(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題16 定積分與微積分基本定理(含解析)

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1、專題16 定積分與微積分基本定理 一、【知識精講】 1.定積分的概念與幾何意義 (1)定積分的定義 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),用分點將區(qū)間[a,b]等分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間上任取一點ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=f(ξi),當(dāng)n→∞時,上述和式無限接近于某個常數(shù),這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分,記作f(x)dx,即f(x)dx= 在f(x)dx中,a,b分別叫做積分下限與積分上限,區(qū)間[a,b]叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式. (2)定積分的幾何意義 f(x) f(x)

2、dx的幾何意義 f(x)≥0 表示由直線x=a,x=b,y=0及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積 f(x)<0 表示由直線x=a,x=b,y=0及曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù) f(x)在[a,b]上有正有負(fù) 表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積 2.定積分的性質(zhì) (1)kf(x)dx=kf(x)dx(k為常數(shù)). (2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx±f2(x)dx. (3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b). 3.微積分基本定理 一般地,如果f(x)是在區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函

3、數(shù),且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a).這個結(jié)論叫做微積分基本定理,又叫做牛頓—萊布尼茨公式.可以把F(b)-F(a)記為F(x),即f(x)dx=F(x))=F(b)-F(a). [微點提醒] 函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-a,a]上連續(xù),則有 (1)若f(x)為偶函數(shù),則f(x)dx=2f(x)dx. (2)若f(x)為奇函數(shù),則f(x)dx=0. 二、【典例精練】 考點一 定積分的計算 【例1】 (1)(cos x+1)dx=________. (2) (2012山東)設(shè),若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為,則 . 【答案】 (1)π (2) 【

4、解析】(1)(cos x+1)dx=(sin x+x)=π. (2)【解析】,解得. 【解法小結(jié)】 運用微積分基本定理求定積分時要注意以下幾點: (1)對被積函數(shù)要先化簡,再求積分; (2)若被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分,依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”,先分段積分再求和; (3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù),要先去掉絕對值符號再求積分. 考點二 定積分的幾何意義  角度1 利用定積分的幾何意義計算定積分 【例2-1】 (1)計算:(2x+)dx=________. (2) (2013福建)當(dāng)時,有如下表達(dá)式: 兩邊同時積分得: 從而得到如下等式: 請根據(jù)以下材料所蘊含的數(shù)學(xué)

5、思想方法,計算: =. 【答案】 (1)+1 (2) 【解析】 (1)由定積分的幾何意義知, dx表示以原點為圓心,以1為半徑的圓的面積的,所以 dx=,又2xdx=x2=1,所以(2x+)dx=+1. (2)由 兩邊同時積分得: 從而得到如下等式: =. 答案角度2 利用定積分計算平面圖形的面積 【例2-2】 (2014山東)直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為( ) A. B. C.2 D.4 【答案】D 【解析】由得,、或(舍去),直線與曲線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積. 【解法小結(jié)】 1.運用定積分的幾何意

6、義求定積分,當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不易找到時常用此方法求定積分. 2.利用定積分求曲邊梯形面積的基本步驟:畫草圖、解方程得積分上、下限,把面積表示為已知函數(shù)的定積分(注意:兩曲線的上、下位置關(guān)系,分段表示的面積之間的關(guān)系). 考點三 定積分在物理中的應(yīng)用 【例3】 (1)物體A以v=3t2+1(m/s)的速度在一直線l上運動,物體B在直線l上,且在物體A的正前方5 m處,同時以v=10t(m/s)的速度與A同向運動,出發(fā)后,物體A追上物體B所用的時間t(s)為(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點M上,使M沿x軸正向從x=1運動到x=10,已

7、知F(x)=x2+1且方向和x軸正向相同,則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為________ J(x的單位:m,力的單位:N). 【答案】 (1)C (2)342 【解析】(1)因為物體A在t秒內(nèi)行駛的路程為(3t2+1)dt,物體B在t秒內(nèi)行駛的路程為10tdt. 所以(3t2+1-10t)dt=(t3+t-5t2)=t3+t-5t2=5. 整理得(t-5)(t2+1)=0,解得t=5. (2)變力F(x)=x2+1使質(zhì)點M沿x軸正向從x=1運動到x=10所做的功為 W=F(x)dx=(x2+1)dx==342(J). 【解法小結(jié)】 定積分在物理中的兩個應(yīng)用 (1)變速直線運動

8、的位移:如果變速直線運動物體的速度為v=v(t),那么從時刻t=a到t=b所經(jīng)過的位移s=v(t)dt. (2)變力做功:一物體在變力F(x)的作用下,沿著與F(x)相同方向從x=a移動到x=b時,力F(x)所做的功是W=F(x)dx. 【思維升華】 1.定積分是一個數(shù)值(極限值),它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限,而與積分變量用什么字母表示無關(guān). 2.f(x)dx、|f(x)|dx與|f(x)dx|在幾何意義上有不同的含義,由于被積函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可正可負(fù),也就是它的圖象可以在x軸上方、也可以在x軸下方、還可以在x軸的上下兩側(cè),所以f(x)dx表示由x軸、函數(shù)

9、f(x)的曲線及直線x=a,x=b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和;而|f(x)|是非負(fù)的,所以|f(x)|dx表示在區(qū)間[a,b]上所有以|f(x)|為曲邊的正曲邊梯形的面積;而|f(x)dx|則是f(x)dx的絕對值,三者的值一般情況下是不相同的. 【易錯注意點】 1.若定積分的被積函數(shù)是分段函數(shù),應(yīng)分段積分然后求和. 2.若積分式子中有幾個不同的參數(shù),則必須先分清誰是被積變量. 3.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積,但要注意:面積非負(fù),而定積分的結(jié)果可以為負(fù). 三、【名校新題】 1.(2019·西安調(diào)研)定積分(2x+ex)dx的值為(  ) A.e+2 B.e+1

10、 C.e D.e-1 【答案】C 【解析】 (2x+ex)dx=(x2+ex))=1+e1-1=e. 2.(2019·鄭州模擬)汽車以v=(3t+2) m/s做變速運動時,在第1 s至第2 s之間的1 s內(nèi)經(jīng)過的路程是(  ) A. m B.6 m C. m D.7 m 【答案】A 【解析】 s=(3t+2)dt==×4+4-=10-=(m). 3.(2018·青島月考)直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積S,正確的是(  ) A.S=(4x-x3)dx B.S=(x3-4x)dx C.S=dy D.S=dy 【答案】A 【解析】

11、 兩函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)是(0,0),(2,8),故對x積分時,積分上限是2、下限是0,由于在[0,2]上,4x≥x3,故直線y=4x與曲線y=x3所圍成的封閉圖形的面積 S=(4x-x3)dx. 4.(2019·安陽模擬)若a=x2dx,b=x3dx,c=sin xdx,則a,b,c的大小關(guān)系是(  ) A.a

12、2dx,T=0Msin 2xdx,則T的值為(  )                      A.12 B.-12 C.-1 D.1 【答案】 A  【解析】先求出M=π4,∴T=0π4sin2xdx=-12cosπ2-1=12 6.(2019屆山東日照一中第二次質(zhì)量達(dá)標(biāo)檢測)在函數(shù)y=cos x,x∈-π2,π2的圖象上有一點P(t,cos t),若該函數(shù)的圖象與x軸、直線x=t,圍成圖形(如圖陰影部分)的面積為S,則函數(shù)S=g(t)的圖象大致是(  ) 【答案】 B  【解析】因為g(t)=-π2tcostdt=sint+1,所以圖像是B. 7.(2019屆吉林

13、長春實驗中學(xué)上學(xué)期期中,6)設(shè)f(x)=1π1-x2,x∈[0,1],2-x,x∈(1,2],則02f(x)dx等于(  ) A.34 B.45 C.56 D.0 【答案】 A  【解析】原式=011π1-x2dx+122-xdx=1π×π4+2×2-222-2×1-12=34 8.(2018山東菏澤第一次模擬)若3x+1xxn(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項,且n的最小值為a, 則-aaa2-x2dx=(  ) A.36π B.81π2 C.25π2 D.25π 【答案】 C  【解析】可求出a=5,由定積分的幾何意義知:所求定積分為半徑為5的半圓的面積,為12π×52=25

14、π2. 9.(荊州市2019屆高三聯(lián)考) 已知函數(shù),若函數(shù) 的零點都在區(qū)間 內(nèi),當(dāng)取最小值時,等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】:B 【解析】 ,可知當(dāng)時,成立,又 ,可知當(dāng)時,成立,所以對任意,,單調(diào)遞增,所以函數(shù)只有一個零點,,,所以的零點位于區(qū)間,所以函數(shù) 的零點位于區(qū)間,即,所以 10.(2019·昆明診斷)若x2dx=9,則常數(shù)a的值為________. 【答案】-3 【解析】 x2dx=x3=-a3=9,∴a3=-27,a=-3. 11.(2019·濟南模擬)設(shè)a>0,若曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2

15、,則a=________. 【答案】  【解析】封閉圖形如圖所示,則dx=x=a-0=a2,解得a=. 12.(2019·廣州調(diào)研)設(shè)f(x)=則f(x)dx的值為________. 【答案】?。? 【解析】 f(x)dx=dx+(x2-1)dx =π×12+=+. 13.(2019·長春模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,將直線y=x與直線x=1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐,圓錐的體積V圓錐=πx2dx=x3=.據(jù)此類比:將曲線y=2 ln x與直線y=1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體,該旋轉(zhuǎn)體的體積V=________. 【答案】π(e-

16、1) 【解析】 類比已知結(jié)論,將曲線y=2ln x與直線y=1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)為一定積分,被積函數(shù)為π(e)2=πey,積分變量為y,積分區(qū)間為[0,1],即V=πeydy=πey=π(e-1). 14.(2019屆安徽皖南八校第一次聯(lián)考)用min{a,b}表示a,b兩個數(shù)中的最小數(shù),設(shè)f(x)=min1x,xx≥14,則由函數(shù)f(x)的圖象,x軸,直線x=14和直線x=2所圍成的封閉圖形的面積為    .? 【答案】 712+ln 2 【解析】S=141xdx+121xdx=231-1432+ln2-ln1=712+ln2. 15.(2019屆江西新余第四中學(xué)月考)由x=-π3,x=π3,y=0,y=cos x四條曲線所圍成的封閉圖形的面積為    .? 【答案】 3 【解析】因為函數(shù)y=cosx在-π3,π3上為偶函數(shù),所以所求面積S=20π3cosxdx=2sinπ3=3 16.(黃山市普通高中2019屆高三“八校聯(lián)考”)二項式的展開式中的系數(shù)為,則________. 【答案】23 【解析】由題意可求出a=1,∴01xdx=23×1=23 8

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