2020屆高考數(shù)學二輪復習 每日一題 規(guī)范練（第四周）理

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1、每日一題　規(guī)范練(第四周) [題目1] (2019·合肥質檢)已知函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若α∈，f(α)＝，求cos 2α. 解：(1)因為f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π. (2)由f(α)＝可得sin＝. 因為α∈，所以2α＋∈. 又0＜sin＝＜，所以2α＋∈， 所以cos＝－， 所以cos 2α＝cos＝cos＋sin＝×＋×＝. [題目2] 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，首項a1＞0且2Sn＝a＋an(n

2、∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若an＞0，令bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn＜m恒成立，m∈Z，求m的最小值． 解：(1)當n＝1時，2S1＝a＋a1，則a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－， 則(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0?an＝－an－1或an＝an－1＋1， 所以an＝(－1)n－1或an＝n. (2)因為an＞0，所以an＝n. 所以bn＝＝＝2. 則Tn＝2[＋＋＋…＋]＝3－＜3. 又m∈Z，所以mmin＝3. [題目3] 艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把

3、人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細胞作為主要攻擊目標，使人體喪失免疫功能．下表是近八年來我國艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計表： 年份 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代碼x 1 2 3 4 5 6 7 8 感染者人數(shù)y/萬人 34.3 38.3 43.3 53.8 57.7 65.4 71.8 85 (1)請根據(jù)該統(tǒng)計表，畫出這八年我國艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖； (2)請用相關系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關系； (3)建立y關于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預測202

4、0年我國艾滋病病毒感染人數(shù)． 參考數(shù)據(jù)：≈6.48；yi＝449.6， x iyi＝2319.5, ＝46.2， 參考公式：相關系數(shù)r＝. 回歸方程＝x＋中，＝，＝－ 解：畫出的折線圖如圖所示. (2)由統(tǒng)計表，＝4.5, ＝56.2 所以≈296.3， ×46.2≈299.376, 所以r＝≈0.99. 說明y與x的線性相關相當高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關系． (3)因為＝＝≈7.05， ＝－＝56.2－7.05×4.5≈24.48， 所以＝7.05x＋24.48. 當x＝10時，＝7.05×10＋24.48＝94.98. 所以預測2020年

5、我國艾滋病感染累積人數(shù)為94.98萬人． [題目4] 已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點為F，點P(x0，3)為拋物線C上一點，且點P到焦點F的距離為4，過點A(a，0)作拋物線C的切線AN(斜率不為0)，設切點為N. (1)求拋物線C的標準方程； (2)證明：以FN為直徑的圓過點A. (1)解：由題知，|PF|＝y(tǒng)P＋， 所以4＝3＋，解得p＝2， 所以拋物線C的標準方程為x2＝4y. (2)證明：設切線AN的方程為y＝k(x－a)，k≠0， 聯(lián)立消去y可得x2－4kx＋4ka＝0， 由題意得Δ＝16k2－16ka＝0，即a＝k， 所以切點N(2a，a2)．

6、 又F(0，1)，A(a，0)， 所以＝(－a，1)，＝(a，a2)． 因此·＝(－a，1)·(a，a2)＝0. 所以AF⊥AN，即∠FAN＝90°，故以FN為直徑的圓過點A. [題目5] 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D為AB的中點，AB＝2.AC＝1，CC1＝，∠ABC＝30°. (1)證明：AC1∥平面B1CD； (2)求直線DC1與平面B1CD所成角的正弦值． (1)證明：連接BC1交B1C于點E，連接DE， 因為四邊形BB1C1C是平行四邊形， 所以點E是BC1的中點， 又點D為AB的中點， 所以DE是△ABC1的中位線，所以

7、DE∥AC1. 又DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD， 所以AC1∥平面B1CD. (2)解：由AB＝2，AC＝1，∠ABC＝30°，可得AC⊥BC， 以點C為坐標原點，CA，CB，CC1為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz. 則C(0，0，0)，B1(0，，)，D，C1(0，0，)， 所以＝，＝(0，，)， ＝， 設平面B1CD的法向量為n＝(x，y，z)， 則n·＝0，n·＝0， 即令z＝1，得n＝(，－1，1)， 所以cos〈n，〉＝＝， 所以直線DC1與平面B1CD所成角的正弦值為. [題目6] 已知曲線f(x)＝axln x

8、－2ax(a≠0)在點P(1，f(1))處的切線與直線x－y－1＝0垂直． (1)求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若1＜m＜2，證明：f(x)＜x2－mx－ln x. (1)解：由f(x)＝axln x－2ax，且定義域為(0，＋∞)， 得f′(x)＝a(ln x＋1)－2a＝aln x－a. 所以f′(1)＝－a. 又曲線f(x)在點P(1，f(1))處的切線與直線x－y－1＝0垂直， 所以－a×1＝－1，則a＝1. 則f(x)＝xln x－2x，f′(x)＝ln x－1. 令f′(x)＝0?x＝e. 則當x∈(0，e)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減； 當x∈(e

9、，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增， 所以函數(shù)f(x)的最小值為f(e)＝－e. (2)證明：要證f(x)＜x2－mx－ln x， 即證xln x－2x＜x2－mx－ln x. 又因為x＞0， 所以即證ln x－x＜2－m－. 記F(x)＝ln x－x，則F′(x)＝－1， 所以當x∈(0，1)時，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)單調遞增； 當x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)(x)單調遞減， 所以當x＝1時，F(xiàn)(x)有最大值F(1)＝－1. 又記G(x)＝2－m－，則G′(x)＝－. 所以當x∈(0，e)時，G′(x)＜0，G(x)單調遞減； 當x∈(e，＋∞)

10、時，G′(x)＞0，G(x)單調遞增， 所以G(x)的最小值為G(e)＝2－m－. 因為1＜m＜2，所以2－m－＞－＞－1， 所以G(x)min＞F(x)max. 所以f(x)＜x2－mx－ln x成立． [題目7] 1.[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 在直角坐標系xOy中，曲線C1：(θ為參數(shù))，在以O為極點，x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：ρ(cos θ－sin θ)＝4. (1)寫出曲線C1和C2的普通方程； (2)若曲線C1上有一動點M，曲線C2上有一動點N，求使|MN|最小時M點的坐標． 解：(1)由C1：消去θ， 得普通方程為＋y2＝1. 將

11、x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲線C2， 得直角坐標方程x－y－4＝0. (2)在曲線C1上取點M(2cos θ，sin θ)， 結合圖形可知：|MN|最小值即為點M到直線C2的距離的最小值． 因為M到直線C2的距離d＝＝ ， 所以當sin(θ＋φ)＝1時，d最小，即|MN|最?。? 此時，2cos θ－sin θ＝，聯(lián)立sin2θ＋cos2θ＝1. 得cos θ＝，sin θ＝－. 故所求M的坐標為. 2．[選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|2x－m|. (1)若不等式f(x)≤6的解集為{x|－2≤x≤4}，求實數(shù)m的值； (2)在(1)的條件下，若不等式f(x)＋f ≤＋對一切滿足a＋b＝2的正實數(shù)a，b恒成立，求x的取值范圍． 解：(1)由|2x－m|≤6，得－6≤2x－m≤6， 所以m－6≤2x≤6＋m. 又不等式f(x)≤6的解集為{x|－2≤x≤4}， 所以解之得m＝2. (2)m＝2時，f(x)＋f＝|2x－2|＋|x＋4|＝ 又a＋b＝2，a＞0，b＞0， 所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9. 故f(x)＋f ≤9，則－3≤x≤. 所以實數(shù)x的取值范圍為. - 8 -