14、π，A項正確．B項，因?yàn)閒(x)＝cos圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，B項正確．C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當(dāng)k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點(diǎn)為x＝，C項正確．D項，因?yàn)閒(x)＝cos的遞減區(qū)間為(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤．故選D.
4.(2018·江蘇高考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則φ的值是________．
答案?。?
解析 由題意可得sin＝±1，所以＋φ＝＋kπ，φ＝－＋kπ(k∈Z)，因?yàn)椋?φ<，所以k＝0
15、，φ＝－.
專題作業(yè)
一、選擇題
1.(2019·河北唐山二模)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點(diǎn)A(2sinα，3)，則cosα＝( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 由三角函數(shù)的定義得tanα＝，即＝，得3cosα＝2sin2α＝2(1－cos2α)，即2cos2α＋3cosα－2＝0，解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)，故選A.
2.已知tanα＝－，且α∈(0，π)，則sin2α＝( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由tanα＝－，且α∈(0，π)，得sinα＝＝，cosα＝－，由二倍角
16、公式得sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－.故選B.
3.函數(shù)y＝cos2x＋2sinx的最大值為( )
A. B．1 C. D．2
答案 C
解析 y＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋，∵sinx∈[－1,1]，當(dāng)sinx＝時，ymax＝.故選C.
4.(2019·全國卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)兩個相鄰的極值點(diǎn)，則ω＝( )
A.2 B.
C．1 D.
答案 A
解析 由題意及函數(shù)y＝sinωx的圖象與性質(zhì)可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故選A.
5.(2019·全國卷
17、Ⅲ)函數(shù)f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A.2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinx·cosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為0，π，2π，共3個．故選B.
6.(2019·衡水聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝2sin的圖象向左平移個單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)y＝g(x)的說法錯誤
18、的是( )
A.最小正周期為π
B.圖象關(guān)于直線x＝對稱
C.圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
D.初相為
答案 C
解析 易求得g(x)＝2sin，其最小正周期為π，初相為，即A，D正確，而g＝2sin＝2.故函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，即B正確，C錯誤．故選C.
7.(2019·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函數(shù)，將y＝f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x)．若g(x)的最小正周期為2π，且g＝，則f＝( )
A.－2 B．－ C. D．2
答案 C
解析 因?yàn)閒
19、(x)是奇函數(shù)(顯然定義域?yàn)镽)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.
由題意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期為2π，所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，
所以g＝Asin＝A＝，所以A＝2.
所以f(x)＝2sin2x，所以f＝.故選C.
8.(2017·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，則( )
A.ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C.ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
答案 A
解析 ∵f＝2，f＝0，且f(x)的最
20、小正周期大于2π，
∴f(x)的最小正周期為4＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.故選A.
9.(2019·長郡中學(xué)、衡陽八中聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，已知A，B，則f(x)圖象的對稱中心為( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 T＝2＝π＝，∴ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)．
由五點(diǎn)作圖法知A是第二點(diǎn)，得2×＋φ＝，
2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又
21、|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．
∴f(x)圖象的對稱中心為(k∈Z)．故選C.
10.(2019·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且僅有5個零點(diǎn)，下述四個結(jié)論：
①f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點(diǎn)；
②f(x)在(0,2π)有且僅有2個極小值點(diǎn)；
③f(x)在單調(diào)遞增；
④ω的取值范圍是.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①④ B．②③
C.①②③ D．①③④
答案 D
解析 已知f(x)＝sin(ω>0)在[0,2π]有且僅有5個零點(diǎn)，如圖，其
22、圖象的右端點(diǎn)的橫坐標(biāo)在[a，b)上，此時f(x)在(0,2π)有且僅有3個極大值點(diǎn)，但f(x)在(0,2π)可能有2或3個極小值點(diǎn)，所以①正確，②不正確；當(dāng)x∈[0,2π]時，ωx＋∈，由f(x)在[0,2π]有且僅有5個零點(diǎn)可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范圍是，所以④正確；當(dāng)x∈時，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在單調(diào)遞增，所以③正確．故選D.
二、填空題
11.已知sin·cos＝，且0<α<，則sinα＝________，cosα＝________.
答案
解析 由誘導(dǎo)公式得sin·cos
＝－cosα·(－sinα)，即sinα·cosα＝.
又∵0<α<，s
23、in2α＋cos2α＝1，
得sinα＝，cosα＝.
12.(2019·衡水中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)＝－2cosωx(ω>0)的圖象向左平移φ個單位，所得的部分函數(shù)圖象如圖所示，則φ的值為________．
答案
解析 由題圖知，T＝2＝π，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos2x，
∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，
則由圖象知，f＝－2cos＝2.
∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，則φ＝＋kπ(k∈Z)．
又0<φ<，所以φ＝.
13.(2019·棗莊模擬)已知f(x)＝sinωx－cosωx，若函數(shù)f(x)圖象的任何一條對稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬
24、于區(qū)間(π，2π)，則ω的取值范圍是________．(結(jié)果用區(qū)間表示)
答案
解析 f(x)＝sinωx－cosωx＝sin，
∵函數(shù)f(x)圖象的任何一條對稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(π，2π)，則＝≥2π－π，
∴ω≤1，∴<ω≤1.
令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．
∴＋≤π且＋≥2π(k∈Z)，
∴ω≥＋k且ω≤＋(k∈Z)，
∴k＝0.此時，ω≥且ω≤.
綜上，≤ω≤.
14.(2019·廣東省際名校聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝1－2·cos2x－(sinx－cosx)2的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，若x∈，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．
答案
解析 ∵f(x)＝1－2cos2x－(sinx－cosx)2
＝sin2x－cos2x－＝2sin－，
∴g(x)＝2sin－＝2sin－，
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∵x∈，
∴函數(shù)g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.
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