2020版高考數學二輪復習 專題限時集訓15 坐標系與參數方程 文

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1、專題限時集訓(十五)　坐標系與參數方程 (建議用時：40分鐘) 1．(2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中，O為極點，點M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sin θ上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當θ0＝時，求ρ0及l(fā)的極坐標方程； (2)當M在C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標方程． [解]　(1)因為M(ρ0，θ0)在C上，當θ0＝時，ρ0＝4sin ＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2. 設Q(ρ，θ)為l上除P外的任意一點． 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經檢驗，點P在曲線ρcos＝2上． 所以，l

2、的極坐標方程為ρcos＝2. (2)設P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ， 則ρ＝4cos θ.因為P在線段OM上，且AP⊥OM， 故θ的取值范圍是. 所以，P點軌跡的極坐標方程為ρ＝4cos θ，θ∈. 2．(2019·肇慶三模)在直角坐標系xOy中，直線l1：x＝2，曲線C：(φ為參數)．以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標為. (1)求直線l1和曲線C的極坐標方程； (2)在極坐標系中，已知射線l2：θ＝α與l1，C的公共點分別為A，B，且|OA|·|OB|＝8，求△MOB的面積． [解]　(1)∵ ∴直線l

3、1：x＝2的極坐標方程是ρcos θ＝2， 曲線C的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，即x2＋y2－4y＝0， 所以曲線C的極坐標方程為ρ＝4sin θ. (2)將θ＝α分別代入ρcos θ＝2，ρ＝4sin θ得：|OA|＝ρA＝， |OB|＝ρB＝4sin α. ∴|OA|·|OB|＝8tan α＝8，∴tan α＝， ∵0<α<，∴α＝. ∴|OB|＝2，|OM|＝3，∠MOB＝， 所以S△MOB＝|OM||OB|sin∠MOB＝×3×2×＝， 即△MOB的面積為. 3．在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a,2)，其參數方程為(t為參數，a∈R)，以坐標原點O

4、為極點，以x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin2θ－ρ＋8sin θ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程； (2)若曲線C1和曲線C2交于A，B兩點，且＋2＝0，求實數a的值． [解]　(1)由消去參數t，可得x－y＋2－a＝0， 由ρsin2θ－ρ＋8sin θ＝0，得ρ2sin2θ－ρ2＋8ρsin θ＝0， ∴x2＝8y. (2)將曲線C1的參數方程化為代入曲線C2的方程， 可得t2＋(2a－8)t＋2a2－32＝0. 由Δ＝(2a－8)2－4(2a2－32)>0，解得a<4. 設點A，B對應的參數分別為t1，t2，

5、則t1＋t2＝8－2a，t1t2＝2a2－32， 又t1＝－2t2，聯(lián)立可得a＝4(舍)或a＝. 4．在直角坐標系xOy中，點在曲線C：(φ為參數)上，對應參數為φ＝.以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知點P的極坐標為. (1)直接寫出點P的直角坐標和曲線C的極坐標方程； (2)設A，B是曲線C上的兩個動點，且OA⊥OB，求|OA|2＋|OB|2的最小值． [解]　(1)點P的直角坐標為(，1)， 曲線C的極坐標方程為ρ2＝. (2)由(1)知曲線C：ρ2＝. 由A，B是曲線C上的兩個動點，且OA⊥OB， 不妨設A(ρ1，θ)，B，且|OA|2＝ρ＝， |O

6、B|2＝ρ＝＝. ∴|OA|2＋|OB|2＝ρ＋ρ＝＋＝ ＝≥＝. 當sin22θ＝1時，|OA|2＋|OB|2的最小值為. ∴|OA|2＋|OB|2的最小值為. 題號 內容 押題依據 1 直線的參數方程、橢圓的極坐標方程 直線的參數方程中參數的幾何意義及其應用是每年高考的熱點，本題考查了橢圓的極坐標方程與普通方程的轉化以及利用直線參數方程中參數的幾何意義解決直線與曲線的相交問題，較好地考查了學生的邏輯推理的核心素養(yǎng) 2 圓的參數方程、直線的極坐標方程 本題考查了極坐標、參數方程與直角坐標方程的互化和極坐標中的極角，極徑的幾何意義的應用，這也是每年高考的熱點內

7、容，試題難度中等，能夠較好地考查學生邏輯推理及數學運算等核心素養(yǎng) 【押題1】　(2019·湛江二模)在直角坐標系xOy中，點M(0,1)，直線l：(t為參數)，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為7ρ2＋ρ2cos 2θ＝24. (1)求曲線C的直角坐標方程； (2)設直線l與曲線C交于A，B兩點，求＋的值． [解]　(1)∵7ρ2＋ρ2cos 2θ＝24，∴7ρ2＋ρ2(2cos2θ－1)＝24， 又∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ， ∴曲線C的直角坐標方程為：＋＝1. (2)將直線l的參數方程化為標準形式為：(t為參數)， 代入曲線C方程

8、，得19t2＋6t－45＝0. Δ>0恒成立，∴t1＋t2＝－，t1t2＝－. ∴＋＝＋＝＝＝. 【押題2】　(2019·寶雞三模)在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為(α為參數)，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ(sin θ＋cos θ)＝. (1)求C的極坐標方程； (2)射線θ＝θ1與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求|OP|·|OQ|的取值范圍． [解]　(1)圓C的普通方程是(x－2)2＋y2＝4，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ； 所以圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ. (2)設P(ρ1，θ1)，則有ρ1＝4cos θ1， 設Q(ρ2，θ1)，且直線l的方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝， 則有ρ2＝， 所以|OP||OQ|＝ρ1ρ2＝＝，因為θ1∈，所以2≤|OP||OQ|≤3，故|OP||OQ|的范圍為[2,3]． - 5 -