《2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 不等式選講 第60講 不等式的證明課時(shí)達(dá)標(biāo) 文（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 不等式選講 第60講 不等式的證明課時(shí)達(dá)標(biāo) 文（含解析）新人教A版（3頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第60講 不等式的證明
課時(shí)達(dá)標(biāo)
1．已知a，b都是正數(shù)，且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2.
證明 (a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以a＋b>0.又因?yàn)閍≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.
2．已知a，b，c∈(0，＋∞)，求證：2≤3.
證明 欲證2≤3，
只需證a＋b－2≤a＋b＋c－3，
即證c＋2≥3.因?yàn)閍，b，c∈(0，＋∞)，
所以c＋2＝c＋＋
≥3＝3，
所以c＋2≥3成立，故原不等式成立．
2、3．(2019·南京鹽城聯(lián)考)已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c.求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明 因?yàn)閇(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2，又a＋b＋c＞0，所以＋＋≥a＋b＋c，當(dāng)且僅當(dāng)＝＝時(shí)，等號(hào)成立．
4．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解析 (1)由2＝＋≥2得ab≥，當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立．故a2＋b2≥2ab≥1，當(dāng)a＝b＝時(shí)，等號(hào)成立．所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由(a－b)2≥4(ab)3得2≥4ab，即2－
≥4ab，從而ab＋≤2.又a，b為
3、正實(shí)數(shù)，有ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1.
5．(2019·哈爾濱三中檢測(cè))已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝2.
(1)求證：ab＋bc＋ac≤；
(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范圍．
解析 (1)證明：因?yàn)閍＋b＋c＝2，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，所以8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立，所以ab＋bc＋ac≤.
(2)因?yàn)閍2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，所以4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)
4、，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立，所以a2＋b2＋c2≥.因?yàn)?＜a＜1，所以a＞a2.同理b＞b2，c＞c2.所以a2＋b2＋c2＜a＋b＋c＝2，所以≤a2＋b2＋c2＜2，所以a2＋b2＋c2的取值范圍為.
6．已知函數(shù)f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.
(1)求f(x)的最小值m；
(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a＋b＋c＝m，求證：＋＋≥3.
解析 (1)當(dāng)x＜－1時(shí)，f(x)＝－2(x＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；當(dāng)－1≤x＜2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．綜上，f(x)的最小值m＝3.
(2)證明：因?yàn)閍，b，c均為正實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足a＋b＋c＝3，所以＋＋＋(a＋b＋c)＝＋＋≥2＝2(a＋b＋c)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立，所以＋＋≥a＋b＋c，即＋＋≥3.
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