2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第十單元 計數(shù)原理 、概率與統(tǒng)計 第80講 概率與統(tǒng)計的綜合問題練習 理（含解析）新人教A版

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1、第80講　概率與統(tǒng)計的綜合問題 1．(2018·湖北5月沖刺試題)有120粒試驗種子需要播種，現(xiàn)有兩種方案：方案一：將120粒種子分種在40個坑內，每坑3粒；方案二：120粒種子分種在60個坑內，每坑2粒，如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，并且，若一個坑內至少有1粒種子發(fā)芽，則這個坑不需要補種；若一個坑內的種子都沒發(fā)芽，則這個坑需要補種(每個坑至多補種一次，且第二次補種的種子顆粒同第一次)．假定每個坑第一次播種需要2元，補種1個坑需1元；每個成活的坑可收獲100粒試驗種子，每粒試驗種子收益1元． (1)用ξ表示播種費用，分別求出兩種方案的ξ的數(shù)學期望； (2)用η表示收益，分別求出兩種方案

2、的收益η的數(shù)學期望； (3)如果在某塊試驗田對該種子進行試驗，你認為應該選擇哪種方案？ (1)方案一：用X1表示一個坑播種的費用，則X1可取2，3. X1 2 3 P ()3 所以E X1＝2×＋3×＝.所以Eξ1＝40×E X1＝85元． 方案二：用X2表示一個坑播種的費用，則X2可取2，3. X2 2 3 P ()2 所以E X2＝2×＋3×＝. 所以Eξ2＝60×E X2＝135元． (2)方案一：用Y1表示一個坑的收益，則Y1可取0，100. Y1 0 100 P ()2 所以E Y1＝100×＝.所以Eη1＝40×E Y1＝

3、3937.5元． 方案二：用Y2表示一個坑的收益，則Y2可取0，100. Y2 0 100 P ()2 所以E Y2＝100×＝，所以Eη2＝60×E Y2＝5625元． (3)方案二所需的播種費用比方案一多50元，但是收益比方案一多1687.5元，故應選擇方案二． 2．(2018·長春二模)某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400)(單位：克)中，經(jīng)統(tǒng)計得頻率分布直方圖如圖所示． (1)現(xiàn)按分層抽樣從質量為[250

4、，300)，[300，350)的芒果中隨機抽取9個，再從這9個中隨機抽取3個，記隨機變量X表示質量在[300，350)內的芒果個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望； (2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率，某經(jīng)銷商來收購芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案： A：所有芒果以10元/千克收購； B：對質量低于250克的芒果以2元/個收購，高于或等于250克的以3元/個收購． 通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多． (1)9個芒果中，質量在[250，300)和[300，350)內的分別有6個和3個． 則X的可能取值為0，1，

5、2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的數(shù)學期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. (2)方案A: (125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10000×10×0.001＝25750元 方案B： 低于250克：(0.002＋0.002＋0.003)×50×10000×2＝7000元， 高于或等于250克(0.008＋0.004＋0.001)×50×10000×3＝19

6、500元， 總計7000＋19500＝26500元． 由25750<26500，故B方案獲利更多，應選B方案． 3．(2018·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由． (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)

7、表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高． 理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至少為80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間至多為79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的

8、工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需平均時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需平均時間低于80分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，關于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，關于莖7大致呈對稱分布．又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用第二種生產(chǎn)方式完

9、成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) (2)由莖葉圖知m＝＝80. 列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)因為K2＝＝10>6.635， 所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 4．(2018·武漢調研測試)在某市高中某學科競賽中，某一個區(qū)4000名考生的參賽成績統(tǒng)計如圖所示． (1)求這4000名考生的競賽平均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表)； (2)由直方

10、圖可認為考生競賽成績z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取考生的平均成績和考生成績的方差s2，那么該區(qū)4000名考生成績超過84.41分(含84.81分)的人數(shù)估計有多少人？ (3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3)．(精確到0.001) 附：①s2＝204.75，＝14.31； ②z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ

11、55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 所以＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5， 所以4000名考生的競賽平均成績x為70.5分． (2)依題意z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)， 其中μ＝＝70.5，σ2＝Dξ＝204.75，σ＝14.31， 所以z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)＝N(70.5，14.312)， 而P(μ－σ