C:x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù)),圓M:x2+y2-4x=0.以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系. (1)寫出直線C與圓M的極坐標方程; (2)在極坐標系中,已知射線l:θ=α(ρ>0)分別與直線C及圓M相交于A,B兩點,當α∈0,π2時,求S△OMBS△OMA的最大值. 7.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+2t,y=2t(t為參數(shù)),以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方

5、程是ρ=sinθ1-sin2θ. (1)寫出直線l的極坐標方程與曲線C的直角坐標方程; (2)若點P是曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的最小值,并求出點P的坐標. 8.(2019山東青島檢測,22)在平面直角坐標系xOy中,直線l經(jīng)過點P(0,3),且傾斜角為α,以原點O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,圓C的極坐標方程為ρ2-4ρcosθ-π3-1=0. (1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的直角坐標方程; (2)設直線l與圓C交于M,N兩點,若||PM|-|PN||=2,求直線l的傾斜角的α值. 專題能力訓練20　坐標系與參數(shù)方程(選修4—

6、4) 一、能力突破訓練 1.解(1)消去參數(shù)t,得到圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9.由2ρsinθ-π4=m, 得ρsinθ-ρcosθ-m=0. 所以直線l的直角坐標方程為x-y+m=0. (2)依題意,圓心C到直線l的距離等于2, 即|1-(-2)+m|2=2,解得m=-3±22. 2.解(1)由題設可得,弧AB,BC,CD所在圓的極坐標方程分別為ρ=2cosθ,ρ=2sinθ,ρ=-2cosθ. 所以M1的極坐標方程為ρ=2cosθ0≤θ≤π4,M2的極坐標方程為ρ=2sinθπ4≤θ≤3π4,M3的極坐標方程為ρ=-2cosθ3π4≤θ≤π. (2)設

7、P(ρ,θ),由題設及(1)知 若0≤θ≤π4,則2cosθ=3,解得θ=π6; 若π4≤θ≤3π4,則2sinθ=3,解得θ=π3或θ=2π3; 若3π4≤θ≤π,則-2cosθ=3,解得θ=5π6. 綜上,P的極坐標為3,π6或3,π3或3,2π3或3,5π6. 3.解(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入3x+y+a=0中,得直線l的極坐標方程3ρcosθ+ρsinθ+a=0. 在曲線C的參數(shù)方程中,消去θ,可得x2+(y-1)2=9,即x2+y2-2y-8=0. 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+y2-2y-8=0中, 得曲線C的極坐標方程為ρ2-2ρsin

8、θ-8=0. (2)在極坐標系中,由已知可設Mρ1,π6,Aρ2,π6,Bρ3,π6, 聯(lián)立θ=π6,ρ2-2ρsinθ-8=0,可得ρ2-ρ-8=0,所以ρ2+ρ3=1. 因為點M恰好為AB的中點,所以ρ1=12,即M12,π6. 把M12,π6代入3ρcosθ+ρsinθ+a=0,得34+14+a=0,所以a=-1. 4.解(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設知,C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2,由于B

9、在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點. 當l1與C2只有一個公共點時,A到l1所在直線的距離為2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-43時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點. 當l2與C2只有一個公共點時,A到l2所在直線的距離為2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=43時,l2與C2沒有公共點. 綜上,所求C1的方程為y=-43

10、|x|+2. 5.解(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ, 由ρsin2θ-cosθ=0,得ρ2sin2θ=ρcosθ. 所以y2=x即為曲線C的直角坐標方程. 點M的直角坐標為(0,1), 直線l的傾斜角為3π4, 故直線l的參數(shù)方程為 x=tcos3π4,y=1+tsin3π4(t為參數(shù)),即x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù)). (2)把直線l的參數(shù)方程x=-22t,y=1+22t(t為參數(shù))代入曲線C的方程得1+22t2=-22t, 即t2+32t+2=0,Δ=(32)2-4×2=10>0. 設A,B對應的參數(shù)分別為t1,t2, 則t1+t2=-32,t1·t

11、2=2. 又直線l經(jīng)過點M,故由t的幾何意義得 點M到A,B兩點的距離之積 |MA|·|MB|=|t1||t2|=|t1·t2|=2. 二、思維提升訓練 6.解(1)直線C的普通方程為x+y=1,由普通方程與極坐標方程的互化公式可得C的極坐標方程為ρ(cosθ+sinθ)=1,即ρsinθ+π4=22. 圓M的極坐標方程為ρ=4cosθ. (2)因為△OBM與△OAM都是以點M為頂點,所以底邊OB與OA上的高相同,即S△OMBS△OMA=|OB||OA|. 由(1)知,|OA|=ρA=1sinα+cosα,|OB|=ρB=4cosα, 所以|OB||OA|=4cosα(sin

12、α+cosα)=2sin2α+4cos2α=2(1+sin2α+cos2α) =2+22sin2α+π4. 由0<α<π2,得π4<2α+π4<5π4. 所以當2α+π4=π2,即α=π8時,|OB||OA|有最大值為2+22. 因此S△OMBS△OMA的最大值為2+22. 7.解(1)由x=1+2t,y=2t,得x-y=1, 故直線l的極坐標方程為ρcosθ-ρsinθ=1, 即2ρcosθcosπ4-sinθsinπ4=1, 即2ρcosθ+π4=1. ∵ρ=sinθ1-sin2θ, ∴ρ=sinθcos2θ, ∴ρcos2θ=sinθ, ∴(ρcosθ)2=ρsi

13、nθ, 即曲線C的直角坐標方程為y=x2. (2)設P(x0,y0),y0=x02,則P到直線l的距離d=|x0-y0-1|2=|x0-x02-1|2=-x0-122-342=x0-122+342. ∴當x0=12時,dmin=328,此時P12,14. ∴當點P的坐標為12,14時,P到直線l的距離最小,最小值為328. 8.解(1)因為直線l經(jīng)過點P(0,3),且傾斜角為α, 所以直線l的參數(shù)方程為x=tcosα,y=3+tsinα(t為參數(shù)). 因為圓C的極坐標方程為ρ2-4ρcosθ-π3-1=0,所以ρ2-2ρcosθ-23ρsinθ-1=0, 所以x2+y2-2x-23y-1=0, 所以圓C的直角坐標方程為(x-1)2+(y-3)2=5. (2)把直線l的參數(shù)方程x=tcosα,y=3+tsinα(t為參數(shù))代入圓C的方程,得(tcosα-1)2+(tsinα)2=5, 整理得t2-2tcosα-4=0. 設M,N兩點對應的參數(shù)分別為t1,t2,則Δ>0恒成立,且t1+t2=2cosα,t1t2=-4<0. 所以||PM|-|PN||=|t1+t2|=|2cosα|=2. 所以cosα=±22. 因為0≤α<π,所以α=π4或α=3π4. 9