2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第七單元 第38講 直線平面垂直的判定與性質(zhì)練習(xí) 理 新人教A版

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1、第38講 直線平面垂直的判定與性質(zhì) 1.已知平面α,β,γ和直線l,m,且l⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,給出下列四個(gè)結(jié)論: ①β⊥γ;②l⊥α;③m⊥β;④α⊥β. 其中正確的是 (　　) A.①④ B.②④ C.②③ D.③④ 2.已知m和n是兩條不同的直線,α和β是兩個(gè)不重合的平面,下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是 (　　) A.α⊥β且m?α B.α⊥β且m∥α C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且n∥β 3.如圖K38-1所示,在正四面體P-ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點(diǎn),下面四個(gè)結(jié)論中不正確的是 (　　) 圖K38-1 A

2、.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面PAE D.平面PDE⊥平面ABC 4.如圖K38-2,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為　　　　.? 5.已知m,n是兩條不相同的直線,α,β是兩個(gè)不重合的平面,現(xiàn)給出以下說法: ①若α∥β,n?α,m?β,則m∥n; ②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,則n⊥β; ③若m∥α,n∥β,α⊥β,則m⊥n; ④若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n. 其中正確說法的序號為　　　　.? 圖K38-2 6.如圖K38-3,以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕,把△ABD和△ACD折成互

3、相垂直的兩個(gè)平面后,某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論: ①BD⊥AC; ②△BAC是等邊三角形; ③三棱錐D-ABC是正三棱錐; ④平面ADC⊥平面ABC. 其中正確的結(jié)論是 (　　) 圖K38-3 A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 7.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,AB=4,若在棱AB上存在點(diǎn)P,使得D1P⊥PC,則AD的取值范圍是 (　　) A.(0,1] B.(0,2] C.(1,3] D.[1,4) 8.設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中為真命題的是 (　　) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l⊥α,l⊥β,則

4、α∥β C.若l⊥α,l∥β,則α∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β 9.[2018·福建泉州質(zhì)檢] 如圖K38-4,在下列四個(gè)正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別為所在棱的中點(diǎn),過E,F,G作正方體的截面,則在各個(gè)正方體中,直線BD1與平面EFG不垂直的是 (　　) AB CD 圖K38-4 10.如圖K38-5所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=1,將△ACD沿AC折起,使得D折起后的位置為D1,且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上,在四面體D1-ABC的四個(gè)面中,若有n對平面相互垂直,則n等于 (　　) 圖K

5、38-5 A.2 B.3 C.4 D.5 11.如圖K38-6所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,則當(dāng)AF=　　　　時(shí),CF⊥平面B1DF.? 圖K38-6 12.在三棱錐P-ABC中,V三棱錐P-ABC=433,∠APC=π4,∠BPC=π3,PA⊥AC,PB⊥BC,且平面PAC⊥平面PBC,那么三棱錐P-ABC外接球的體積為　　　　.? 13.如圖K38-7,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,CD∥AB,AB=2CD,AC交BD于點(diǎn)O

6、,銳角三角形PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,點(diǎn)Q在側(cè)棱PC上,且PQ=2QC.求證: (1)PA∥平面QBD; (2)BD⊥AD. 圖K38-7 14.[2018·江西南昌三模] 如圖K38-8所示,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD為正方形,AB=2,AE=3,DE=5,EF=2,cos∠CDE=55,且EF∥BD. (1)證明:平面ABCD⊥平面EDC; (2)求三棱錐A-EFC的體積. 圖K38-8 15.如圖K38-9所示,在四棱錐S-ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△SAD

7、是等邊三角形,且SD=2,BD=23,AB=2CD=4. (1)證明:平面SBD⊥平面SAD. (2)若E是SC上的一點(diǎn),當(dāng)E點(diǎn)位于線段SC上什么位置時(shí),SA∥平面EBD?并證明你的結(jié)論. (3)求四棱錐S-ABCD的體積. 圖K38-9 8 課時(shí)作業(yè)(三十八) 1.B　[解析] 由題意,β∩γ=l,∴l(xiāng)?γ,又α⊥γ,α∩γ=m,且l⊥m,∴l(xiāng)⊥α,即②中結(jié)論正確;∵β∩γ=l,∴l(xiāng)?β,又l⊥α,∴α⊥β,即④中結(jié)論正確;而①③中的結(jié)論不能判斷是否正確.故選B. 2.C　[解析] 對于選項(xiàng)A,α⊥β且m?α,可得m∥β或m與β相交或m?β,故A不正確;對

8、于選項(xiàng)B,α⊥β且m∥α,可得m?β或m∥β或m與β相交,故B不正確;對于選項(xiàng)C,m∥n且n⊥β,則m⊥β,故C正確;對于選項(xiàng)D,由m⊥n且n∥β,可得m∥β或m與β相交或m?β,故D不正確.故選C. 3.D　[解析] 由題意知BC∥DF,因?yàn)镈F?平面PDF,BC?平面PDF,所以BC∥平面PDF,故選項(xiàng)A中結(jié)論正確.在正四面體中,AE⊥BC,PE⊥BC,因?yàn)锳E∩PE=E,所以BC⊥平面PAE,又DF∥BC,則DF⊥平面PAE,因?yàn)镈F?平面PDF,所以平面PDF⊥平面PAE.因此選項(xiàng)B,C中結(jié)論均正確.故選D. 4.4　[解析]∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC,∴PA

9、⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,則△PAB,△PAC為直角三角形.又BC⊥AC,且AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC,從而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形. 5.②　[解析] 對于①,分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線未必平行,它們還可能是異面直線,因此①中說法不正確;對于②,由“垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行”可知α與β平行,由“若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè),則它也垂直于另一個(gè)平面”可知n⊥β,因此②中說法正確;對于③,分別平行于兩個(gè)垂直平面的兩條直線未必垂直,因此③中說法不正確;對于④,m與n還可能平行、相交或異面,因此④中說法不正確.綜上所述,正確說法的序號為②.

10、 6.B　[解析] 由題意易得BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①中結(jié)論正確;由題知BD⊥DC,又AD=BD=CD,所以Rt△ABD≌Rt△ACD≌Rt△BCD,所以AB=AC=BC,所以△BAC是等邊三角形,②中結(jié)論正確;由正三棱錐的定義可知③中結(jié)論正確;取AC的中點(diǎn)F,連接DF,BF,易證∠BFD為平面ADC與平面ABC所成二面角的平面角,因?yàn)锽D⊥平面ACD,所以BD⊥DF,所以∠BFD為銳角,故平面ADC與平面ABC不垂直,④中結(jié)論錯(cuò)誤.故選B. 7.B　[解析] 連接DP,由D1P⊥PC,DD1⊥PC,且D1P∩DD1=D1,可得PC⊥平面DD1P,所以PC⊥DP,即點(diǎn)P在以CD為直

11、徑的圓上,又點(diǎn)P在AB上,則AB與圓有公共點(diǎn),所以0

12、面ABCD,D1C1∥平面A1ABB1,而D1C1∥平面ABCD,故D為假命題.而對于B項(xiàng),根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行,可知B為真命題.故選B. 9.D　[解析] 對于選項(xiàng)D中的圖形,由于E,F分別為AB,A1B1的中點(diǎn),所以EF∥BB1,故∠B1BD1為異面直線EF與BD1所成的角,易知tan∠B1BD1=2,即∠B1BD1不為直角,故BD1與平面EFG不可能垂直,故選D. 10.B　[解析] 設(shè)D1在平面ABC上的射影為E,連接D1E,則D1E⊥平面ABC,∵D1E?平面ABD1,∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴D1E⊥BC,又AB⊥BC,

13、D1E∩AB=E,∴BC⊥平面ABD1,∵BC?平面BCD1,∴平面BCD1⊥平面ABD1.易知BC⊥平面ABD1,∵AD1?平面ABD1,∴BC⊥AD1,又CD1⊥AD1,BC∩CD1=C,∴AD1⊥平面BCD1,∵AD1?平面ACD1,∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3對平面互相垂直.故選B. 11.a或2a　[解析] 由題意易知B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF,只需CF⊥DF.假設(shè)CF⊥DF,設(shè)AF=x,則A1F=3a-x,由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得ACA1F=AFA1D,即2a3a-x=xa,整理得x2-3ax+2a2=0,解得x=a

14、或x=2a. 12.32π3　[解析] 取PC的中點(diǎn)O,連接AO,BO,設(shè)PC=2R,則OA=OB=OC=OP=R,所以O(shè)是三棱錐P-ABC外接球的球心,易知PB=R,BC=3R,因?yàn)椤螦PC=π4,PA⊥AC,O為PC的中點(diǎn),所以AO⊥PC,又平面PAC⊥平面PBC,平面PAC∩平面PBC=PC,且AO?平面PAC,所以AO⊥平面PBC,所以V三棱錐P-ABC=V三棱錐A-PBC=13×12×R×3R×R=433,解得R=2,所以三棱錐P-ABC外接球的體積V=43πR3=32π3. 13.證明:(1)如圖,連接OQ,因?yàn)锳B∥CD,AB=2CD, 所以AO=2OC,又PQ=2QC,所

15、以PA∥OQ, 又OQ?平面QBD,PA?平面QBD, 所以PA∥平面QBD. (2)在平面PAD內(nèi)過點(diǎn)P作PH⊥AD于H,因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PH?平面PAD,所以PH⊥平面ABCD, 又BD?平面ABCD,所以PH⊥BD. 因?yàn)镻A⊥BD,且PA和PH是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線,所以BD⊥平面PAD, 又AD?平面PAD,所以BD⊥AD. 14.解:(1)證明:∵AD=AB=2,AE=3,DE=5,∴AD2+DE2=AE2,即AD⊥DE, 又正方形ABCD中AD⊥DC,且DE∩DC=D, ∴AD⊥平面EDC,∵AD?平面AB

16、CD, ∴平面ABCD⊥平面EDC. (2)設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G,連接FG, 作OE⊥CD于點(diǎn)O,則OD=DE·cos∠EDC=1,OE=2,由(1)知平面ABCD⊥平面EDC,又平面ABCD∩平面EDC=CD, OE?平面EDC,則OE⊥平面ABCD. 由EF∥BD,EF=2,知四邊形DEFG為平行四邊形,即DE∥FG, ∴V三棱錐A-EFC=V三棱錐E-AFC=V三棱錐D-AFC=V三棱錐F-ADC=V三棱錐E-ADC, ∵V三棱錐E-ADC=13×12×2×2×2=43, ∴三棱錐A-EFC的體積為43. 15.解:(1)證明:因?yàn)椤鱏AD是等邊三角形, 所以AD=

17、SD=2,又BD=23,AB=4, 所以AD2+BD2=AB2,所以BD⊥AD, 因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面SAD. 又BD?平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD. (2)當(dāng)E為SC的三等分點(diǎn),即ES=2CE時(shí),SA∥平面EBD. 證明如下:連接AC交BD于點(diǎn)H,連接EH. 因?yàn)镃D∥AB,CD=12AB, 所以CHHA=12=CEES,所以HE∥SA. 又SA?平面EBD,HE?平面EBD, 所以SA∥平面EBD. (3)過點(diǎn)S作SO⊥AD,交AD于點(diǎn)O. 因?yàn)椤鱏AD為等邊三角形,所以O(shè)為AD的中點(diǎn),所以SO=3.易證得SO⊥平面ABCD, 所以V四棱錐S-ABCD=13S梯形ABCD·SO. 因?yàn)镾梯形ABCD=12×(2+4)×3=33, 所以V四棱錐S-ABCD=3.