2020屆高考數(shù)學二輪復習 小題專項訓練7 理

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1、小題專項訓練7　平面向量 一、選擇題 1．(2019年福建廈門模擬)已知點A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，則向量＝(　　) A．(3，－2)　 B．(2，－2) C．(－3，－2)　 D．(－3,2) 【答案】D 【解析】由A(－1,1)，B(0,2)，可得＝(1,1)，所以＝－＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)．故選D． 2．平面四邊形ABCD中，＋＝0，(－)·＝0，則四邊形ABCD是(　　) A．矩形　　　　　　 B．正方形　　 C．菱形　　　　 D．梯形 【答案】C 【解析】因為＋＝0，所以＝，四邊形ABCD是平行四邊形．又(－)·＝·

2、＝0，則四邊形對角線互相垂直，所以四邊形ABCD是菱形． 3．(2018年河北石家莊模擬)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，m)，c＝(2,4)，且(2a－5b)⊥c，則實數(shù)m＝(　　) A．－　 B．　　 C．　　　　 D．－ 【答案】B 【解析】因為2a－5b＝(4,2)－(5,5m)＝(－1,2－5m)．又(2a－5b)⊥c，所以(2a－5b)·c＝0，即(－1,2－5m)·(2,4)＝－2＋4(2－5m)＝0，解得m＝. 4．已知平面向量a，b的夾角為，且a·(a－b)＝8，|a|＝2，則|b|等于(　　) A．　 B．2　　　　　　　 　　 C．3　 D．4 【答

3、案】D 【解析】因為a·(a－b)＝a·a－a·b＝8，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝8，所以4＋2|b|×＝8，解得|b|＝4. 5．(2019年廣東潮州模擬)已知向量a，b為單位向量，且a＋b在a的方向上的投影為＋1，則向量a與b的夾角為(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】A 【解析】設向量a，b的夾角為θ，由a，b為單位向量可得|a|＝|b|＝1.a＋b在a方向上的投影為＝＝＝1＋cos θ，所以1＋cos θ＝＋1，得cos θ＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.故選A． 6．(2019年遼寧模擬)趙爽是我國古代數(shù)學家、天文學家，大約在公元222年，

4、趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的)．類比“趙爽弦圖”，可構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設DF＝2AF，則(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ 【答案】D 【解析】由題圖的特征及DF＝2AF，易得＝，＝，＝，所以＝＋，＝＋，＝＋.所以＝＋.所以＝＋＋＝＋(－)－＝＋.所以＝＋.故選D． 7．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a與b的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是(　　) A．　 B．∪

5、 C．(－2，＋∞)　 D．[－2，＋∞) 【答案】B 【解析】當a，b共線時，2k－1＝0，解得k＝，此時a，b方向相同，夾角為0，所以要使a與b的夾角為銳角，則有a·b>0且a，b不共線．由a·b＝2＋k>0，得k>－2.又k≠，故實數(shù)k的取值范圍是∪.故選B． 8．(2018年安徽合肥校級聯(lián)考)在邊長為1的正三角形ABC中，D，E是邊BC的兩個三等分點(D靠近點B)，則·等于(　　) A．　 B． 　　 C．　　 D． 【答案】D 【解析】如圖，建立平面直角坐標系，由正三角形的性質易得A，D，E，∴＝，＝，∴·＝·＝－＋＝. 9．已知向量＝(3,1)，＝(－1，3)

6、，＝m－n (m>0，n>0)，若m＋n＝1，則||的最小值為(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】C 【解析】由＝(3,1)，＝(－1,3)，得＝m－n＝(3m＋n，m－3n)．∵m＋n＝1(m>0，n>0)，∴n＝1－m且0

7、以·＝(λ－1)2－λ2＋(1＋λ－λ2)A·. 又∠A＝90°，則·＝0.而＝1，＝2，所以4(λ－1)－λ＝5，解得λ＝3.故選B． 11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且向量a，b不共線，則下列說法錯誤的是(　　) A．|a|＝|b|＝1 B．(a＋b)⊥(a－b) C．a(chǎn)與b的夾角等于α－β D．a(chǎn)與b在a＋b方向上的投影相等 【答案】C 【解析】由夾角公式可得cos〈a，b〉＝＝a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，當α－β∈[0，π]時，〈a，b〉＝α－β，當α－β?[0，π]時，〈a，b〉≠

8、α－β，C錯誤．易得A，B，D正確．故選C． 12．(2018年四川雅安模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝1，AB＝2，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，點P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧DEM上變動，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則2λ－μ的取值范圍是(　　) A．[－，1]　 B．[－，] C．　 D． 【答案】A 【解析】以A為原點，AB，AD分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，則A(0,0)，E(1,0)，D(0,1)，F(xiàn)，P(cos α，sin α)(－90°≤α≤90°)，則＝(cos α，sin α)，＝(－1,1)，＝.∵＝λ＋μ，∴

9、cos α＝－λ＋μ，sin α＝λ＋μ，解得λ＝(3sin α－cos α)，μ＝(cos α＋sin α)．∴2λ－μ＝sin α－cos α＝sin(α－45°)．∵－90°≤α≤90°，∴－≤sin(α－45°)≤1.故選A． 二、填空題 13．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n＝________. 【答案】－3 【解析】由a＝(2,1)，b＝(1，－2)，可得m a＋n b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，則2m＋n＝9，m－2n＝－8，解得m＝2，n＝5，故m－n＝－3. 14．已知向量a，b滿足|a|＝

10、1，|b|＝2，a與b的夾角的余弦值為sin ，則b·(2a－b)的值為________． 【答案】－18 【解析】因為a與b的夾角的余弦值為sin ＝－，所以a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18. 15．已知A，B，C為單位圓O上任意三點，·＝0，·＝－，·＝－，若OA的中點為E，則·的值為________． 【答案】 【解析】由題意，設B(1,0)，C(0,1)，A(x，y)，則＝(x，y)，∴·＝x＝－，·＝y(tǒng)＝－.∴A，OA的中點為E.∴·＝·(1，－1)＝－＋＋1＝. 16．(2018年江蘇南京模擬)O是平面α上一定點，A，B，C是平面α上△ABC的三個

11、頂點，∠B，∠C分別是邊AC，AB的對角，給出以下命題： ①若點P滿足＝＋＋，則△ABC的外心一定在滿足條件的P點集合中； ②若點P滿足＝＋λ(λ>0)，則△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中； ③若點P滿足＝＋λ(λ>0)，則△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中； ④若點P滿足＝＋λ (λ>0)，則△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中． 其中正確命題的序號是________． 【答案】②③④ 【解析】對于①，由＝＋＋，知＋＋＝0，故點P是△ABC的重心，①錯誤；對于②，由＝＋λ，知＝λ，∵與分別表示與方向上的單位向量，故AP平分∠BAC，∴△ABC的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中， ②正確；對于③，由＝＋λ，知＝λ，在△ABC中，∵||sin B，||sin C都表示BC邊上的高h，故＝(＋)＝(其中D為BC的中點)，即點P在BC邊上的中線所在直線上，∴△ABC的重心一定在滿足條件的P點集合中，③正確；對于④，由已知得＝λ，則·＝λ·，得·＝0，即點P在邊BC上的高線所在直線上，∴△ABC的垂心一定在滿足條件的P點集合中，④正確．綜上，②③④正確． - 7 -