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1、第三章 直線與方程測評
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.直線x-3y-1=0的傾斜角α的大小為( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析直線x-3y-1=0的斜率為k=33,故tanα=33.∵0°≤α<180°,∴α=30°.
答案A
2.若直線l1:2x-ay-1=0過點(1,1),則直線l1與l2:x+2y=0的位置關(guān)系為( )
A.平行 B.相交但不垂直
C.垂直 D.相交于點(2,-1)
解析
2、因為直線l1:2x-ay-1=0過點(1,1),所以2-a-1=0,解得a=1,所以直線l1的方程為2x-y-1=0,其斜率k1=2,因為l2:x+2y=0,其斜率k2=-12,所以k1·k2=2×-12=-1,所以l1與l2垂直,故選C.
答案C
3.如圖,在同一直角坐標(biāo)系中,表示直線y=ax與y=x+a正確的是( )
解析當(dāng)a>0時,A,B,C,D均不成立;當(dāng)a<0時,只有C成立,故選C.
答案C
4.過點P(1,2),且與原點距離最大的直線方程是( )
A.x+2y-5=0
B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0
D.3x+y-5=0
解析方法一:因為
3、選項的四條直線都過P點,且原點到選項A、B、C、D所表示的直線的距離分別為dA=55=5,dB=45,dC=710,dD=510,所以dD
4、+y+C=0,
則|C+3|5=5,解得C=2或C=-8.所以所求直線方程為2x+y+2=0或2x+y-8=0.
答案C
6.若直線xm+yn=1與直線5x-7y+1=0相互平行,則mn等于( )
A.-75 B.75 C.-57 D.57
解析直線xm+yn=1的斜率為-nm,由兩直線平行得-nm=57,即mn=-75.
答案A
7.若直線l1:y=kx+1與l2:x-y-1=0的交點在第一象限內(nèi),則k的取值范圍是( )
A.k>1 B.-11 D.k<-1
解析由y=kx+1,x-y-1=0,解得x=21-k,y=1+k1-k,∵兩直線的
5、交點在第一象限,∴21-k>0,1+k1-k>0,解得-1
6、x-3y+8=0
解析設(shè)所求直線的方程為xa+yb=1(a>0,b>0),則有12ab=6,且1a+3b=1.由12ab=6,1a+3b=1,解得a=2,b=6.
故所求直線的方程為x2+y6=1,即3x+y-6=0.
答案A
10.過點(2,4)可作在x軸,y軸上的截距相等的直線條數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析當(dāng)在x軸,y軸上的截距相等且為0時,直線過原點,方程為y=2x;當(dāng)截距不為0時,設(shè)直線方程為xa+ya=1,又直線過點(2,4),所以方程為x+y-6=0;所以有兩條直線滿足題意.故選B.
答案B
11.將一張坐標(biāo)紙折疊一次,使點(10,0)與(-6
7、,8)重合,則與點(-4,2)重合的點是( )
A.(4,-2) B.(4,-3)
C.3,32 D.(3,-1)
解析由已知知以(10,0)和(-6,8)為端點的線段的垂直平分線的方程為y=2x,則(-4,2)關(guān)于直線y=2x的對稱點即為所求點.設(shè)所求點為(x0,y0),則y0-2x0+4=-12,y0+22=2·x0-42,解得x0=4,y0=-2.
答案A
12.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四個結(jié)論正確的個數(shù)是( )
①AB∥CD;②AB⊥AD;③|AC|=|BD|;④AC⊥BD.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析①∵kA
8、B=-4-26+4=-35,kCD=12-62-12=-35,
∴AB∥CD;
②∵kAB=-35,kAD=12-22+4=53,
∴kAB·kAD=-1,∴AB⊥AD;
③∵|AC|=(12+4)2+(6-2)2=417,|BD|=(2-6)2+(12+4)2=417,∴|AC|=|BD|;
④∵kAC=6-212+4=14,kBD=12+42-6=-4,
∴kAC·kBD=-1,∴AC⊥BD.
綜上知,①②③④均正確.故選D.
答案D
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)
13.直線y=5x+3繞其與y軸的交點旋轉(zhuǎn)90°的直線方程是
9、 .?
解析當(dāng)x=0時,y=3,因為旋轉(zhuǎn)后的直線的斜率k=-15,所以直線方程為y=-x5+3,即x+5y-15=0.
答案x+5y-15=0
14.若傾斜角為45°的直線m被平行線l1:x+y-1=0與l2:x+y-3=0所截得的線段為AB,則AB的長為 .?
解析由題意可得,直線m與直線l1,l2垂直,則由兩平行線間的距離公式得|AB|=|-1-(-3)|12+12=2.
答案2
15.已知光線通過點M(-3,4),被直線l:x-y+3=0反射,反射光線通過點N(2,6),則反射光線所在直線的方程是 .?
解析∵光線通過點M(-3,4)
10、,設(shè)點M關(guān)于直線l:x-y+3=0的對稱點K(x,y),
∴y-4x+3=-1,x-32-y+42+3=0,解得x=1,y=0,即K(1,0).
∵N(2,6),∴直線NK的斜率為6,
∴反射光線所在直線的方程是6x-y-6=0.
答案6x-y-6=0
16.在函數(shù)y=4x2的圖象上求一點P,使P到直線y=4x-5的距離最短,則P點的坐標(biāo)為 .?
解析直線方程化為4x-y-5=0.
設(shè)P(a,4a2),則點P到直線的距離為
d=|4a-4a2-5|42+(-1)2=-4a-122-417=4a-122+417.
當(dāng)a=12時,點P12,1到直線的距離最短,最短距離為41717
11、.
答案12,1
三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本小題滿分10分)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC邊的中點M在y軸上,BC邊的中點N在x軸上,求:
(1)頂點C的坐標(biāo).
(2)直線MN的方程.
解(1)設(shè)C(x0,y0),則AC邊的中點M的坐標(biāo)為x0+52,y0-22,BC邊的中點N的坐標(biāo)為x0+72,y0+32,
因為點M在y軸上,所以x0+52=0,解得x0=-5.
又因為點N在x軸上,所以y0+32=0,
所以y0=-3.即點C的坐標(biāo)為(-5,-3).
(2)由(1)可得M0,-52,N
12、(1,0),
所以直線MN的方程為x1+y-52=1,即5x-2y-5=0.
18.(本小題滿分12分)已知兩條直線l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,當(dāng)m為何值時,l1與l2:
(1)相交;(2)平行;(3)重合?
解當(dāng)m=0時,l1:x+6=0,l2:x=0,故l1∥l2.
當(dāng)m=2時,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0,故l1與l2相交.當(dāng)m≠0,且m≠2時,由1m-2=m23m,得m=-1或m=3;
由1m-2=62m,得m=3.
故(1)當(dāng)m≠-1,且m≠3,且m≠0時,l1與l2相交.
(2)當(dāng)m=-1或m=0時,l1∥l2.
13、(3)當(dāng)m=3時,l1與l2重合.
19.(本小題滿分12分)已知直線l的方程為2x-y+1=0.
(1)求過點A(3,2),且與l垂直的直線的方程;
(2)求與l平行,且到點P(3,0)的距離為5的直線的方程.
解(1)直線l的斜率為2,故所求直線的斜率為-12,
因為所求直線過點A(3,2),故所求直線方程為y-2=-12(x-3),即x+2y-7=0.
(2)依題意設(shè)所求直線方程為2x-y+c=0,
點P(3,0)到該直線的距離為5,
有|6+c|22+(-1)2=5,解得c=-1或c=-11,
故所求直線方程為2x-y-1=0或2x-y-11=0.
20.(本小題滿
14、分12分)已知方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y+6-2m=0(m∈R).
(1)求該方程表示一條直線的條件;
(2)當(dāng)m為何實數(shù)時,方程表示的直線斜率不存在?求出這時的直線方程;
(3)已知方程表示的直線l在x軸上的截距為-3,求實數(shù)m的值;
(4)若方程表示的直線l的傾斜角是45°,求實數(shù)m的值.
解(1)當(dāng)x,y的系數(shù)不同時為零時,方程表示一條直線,
令m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3;
令2m2+m-1=0,解得m=-1或m=12.
所以方程表示一條直線的條件是m∈R且m≠-1.
(2)由(1)易知,當(dāng)m=12時,方程表示的直線的斜率不存在,
此
15、時的方程為x=43,它表示一條垂直于x軸的直線.
(3)依題意,有2m-6m2-2m-3=-3,所以3m2-4m-15=0,
所以m=3或m=-53,由(1)知所求m=-53.
(4)因為直線l的傾斜角是45°,所以直線l的斜率為1,
故由-m2-2m-32m2+m-1=1,所以3m2-m-4=0,解得m=43或m=-1(舍去).
所以直線l的傾斜角為45°時,m=43.
21.(本小題滿分12分)等腰直角三角形斜邊所在直線的方程是3x-y=0,一條直角邊所在的直線l的斜率為12,且經(jīng)過點(4,-2),且此三角形的面積為10,求此等腰直角三角形的直角頂點的坐標(biāo).
解設(shè)直角頂點為C
16、,C到直線3x-y=0的距離為d.
則12·d·2d=10,解得d=10.∵直線l的斜率為12,∴直線l的方程為y+2=12(x-4),
即x-2y-8=0.
設(shè)l'是與直線3x-y=0平行且距離為10的直線,則l'與l的交點就是點C.設(shè)l'的方程是3x-y+m=0,則|m|32+(-1)2=10,
解得m=±10,∴l(xiāng)'的方程是3x-y±10=0,
由方程組x-2y-8=0,3x-y-10=0及x-2y-8=0,3x-y+10=0,
得點C坐標(biāo)是125,-145或-285,-345.
22.(本小題滿分12分)為了綠化城市,擬在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)建一個矩形草坪,其中在
17、△AEF區(qū)域內(nèi)有一文物保護區(qū)不能被占用.經(jīng)測量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪面積最大?并求出草坪的最大面積.
解建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則E(30,0),F(0,20),線段EF的方程為x30+y20=1(0≤x≤30).
在線段EF上取點P(m,n),作PQ⊥BC于點Q,作PR⊥CD于點R,設(shè)矩形草坪PQCR的面積為Sm2,則S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又m30+n20=1(0≤m≤30),所以n=20-23m,
于是S=(100-m)80-20+23m
=-23(m-5)2+180503(0≤m≤30),
所以當(dāng)m=5時,Smax=180503,
此時|EP|=30-55|PF|=5|PF|.
故當(dāng)矩形草坪的一組鄰邊分別在BC,CD上,其中一個頂點P在線段EF上,且滿足|EP|=5|PF|時,面積最大,最大面積為180503m2.
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2019屆高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程測評（含解析）新人教A版必修2
