2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 小題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練8 理

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1、小題專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練8　立體幾何 一、選擇題 1．若直線a∥平面α，直線b∥直線a，點(diǎn)A∈b且A∈α，則b與α的位置關(guān)系是(　　) A．b∩α＝A　　 B．b?α C．b∥α　 D．b∥α或b?α 【答案】B 【解析】由a∥α，b∥a?b∥α或b?α.又b過(guò)α內(nèi)一點(diǎn)，故b?α. 2．(2019年陜西模擬)已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量是m＝(2，－1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是(　　) A．P(2,3,3)　 B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0)　 D．P(3，－3,4) 【答案】A 【解析】記P(x，y，z)，則＝(x－1，y＋

2、1，z－2)，當(dāng)⊥α，即·m＝2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，即2x－y＋2z＝7時(shí)，點(diǎn)P(x，y，z)在平面α內(nèi)，驗(yàn)證知只有A滿足．故選A． 3．設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“a⊥b”是“α⊥β ”的(　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充要條件　 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】由α⊥β，b⊥m，得b⊥α.又直線a在平面α內(nèi)，所以a⊥b；但直線a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β ”的必要不充分條件．故選B． 4．(2019年江蘇宿遷期末)如圖，一個(gè)底面水平放置的倒圓錐形容器，它

3、的軸截面是正三角形，容器內(nèi)有一定量的水，水深為h.若在容器內(nèi)放入一個(gè)半徑為1的鐵球后，水面所在的平面恰好經(jīng)過(guò)鐵球的球心O(水沒(méi)有溢出)，則h的值為(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】D 【解析】作OD⊥AC，垂足為D，則球的半徑r＝OD＝1，此時(shí)OA＝2r＝2，倒圓錐的底面半徑OC＝2tan 30°＝.放入小球之前，水深為h.，則底面半徑為htan 30°＝h.由題意得π2h＝π2×2－×π×13，解得h＝.故選D． 5．如圖，兩個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱分別有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一球面上．若圓柱的側(cè)面積等于兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，且該球的表面積為16

4、π，則圓柱的體積為(　　) A．2π　 B．　　 C．6π　 D．8π 【答案】C 【解析】設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝16，解得R＝2.設(shè)圓錐的高O1A＝O2B＝x，底面圓半徑O1C＝O2D＝y(tǒng)，則圓錐的母線長(zhǎng)AC＝，圓柱的高為4－2x.由圓柱的側(cè)面積等于兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，得2πy(4－2x)＝2πy，則y2＝3x2－16x＋16.在Rt△OO1C中，可得(2－x)2＋y2＝4，解得(舍去)或所以圓柱的體積為V＝πy2(4－2x)＝6π.故選C． 6．(2018年廣東珠海一模)如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，AA1＝3，AB＝

5、BC＝CD＝，∠BCD＝120°，則直線A1B與B1C所成的角的余弦值為(　　) A．　 B．　　 C．　　　　 D． 【答案】A 【解析】以A為原點(diǎn)，在平面ABCD中，過(guò)點(diǎn)A的AD的垂線為x軸，AD為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(0,0,3)，B，B1，C，＝，＝(0，，－3)．設(shè)直線A1B與B1C所成的角為θ，則cos θ＝＝＝.故選A． 7．已知ABCD為空間四邊形，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分別是對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)，則MN與(　　) A．AC，BD之一垂直　 B．AC，BD都垂直 C．AC，BD都不垂直　 D．AC，BD不一定垂直

6、 【答案】B 【解析】∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.連接AN，CN，MN，則AN＝CN.在等腰△ANC中，∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴MN⊥AC.同理可得MN⊥BD.故選B． 8．(2018年福建福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題： ①一定存在平行于a的平面α使b⊥α； ②一定存在平行于a的平面α使b∥α； ③一定存在平行于a的平面α使b?α； ④一定存在無(wú)數(shù)個(gè)平行于a的平面α與b交于一定點(diǎn)． 則其中真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　 B．2　　 C．3　　　　 D．4 【答案】C 【解析】對(duì)于①，若存在平面α，使得b⊥α，則有b⊥a，而直

7、線a，b未必垂直，∴①不正確；對(duì)于②，注意到過(guò)直線a，b外一點(diǎn)M分別引直線a，b的平行線a1，b1，顯然由直線a1，b1可確定平面α，此時(shí)平面α與直線a，b均平行，∴②正確；對(duì)于③，注意到過(guò)直線b上的一點(diǎn)B作直線a2與直線a平行，顯然由直線b與a2可確定平面α，此時(shí)平面α與直線a平行，且b?α，∴③正確；對(duì)于④，在直線b上取一定點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作直線c與直線a平行，經(jīng)過(guò)直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行，且與直線b相交于一定點(diǎn)N，∴④正確．綜上，②③④正確．故選C． 9．已知三棱錐S－ABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面A

8、BC，SA＝3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為(　　) A．　 B．　　 C．　 D． 【答案】A 【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，，0)．設(shè)平面SBC的法向量為n＝(x，y，z)， 則 可取n＝(3，，2)．又＝(2,0,0)，所以當(dāng)θ為AB與平面SBC所成的角時(shí)，sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. 10．(2019年江西模擬)如圖所示，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長(zhǎng)為(　　) A．18＋

9、3 B．6＋3 C．6＋9 D．10＋3＋4 【答案】B 【解析】在平面A1B1C1D1中，雙向延長(zhǎng)EF，分別與A1D1，A1B1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，Q，連接AP交DD1于點(diǎn)M，連接AQ交BB1于點(diǎn)N，則過(guò)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)該正方體的截面為五邊形AMEFN.易得D1P＝B1Q＝AD＝2，則DM＝BN＝4，D1M＝B1N＝2，所以AM＝AN＝＝2，ME＝NF＝＝，EF＝＝3.所以截面的周長(zhǎng)為6＋3.故選B． 11．已知球O1和球O2的半徑分別為1和2，且球心距為.若兩球體的表面相交得到一個(gè)圓，則該圓的面積為(　　) A．2π　 B．π　　 C．　 D． 【答案】C 【解析】作出

10、兩球面相交的一個(gè)截面圖如圖所示，AB為相交圓的直徑．由條件知O1A＝1，O2A＝2，O1O2＝，∴△AO1O2為直角三角形．由三角形面積公式，得AC＝＝，∴所求圓的面積為π·2＝. 12．(2018年河北唐山模擬)設(shè)點(diǎn)A，B，C為球O的球面上三點(diǎn)，O為球心，球O的表面積為100π，且△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則三棱錐O－ABC的體積為(　　) A．12　 B．24　　 C．24　 D．12 【答案】D 【解析】∵球O的表面積為100π＝4πr2，∴球O的半徑為5.如圖，取△ABC的中心H，連接OH，連接AH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，則AM＝＝6，AH＝AM＝4，∴OH＝＝＝3，∴三

11、棱錐O－ABC的體積為V＝××(4)2×3＝12. 二、填空題 13．設(shè)一正方體外接球的體積為V1，內(nèi)切球的體積為V2，則＝________. 【答案】3 【解析】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則外接球半徑r1＝，內(nèi)切球半徑r2＝，所以＝＝3. 14．已知平面α，β和直線m，給出條件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β.當(dāng)滿足條件________時(shí)，有 m∥β.(填所選條件的序號(hào)) 【答案】③⑤ 【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得，當(dāng)m?α，α∥β時(shí)，m∥β，故滿足條件③⑤時(shí)，有m∥β. 15．(2018年遼寧沈陽(yáng)三模)如圖，將一塊邊長(zhǎng)為10 cm的正方形鐵片裁下四

12、個(gè)全等的等腰三角形(陰影部分)把余下的部分沿虛線折疊后圍成一個(gè)正四棱錐，若被裁下陰影部分的總面積為20 cm2，則正四棱錐的體積為_(kāi)_______cm3. 【答案】 【解析】如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長(zhǎng)為x cm，由4××5×x＝20，解得x＝2.所得四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，四棱錐的斜高EF＝＝3，四棱錐的高為OE＝＝，所以該容器的體積V＝×(4)2×＝. 16．(2018年甘肅天水一模)四棱錐P－ABCD的三視圖如圖，且四棱錐P－ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_(kāi)_______．　 【答案】12π 【解析】將三視圖還原為直觀圖如圖中四棱錐P－ABCD，可得四棱錐P－ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)位于同一個(gè)正方體的頂點(diǎn)處，且與該正方體內(nèi)接于同一個(gè)球．設(shè)外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連接OG，OA，AG.∵直線EF被球面所截得的線段長(zhǎng)為2，即正方體面對(duì)角線長(zhǎng)也是2，∴AG＝＝a，得a＝2.在Rt△OGA中，OG＝a＝1，AG＝，則AO＝，即外接球半徑R＝，∴所求外接球的表面積為4πR2＝12π. - 7 -