2020版高考數學大一輪復習 第九章 計數原理與概率、隨機變量及其分布 第60講 幾何概型課時達標 理（含解析）新人教A版

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1、第60講 幾何概型 課時達標　 一、選擇題 1．在區(qū)間[－2,3]上隨機選取一個數X，則X≤1的概率為(　　) A. B. C. D. B　解析 區(qū)間[－2,3]的長度為3－(－2)＝5，[－2,1]的長度為1－(－2)＝3，故滿足條件的概率P＝. 2．設p在[0,5]上隨機地取值，則關于x的方程x2＋px＋1＝0有實數根的概率為(　　) A. B. C. D. C　解析 方程有實根，則Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率為＝. 3．老師計劃在晚修19：00～20：00解答同學甲、乙的問題，預計解答完一個學生的問題需要20分鐘．若甲、乙兩

2、人在晚修內的任意時刻去問問題是相互獨立的，則兩人獨自去時不需要等待的概率為(　　) A. B. C. D. B　解析 設19：00～20：00對應時刻[0,60]，甲、乙問問題的時刻分別為x，y，則x，y∈[0,60]．兩人獨自去時不需要等待滿足|x－y|≥20，則由幾何概型可知，所求概率為＝，故選B. 4．如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內的概率是，則陰影部分的面積是(　　) A. B．π C．2π D．3π D　解析 設陰影部分的面積為S1，圓的面積S＝π×32＝9π，由幾何概型的概率計算公式得＝，得S1＝

3、3π. 5．(2019·北京昌平模擬)設不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到直線y＋2＝0的距離大于2的概率是(　　) A. B. C. D. D　解析 作出平面區(qū)域可知平面區(qū)域D是以A(4, 3)，B(4，－2)，C(－6，－2)為頂點的三角形區(qū)域，當點在△AED區(qū)域內時，點到直線y＋2＝0的距離大于2.P＝＝＝，故選D. 6．(2019·山東棗莊一模)已知實數a滿足－3P2 B．P1＝P2 C．P1

4、不確定 C　解析 若f(x)的值域為R，則Δ1＝a2－4≥0，得a≤－2或a≥2.故P1＝＋＝. 若f(x)的定義域為R，則Δ2＝a2－4<0，得－2

5、≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2，若在區(qū)域Ω1內任取一點M(x，y)，則點M落在區(qū)域Ω2的概率為________． 解析 作圓O：x2＋y2＝4，區(qū)域Ω1就是圓O內部(含邊界)，其面積為4π，區(qū)域Ω2就是圖中△AOB內部(含邊界)，其面積為2，因此所求概率為＝. 答案 9．在區(qū)間(0,1)內隨機地取出兩個數，則兩數之和小于的概率是________． 解析 設隨機取出的兩個數分別為x，y，則0

6、等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊時間都是4小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率； (2)如果甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，求它們中的任何一條船不需要等待碼頭空出的概率． 解析 (1)設甲、乙兩船到達時間分別為x，y， 則0≤x<24,0≤y<24， 且y－x>4或y－x<－4. 作出區(qū)域 設“兩船無需等待碼頭空出”為事件A， 則P(A)＝＝. (2)當甲船的停泊時間為4小時，乙船的停泊時間為2小時，兩船不需等待碼頭空出，則滿足x－y>2或y－x>4.設在上述條件時“兩船不需等待碼頭空出”為事件B，畫出區(qū)域 則P(B)＝＝＝.

7、 11．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球n個．若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b. ①記“2≤a＋b≤3”為事件A，求事件A的概率； ②在區(qū)間[0,2]內任取2個實數x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率． 解析 (1)由題意共有小球n＋2個，標號為2的小球n個．從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是＝，解得n＝2. (2)①從袋子中不放回地隨機抽取2個球

8、，記第一次取出的小球標號為a，第二次取出的小球標號為b，則取出2個小球的可能情況共有C·C＝12種結果，令滿足“2≤a＋b≤3”為事件A，則事件A共有C·2＝8種結果，故P(A)＝＝； ②由①可知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以看成平面中點的坐標，則全部結果構成的區(qū)域Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，由幾何概型可得概率為 P＝＝1－. 12．甲、乙兩家商場對同一種商品開展促銷活動，對購買該商品的顧客兩家商場的獎勵方案如下： 甲商場：顧客轉動如圖所示圓盤，當指針指向陰影部分(圖中四個陰影部分均為扇形，且每個扇形圓心角均為15°，邊界忽略不計)即為中

9、獎． 乙商場：從裝有3個白球3個紅球的盒子中一次性摸出2個球(球除顏色外不加區(qū)分)，如果摸到的是2個紅球，即為中獎． 問：購買該商品的顧客在哪家商場中獎的可能性大？ 解析 如果顧客去甲商場，試驗的全部結果構成的區(qū)域為圓盤，面積為πR2(R為圓盤的半徑)，陰影區(qū)域的面積為＝.所以，在甲商場中獎的概率為P1＝＝. 如果顧客去乙商場，從盒子中摸出2個球的一切可能的結果有C共15種． 摸到的2個球都是紅球有C種，共3種，所以在乙商場中獎的概率為P2＝＝，又P1

10、的點為M. (1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機抽取一個數作為x，從集合Q中隨機抽取一個數作為y，求復數z為純虛數的概率； (2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組：所表示的平面區(qū)域內的概率． 解析 (1)記“復數z為純虛數”為事件A. 因為組成復數z的所有情況共有C×C＝12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i， 且每種情況出現的可能性相等，屬于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2個：i,2i，所以所求事件的概率為 P(A)＝＝. (2)依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域內，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12.而所求事件構成的平面區(qū)域為，其圖形如圖中的三角形OAD(陰影部分)．又直線x＋2y－3＝0與x軸，y軸的交點分別為A(3,0)，D， 所以三角形OAD的面積為S1＝×3×＝.所以所求事件的概率為P＝＝＝. 7