2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第2講 用樣本估計總體分層演練 理（含解析）新人教A版

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1、第2講 用樣本估計總體 1．把樣本容量為20的數(shù)據(jù)分組，分組區(qū)間與頻數(shù)如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，則在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻率是(　　) A．0.05　　　　　　　　　 B．0.25 C．0.5 D．0.7 解析：選D.由題知，在區(qū)間[10，50)上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)是2＋3＋4＋5＝14，故其頻率為＝0.7. 2．(2019·廣西三市第一次聯(lián)考)在如圖所示一組數(shù)據(jù)的莖葉圖中，有一個數(shù)字被污染后模糊不清，但曾計算得該組數(shù)據(jù)的極差與中位數(shù)之和為61，則被污染的數(shù)字為(　　)

2、 A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選B.由題圖可知該組數(shù)據(jù)的極差為48－20＝28，則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為61－28＝33，易得被污染的數(shù)字為2. 3．(2019·岳陽模擬)某商場在國慶黃金周的促銷活動中，對10月2日9時到14時的銷售額進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時至10時的銷售額為2.5萬元，則11時到12時的銷售額為(　　) A．6萬元 B．8萬元 C．10萬元 D．12萬元 解析：選C.設(shè)11時到12時的銷售額為x萬元，依題意有＝，解得x＝10. 4．(2018·高考全國卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，

3、實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(　　) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半 解析：選A.法一：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a，則由餅圖可得建設(shè)前種植收入為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a.建設(shè)后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，

4、所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少是錯誤的．故選A. 法二：因為0.6<0.37×2，所以新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加，而不是減少，所以A是錯誤的．故選A. 5．某人5次上班途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x，y，10，11，9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選D.由題意這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，可得：x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8， 設(shè)x＝10＋t，y＝10－t，由(x－10)2＋(y－10)2＝8，得t2＝4，所以|x－y|＝2|t|＝4. 6．(2019·湖南省五市十校聯(lián)

5、考)某中學奧數(shù)培訓班共有14人，分為兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，其中甲組學生成績的平均數(shù)是88，乙組學生成績的中位數(shù)是89，則n－m的值是________． 解析：由甲組學生成績的平均數(shù)是88，可得 ＝88，解得m＝3.由乙組學生成績的中位數(shù)是89，可得n＝9，所以n－m＝6. 答案：6 7．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學有300名員工參加環(huán)保知識測試，按年齡分組：第1組[25，30)，第2組[30，35)，第3組[35，40)，第4組[40，45)，第5組[45，50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．現(xiàn)在要從第1，3，4組中用分層抽樣的方法抽取

6、16人，則在第4組中抽取的人數(shù)為________． 解析：根據(jù)頻率分布直方圖得，第1，3，4組的頻率之比為1∶4∶3，所以用分層抽樣的方法抽取16人時，在第4組中應抽取的人數(shù)為16×＝6. 答案：6 8．(2019·成都市第二次診斷性檢測)在一個容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個數(shù)據(jù)，其中一個數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損，即9，10，11，1 ，那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是________． 解析：由題意可設(shè)兩個被污損的數(shù)據(jù)分別為10＋a，b，(a，b∈Z，0≤a≤9)，則10＋a＋b＋9＋10＋11＝50，即a＋b＝10，b＝10－a

7、，所以s2＝[(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(10＋a－10)2＋(b－10)2]＝[2＋a2＋(b－10)2]＝(1＋a2)≤×(1＋92)＝32.8. 答案：32.8 9．某校1 200名高三年級學生參加了一次數(shù)學測驗(滿分為100分)，為了分析這次數(shù)學測驗的成績，從這1 200人的數(shù)學成績中隨機抽取200人的成績繪制成如下的統(tǒng)計表，請根據(jù)表中提供的信息解決下列問題： 成績分組 頻數(shù) 頻率 平均分 [0，20) 3 0.015 16 [20，40) a b 32.1 [40，60) 25 0.125 55 [60，80) c

8、0.5 74 [80，100] 62 0.31 88 (1)求a、b、c的值； (2)如果從這1 200名學生中隨機抽取一人，試估計這名學生該次數(shù)學測驗及格的概率P(注：60分及60分以上為及格)； (3)試估計這次數(shù)學測驗的年級平均分． 解：(1)由題意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100. (2)根據(jù)已知，在抽出的200人的數(shù)學成績中，及格的有162人．所以P＝＝＝0.81. (3)這次數(shù)學測驗樣本的平均分為 ＝＝73， 所以這次數(shù)學測驗的年級平均分大約為73分． 10．(2

9、017·高考北京卷)某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖： (1)從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率； (2)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)； (3)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． 解：(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為(

10、0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為1－0.6＝0.4. 所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計為0.4. (2)根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為 (0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)為100－100×0.9－5＝5. 所以總體中分數(shù)在區(qū)間[40，50)內(nèi)的人數(shù)估計為400×＝20. (3)由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為 (0.02＋0.04)×10×100＝60， 所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為60×＝30. 所以樣本中的男生人數(shù)為3

11、0×2＝60，女生人數(shù)為100－60＝40，男生和女生人數(shù)的比例為60∶40＝3∶2. 所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為3∶2. 1．(2019·長春模擬)某銷售公司為了解員工的月工資水平，從1 000位員工中隨機抽取100位員工進行調(diào)查，得到如下的頻率分布直方圖： (1)試由此圖估計該公司員工的月平均工資； (2)該公司的工資發(fā)放是以員工的營銷水平為重要依據(jù)來確定的，一般認為，工資低于4 500元的員工屬于學徒階段，沒有營銷經(jīng)驗，若進行營銷將會失??；高于4 500元的員工屬于成熟員工，進行營銷將會成功．現(xiàn)將該樣本按照“學徒階段工資”“成熟員工工資”分成兩

12、層，進行分層抽樣，從中抽出5人，在這5人中任選2人進行營銷活動．活動中，每位員工若營銷成功，將為公司賺得3萬元，否則公司將損失1萬元．試問在此次比賽中公司收入多少萬元的可能性最大？ 解：(1)估計該公司員工的月平均工資為0.000 1×1 000×2 000＋0.000 1×1 000×3 000＋0.000 2×1 000×4 000＋0.000 3×1 000×5 000＋0.000 2×1 000×6 000＋0.000 1×1 000×7 000＝4 700(元)． (2)抽取比為＝， 從工資在[1 500，4 500)內(nèi)的員工中抽出100×(0.1＋0.1＋0.2)×＝2人，設(shè)

13、這兩位員工分別為1，2；從工資在[4 500，7 500]內(nèi)的員工中抽出100×(0.3＋0.2＋0.1)×＝3人，設(shè)這三位員工分別為A，B，C. 從中任選2人，共有以下10種不同的等可能結(jié)果：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)． 兩人營銷都成功，公司收入6萬元，有以下3種不同的等可能結(jié)果：(A，B)，(A，C)，(B，C)，概率為； 其中一人營銷成功，一人營銷失敗，公司收入2萬元，有以下6種不同的等可能結(jié)果：(1，A)，(1，B)，(1，C)，(2，A)，(2，B)，(2，C)，概率為＝； 兩人營銷都

14、失敗，公司收入－2萬元，即損失2萬元，有1種結(jié)果：(1，2)，概率為. 因為<<，所以公司收入2萬元的可能性最大． 2．(2019·河北三市第二次聯(lián)考)某高三畢業(yè)班甲、乙兩名同學在連續(xù)的8次數(shù)學周練中，統(tǒng)計解答題失分的莖葉圖如圖： (1)比較這兩名同學8次周練解答題失分的平均數(shù)和方差的大小，并判斷哪位同學做解答題相對穩(wěn)定些； (2)以上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計甲、乙兩名同學失分超過15分的頻率作為概率，假設(shè)甲、乙兩名同學在同一次周練中失分多少互不影響，預測在接下來的2次周練中，甲、乙兩名同學失分均超過15分的次數(shù)X的分布列和均值． 解：(1) 甲 ＝(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28

15、)＝15，乙＝(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s＝[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75， s＝[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25. 甲、乙兩名同學解答題失分的平均數(shù)相等；甲同學解答題失分的方差比乙同學解答題失分的方差大．所以乙同學做解答題相對穩(wěn)定些． (2)根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，在一次周練中，甲和乙失分超過15分的概率分別為P1＝，P2＝， 兩人失分均超過15分的概率為P1P2＝， X的所有可能取值為0，1，2.依題意，X～B(2，)， P(X＝k)＝C()k()2－k，k＝0，1，2， 則X的分布列為 X 0 1 2 P X的均值E(X)＝2×＝. 7