2021屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破22 數(shù)學思想在解題中的應用（2） 理

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1、必考必考問題22數(shù)學思想在解題中的應用(二)1(2012山東)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x6)f(x)當3x1時，f(x)(x2)2；當1x3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 012)()A335 B338 C1 678 D2 012答案： B由f(x6)f(x)可知，函數(shù)f(x)的周期為6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一個周期內(nèi)有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.2(2012四川)方程ayb2x2c中的

2、a，b，c3，2,0,1,2,3，且a，b，c互不相同在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A60條 B62條 C71條 D80條答案：B顯然方程ayb2x2c表示拋物線時，有ab0，故該方程等價于yx2.(1)當c0時，從3，2,1,2,3中任取2個數(shù)作為a，b的值，有A20種不同的方法，當a一定，b的值互為相反數(shù)時，對應的拋物線相同，這樣的拋物線共有4312條，所以此時不同的拋物線共有A614條(2)當c0時，從3，2,1,2,3中任取3個數(shù)作為a，b，c的值有A60種不同的方法；當a，c的值一定，而b的值互為相反數(shù)時，對應的拋物線相同，這樣的拋物線共有4A24條，所以此時不同

3、的拋物線有A1248條綜上所述，滿足題意的不同的拋物線有144862條，故選B.3(2012福建)函數(shù)f(x)在a，b上有定義，若對任意x1，x2a，b，有ff(x1)f(x2)，則稱f(x)在a，b上具有性質(zhì)P.設f(x)在1,3上具有性質(zhì) P，現(xiàn)給出如下命題：f(x)在1,3上的圖象是連續(xù)不斷的；f(x2)在1，上具有性質(zhì)P；若f(x)在x2處取得最大值1，則f(x)1，x1,3；對任意x1，x2，x3，x41,3，有ff(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命題的序號是()A B C D答案：D取函數(shù)f(x)則函數(shù)f(x)滿足題設條件具有性質(zhì)P，但函數(shù)f(x)的圖象是不連續(xù)的，故為

4、假命題，排除A、B；取函數(shù)f(x)x,1x3，則函數(shù)滿足題設條件具有性質(zhì) P，但f(x2)x2,1x就不具有性質(zhì)P，故為假命題，排除C.應選D.4(2012江西)下圖為某算法的程序框圖，則程序運行后輸出的結(jié)果是_解析此框圖依次執(zhí)行如下循環(huán)：第一次：T0，k1，sinsin 0成立，a1，TTa1，k2，26，繼續(xù)循環(huán)；第二次：sin sin不成立，a0，TTa1，k3,36，繼續(xù)循環(huán)；第三次：sinsin 不成立，a0，TTa1，k4,46，繼續(xù)循環(huán)；第四次：sin 2sin成立，a1，TTa2，k5,56，繼續(xù)循環(huán)；第五次：sinsin 2成立，a1，TTa3，k6,66不成立，跳出循環(huán)，輸

5、出T的值為3.答案31分類討論思想的考查重點為含有參數(shù)的函數(shù)性質(zhì)問題、與等比數(shù)列的前n項和有關的計算推證問題、直線與圓錐曲線的位置關系不定問題等，在選擇、填空、解答題中都會涉及到分類討論的思想方法2等價轉(zhuǎn)換思想的應用在高考試題中處處可見，是解高考試題常用的數(shù)學思想(1)分類與整合思想實質(zhì)上是“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學策略利用好分類與整合思想可以優(yōu)化解題思路，降低問題難度復習中要養(yǎng)成分類與整合的習慣，常見的分類情形有：概念分類型，運算需要型，參數(shù)變化型，圖形變動型(2)轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學學習中最基本、最重要的思想方法，它無處不在比如：在解析幾何中，通過建立坐標系將幾何問題劃歸

6、為代數(shù)問題.必備知識分類與整合思想在解某些數(shù)學問題時，我們常常會遇到這樣一種情況：解到某一步之后，發(fā)現(xiàn)問題的發(fā)展是按照不同的方向進行的當被研究的問題包含了多種情況時，就必須抓住主導問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合分合”的解決問題的思想，就是分類與整合思想化歸與轉(zhuǎn)化思想 在解決一個問題時人們的眼光并不落在結(jié)論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)果，由此將問題化難為易，化繁為簡，化大為小，各個擊破，

7、達到最終解決問題的目的，這種解決問題的思想就是化歸與轉(zhuǎn)化思想必備方法1分類討論的幾種情況(1)由數(shù)學的概念、圖形的位置等引發(fā)的分類討論：數(shù)學中的概念有些就是分類的，如絕對值的概念；(2)由數(shù)學的定理、法則、公式等引發(fā)的分類討論：一些數(shù)學定理和公式是分類的，如等比數(shù)列的求和公式等；(3)由參數(shù)變化引發(fā)的分類討論：當要解決的問題中涉及參數(shù)時，由于參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時，問題的發(fā)展方向不同，這就要把參數(shù)劃分的幾個部分分類解決；(4)問題的具體情況引發(fā)的分類討論：有些數(shù)學問題本身就要分情況解決，如概率計算中要根據(jù)要求，分類求出基本事件的個數(shù)；(5)較復雜或非常規(guī)的數(shù)學問題，需要采取分類討論的解題策略來

8、解決2化歸轉(zhuǎn)化思想的幾種情況(1)化為已知：當所要解決的問題和我們已經(jīng)掌握的問題有關系時，把所要解決的問題化為已知問題；(2)化難為易：化難為易是解決數(shù)學問題的基本思想，當我們遇到的問題是嶄新的，解決起來困難時，就要把這個問題化為我們熟悉的問題，熟悉的問題我們有解決的方法，就是容易的問題，這是化難為易的一個方面；(3)化繁為簡：在一些問題中，已知條件或求解結(jié)論比較繁，這時就可以通過化簡這些較繁的已知或者結(jié)論為簡單的情況，再解決問題，有時把問題中的某個部分看做一個整體，進行換元，這也是化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想；(4)化大為?。涸诮獯鹁C合性試題時，一個問題往往是由幾個問題組成的，整個問題的結(jié)論，是通過這

9、一系列的小問題得出的，這種情況下，就可以把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為幾個小問題進行解決. 分類討論數(shù)學中的很多概念都是通過分類定義的，數(shù)學中的一些定理、公式、法則往往有一些嚴格的限制條件，故高考常常在這些知識點中命題【例1】 (2010天津)設函數(shù)f(x)若f(a)f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1) B(，1)(1，)C(1,0)(1，) D(，1)(0,1)審題視點 聽課記錄審題視點 分a0，a0討論求解C當a0時，由f(a)f(a)，得log2aloga，即log2alog2 ，即a，解得a1；當a0時，由f(a)f(a)，得log(a)log2(a)，即log2log2(

10、a)，則a，解得1a0.所以a(1,0)(1，) 有許多核心的數(shù)學概念是分類的，比如：直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等，與這樣的數(shù)學概念有關的問題往往需要根據(jù)數(shù)學概念進行分類，從而全面完整地解決問題【突破訓練1】 若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_解析則函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，就是函數(shù)yax(a0且a1)的圖象與函數(shù)yxa的圖象有兩個交點由圖象可知，當0a1時，兩函數(shù)只有一個交點，不符合；當a1時，因為函數(shù)yax(a1)的圖象過點(0,1)，而直線yxa的圖象與y軸的交點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點所以實數(shù)a的取值范圍是(

11、1，)答案(1，)由于參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，所以某些含有參數(shù)的問題如函數(shù)性質(zhì)的運用、求最值、一元二次方程根的判斷、直線斜率等，在求解時要根據(jù)參數(shù)的變化進行分類討論【例2】 (2010山東)已知函數(shù)f(x)ln xax1(aR)(1)當a時，討論f(x)的單調(diào)性； (2)設g(x)x22bx4，當a時，若對任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，求實數(shù)b的取值范圍審題視點 聽課記錄審題視點 (1)根據(jù)解題需要，要對二次項系數(shù)、根的大小分類討論(2)將問題轉(zhuǎn)化為g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值，則可借助(1)問的結(jié)論求得f(x)在(0,

12、2)上的最小值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間(1,2的關系討論求g(x)的最小值即可求b的范圍解(1)因為f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)令h(x)ax2x1a，x(0，)當a0時，h(x)x1，x(0，)，所以當x(0,1)時，h(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(1，)時，h(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增當a0時，令f(x)0，即ax2x1a0，解得x11，x21.()當a時，x1x2，h(x)0恒成立，此時f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減()當0a10，當x(0,1)時，h(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x時，h(x)0

13、，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x時，h(x)0，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減()當a0時，由于10，此時f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；x(1，)時，h(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在(1，)上單調(diào)遞增；當a時，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當0a時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減(2)因為a，由(1)知，x11，x23(0,2)，當x(0,1)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x(1,2)時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增所以f(x)在(0,2)上的最小值為f(1).由于“對

14、任意x1(0,2)，存在x21,2，使f(x1)g(x2)”等價于“g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值”(*)又g(x)(xb)24b2，x1,2，所以當b0，此時與(*)矛盾；當b1,2時，因為g(x)min4b20，同樣與(*)矛盾；當b(2，)時，因為g(x)ming(2)84b，解不等式84b，可得b.綜上所述，b的取值范圍是. 求解時，要結(jié)合參數(shù)的意義，對參數(shù)的不同取值或不同取值范圍進行分類討論，分類要合理，要不重不漏，要符合最簡原則【突破訓練2】 (2012東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲線yf(x)在點(

15、2，f(2)處的切線方程；(2)若在區(qū)間上，f(x)0恒成立，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為y36(x2)，即y6x9.(2)f3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分兩種情況討論：若0a2，則.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0f(x)0f(x)極大值當x時，f(x)0等價于即解不等式組得5a5.因此0a2.若a2，則0.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x0f(x)00f(x)極大值極小值當x時，f(x)0等價于即解不等式組

16、得a5或a.因此2a5.綜合，可知a的取值范圍為0a5.轉(zhuǎn)化與化歸思想非常普遍，?？疾樘厥馀c一般、常量與變量、正與反或以換元法為手段的轉(zhuǎn)化【例3】 已知函數(shù)f(x)x32x2ax1.若函數(shù)g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是_審題視點 聽課記錄審題視點 很顯然，函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，二次函數(shù)在一個開區(qū)間上存在零點，情況是很復雜的，但這個二次函數(shù)可以把參數(shù)分離出來，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為求一個具體的函數(shù)的值域解析g(x)f(x)3x24xa，g(x)f(x)在區(qū)間(1,1)上存在零點，等價于3x24xa在區(qū)間(1,1)上有解，等價于a的取值范圍是函數(shù)y3x24x在區(qū)間(

17、1,1)上的值域，不難求出這個函數(shù)的值域是.故所求的a的取值范圍是.答案 在高考中，轉(zhuǎn)化與化歸思想占有相當重要的地位，在解題時注意依據(jù)問題本身所提供的信息，利用動態(tài)思維，去尋求有利于問題解決的化歸與轉(zhuǎn)化的途徑和方法【突破訓練3】 函數(shù)f(x)sin xcos xsin 2x的最小值是_解析令tsin xcos xsin，則t21sin 2x，且t，f(t)t2t12，故當t，時，函數(shù)f(x)的最小值為.答案突破轉(zhuǎn)化與化歸的瓶頸轉(zhuǎn)化的一種方式是變換研究對象，將問題轉(zhuǎn)移至新對象的知識背景中，從而使非標準型問題、復雜問題簡單化，進而變得容易處理通過引進新的變量，可以將分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯

18、露出來，或者將條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者使題目的形式變得熟悉，從而將復雜的計算或證明題簡化【示例】 (2012陜西)設函數(shù)fn(x)xnbxc(nN，b，cR)(1)設n2，b1，c1，證明：fn(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點；(2)設n2，若對任意x1，x21,1，有|f2(x1)f2(x2)|4，求b的取值范圍；(3)在(1)的條件下，設xn是fn(x)在內(nèi)的零點，判斷數(shù)列x2，x3，xn，的增減性滿分解答(1)b1，c1，n2時，fn(x)xnx1.fnfn(1)10，fn(x)在內(nèi)存在零點又當x時，fn(x)nxn110，fn(x)在上是單調(diào)遞增的，fn(x)在內(nèi)存在唯一零點(4分)(2)當

19、n2時，f2(x)x2bxc.對任意x1，x21,1都有|f2(x1)f2(x2)|4等價于f2(x)在1,1上的最大值與最小值之差M4.據(jù)此分類討論如下：(i)當1，即|b|2時，M|f2(1)f2(1)|2|b|4，與題設矛盾(ii)當10，即0b2時，Mf2(1)f224恒成立(iii)當01，即2b0時，Mf2(1)f224恒成立綜上可知，2b2.(8分)注：(ii)，(iii)也可合并證明如下：用maxa，b表示a，b中的較大者當11，即2b2時，Mmaxf2(1)，f2(1)f2f21c|b|24恒成立(8分)(3)法一設xn是fn(x)在內(nèi)的唯一零點(n2)，fn(xn)xxn1

20、0，fn1(xn1)xxn110，xn1，于是有fn(xn)0fn1(xn1)xxn11xxn11fn(xn1)，又由(1)知fn(x)在上是遞增的，故xnxn1(n2)，所以，數(shù)列x2，x3，xn，是遞增數(shù)列(12分)法二設xn是fn(x)在內(nèi)的唯一零點，fn1(xn)fn1(1)(xxn1)(1n111)xxn1xxn10，則fn1(x)的零點xn1在(xn,1)內(nèi)，故xnxn1(n2)，所以，數(shù)列x2，x3，xn，是遞增數(shù)列(12分)老師叮嚀：本題主要考查函數(shù)的零點、導數(shù)與不等式，以及數(shù)列的單調(diào)性的判斷和恒成立問題的處理，意在考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的運用.第(1)問利用函數(shù)零點存在定

21、理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù).第(2)問結(jié)合分類討論思想，得出函數(shù)在區(qū)間1，1上的最值，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為簡單的解不等式問題，不會轉(zhuǎn)化是一個重要的失分點.第(3)問，看成單純的數(shù)列問題，無法將新問題與第(2)問中的結(jié)論聯(lián)系起來，導致解題走入死胡同.【試一試】 已知函數(shù)f(x)x(aR)，g(x)ln x.(1)求函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關于x的方程f(x)2e(e為自然對數(shù)的底數(shù))只有一個實數(shù)根a的值解(1)函數(shù)F(x)f(x)g(x)xln x的定義域為(0，)F(x)1.當14a0，即a時，得x2xa0，則F(x)0.函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)

22、遞增當14a0，即a時，令F(x)0，得x2xa0，解得x10，x2.(i)若a0，則x20.x(0，)，F(xiàn)(x)0，函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)遞增(ii)若a0，則x時，F(xiàn)(x)0；x時，F(xiàn)(x)0，函數(shù)F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增綜上所述，當a0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當a0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)由f(x)2e，得x2e，化為x22exa.令h(x)，則h(x).令h(x)0，得xe.當0xe時，h(x)0；當xe時，h(x)0.函數(shù)h(x)在區(qū)間(0，e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e，)上單調(diào)遞減當xe時，函數(shù)h(x)取得最大值，其值為h(e).而函數(shù)m(x)x22exa(xe)2ae2，當xe時，函數(shù)m(x)取得最小值，其值為m(e)ae2.當ae2，即ae2時，方程f(x)2e只有一個實數(shù)根12