三角函數(shù)、解三角形高考常見題型解題思路及知識點(diǎn)總結(jié)

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1、三角函數(shù)、解三角形高考常見題型解題思路及知識點(diǎn)總結(jié)一、解題思路（一）解題思路思維導(dǎo)圖（二）常見題型1.三角恒等變換已知正切值求正弦、余弦齊次式值問題解題思路及步驟注意事項(xiàng)化為同角齊次式把式子每一項(xiàng)化為關(guān)于正弦、余弦的齊次式除以余弦化切分子、分母同除以余弦最高次冪，將式子化為正切，若不是分式，可以通過除1=化為分式齊次式代入求值將正切值代入化簡求值典例1：（2016年3卷）若 ，則（ ）(A) (B) (C) 1 (D) 【解析】故選A2.三角恒等變換給值求值問題解題思路及步驟注意事項(xiàng)化簡應(yīng)用誘導(dǎo)公式等把條件或結(jié)論盡量化簡確定關(guān)系通過已知角（或其兩倍）和未知角（或其兩倍）之間的和、差運(yùn)算消掉變量

2、，看是否得到的整數(shù)倍，若是則可以相互轉(zhuǎn)化用已知表示未知根據(jù)未知角與已知角關(guān)系，用已知角（看成一個(gè)整體，不能分開）表示未知角求值通過誘導(dǎo)公式、二倍角公式將未知角三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為已知角三角函數(shù)值典例2：（2016年2卷9）若，則=（ ）（A）（B）（C）（D）【解析】，故選D3圖象法求三角函數(shù)性質(zhì)解題思路及步驟注意事項(xiàng)化為若表達(dá)式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化為同角或降次化為用輔助角公式將第一步所得式子化為形式畫圖象用“五點(diǎn)作圖法”根據(jù)需要作出函數(shù)部分圖象，步驟是：（1）求周期；（2）求周期起始點(diǎn)橫坐標(biāo)；（3）寫出相鄰點(diǎn)橫坐標(biāo)，往右為，往左為，以此類推，畫出能解決問題的圖象部分注意：若，則根

3、據(jù)與圖象關(guān)于x軸對稱關(guān)系畫出其圖象；若，則根據(jù)誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為大于零情況解決寫性質(zhì)根據(jù)圖象寫出函數(shù)對稱軸、對稱中心、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)典例3：（2017年3卷6）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A的一個(gè)周期為 B的圖像關(guān)于直線對稱C的一個(gè)零點(diǎn)為D在單調(diào)遞減【解析】函數(shù)的圖象可由向左平移個(gè)單位得到，如圖可知，在上先遞減后遞增，D選項(xiàng)錯誤，故選D.4復(fù)合函數(shù)法求三角函數(shù)性質(zhì)解題思路及步驟注意事項(xiàng)化為若表達(dá)式不同角或二次式，一般需用二倍角公式化為同角或降次化為用輔助角公式將第一步所得式子化為形式寫出外函數(shù)滿足條件把原函數(shù)看成由內(nèi)函數(shù)和外函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，對稱軸由求得，對稱中心橫坐標(biāo)由求得、單調(diào)增區(qū)間

4、由求得，單調(diào)減區(qū)間由求得等等注意：若不滿足條件，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”原則確定單調(diào)區(qū)間轉(zhuǎn)換為內(nèi)函數(shù)滿足條件將以上方程或不等式中的u用代換，并解出x的值或范圍寫性質(zhì)根據(jù)解出x的值或范圍寫出函數(shù)對稱軸、對稱中心、單調(diào)區(qū)間、最值等性質(zhì)5求三角函數(shù)解析式解題思路及步驟注意事項(xiàng)求A和B，求先求周期T，再由求求求代入已知點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)的具體范圍求出，一般代入最值點(diǎn)，若代入與的交點(diǎn)，注意區(qū)分是在增區(qū)間還是減區(qū)間上求解析式寫出解析式典例4：（2015年1卷8）函數(shù)=的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）（A）（B）（C） （D） 【解析】由五點(diǎn)作圖知，解得，所以，令，解得，故單調(diào)減區(qū)間為（，），故選D

5、. 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)6三角函數(shù)圖象的平移與伸縮變換解題思路及步驟注意事項(xiàng)寫出變換法則把變換前的函數(shù)看成抽象函數(shù)，根據(jù)變換法則寫出變換后的抽象函數(shù)代入表達(dá)式根據(jù)原函數(shù)解析式寫出變換后的解析式，例如：=向右平移個(gè)單位后得函數(shù)=，其他變換都按這個(gè)方法確定變換后解析式典例5：（2017年1卷9）已知曲線C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，則下面結(jié)論正確的是A把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2B把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2C把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原

6、來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線C2D把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C2【解析】先變周期：先變相位：選D7.解三角形知一求一問題解題思路及步驟注意事項(xiàng)邊角互化通過正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式等將題目中復(fù)雜條件統(tǒng)一為邊或統(tǒng)一為角，達(dá)到消元目的化簡方程化邊注意余弦定理應(yīng)用或因式分解化簡方程，化角注意兩角和與差公式的應(yīng)用，在約去同角三角函數(shù)值時(shí)要明確它是否為零解方程求邊注意整體代入，求角要先寫出角的范圍再根據(jù)三角函數(shù)值寫出角的值8.解三角形知三求一問題解題思路及步驟注意事項(xiàng)畫出草圖根據(jù)條件盡量畫出

7、符合條件的圖形，并標(biāo)注已知條件，觀察已知三個(gè)條件屬于什么類型列方程組根據(jù)題目條件列方程，一般地，已知三邊、已知兩邊及夾角用余弦定理；已知兩角（等價(jià)于已知三個(gè)內(nèi)角）及一邊用正弦定理；已知兩邊及一邊的對角用正弦定理和余弦定理都可以，這種情況要注意判斷是一個(gè)解還是兩個(gè)解.若涉及多個(gè)三角形，則抓住兩個(gè)三角形公共邊、公共角、互補(bǔ)角、互余角、角平分線性質(zhì)等列方程解方程邊的方程注意整體代入進(jìn)行消元，求角要先寫出角的范圍再根據(jù)三角函數(shù)值寫出角的值典例6：（2017年2卷17）的內(nèi)角的對邊分別為，已知(1)求;(2)若，的面積為2，求 解析:（1）依題得因?yàn)?，所以，所以，得（舍去）?（2） 由可知，因?yàn)?，所?/p>

8、，即，得.因?yàn)?，所以，即，從而，即，解?.解三角形知二求最值（或范圍）問題解題思路及步驟注意事項(xiàng)畫出草圖根據(jù)條件盡量畫出符合條件的圖形，并標(biāo)注已知條件最值化邊或化角通過正弦定理最值式子化邊或化角表示，若能化成一邊表示，則用函數(shù)求最值，若化為兩邊表示則用基本不等式或重要不等式求最值；若化角表示，先用內(nèi)角和化為同一個(gè)角，再用輔助角公式轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=Asin(x+)的最值問題求最值化邊用基本不等式求最值時(shí)要寫出取得等號的條件，化角用三角函數(shù)求最值時(shí)要先求出角x+的取值范圍典例7：(2013年2卷17)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.(1)求B.(2)若

9、b=2，求ABC面積的最大值.【解析】(1)因?yàn)閍=bcosC+csinB，所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB，所以sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB，即cosBsinC=sinCsinB，因?yàn)閟inC0，所以tanB=1，解得B=(2) 由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos，即4=a2+c2-ac，由不等式得a2+c22ac，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，取等號，所以4(2-)ac，解得ac4+2，所以ABC的面積為acsin(4+2)=+1.所以ABC面積的最大值為+1.典例8：（2011年1卷16）在中，則的最大值為 . 令，則由正弦定理得【解析

10、】且，(其中當(dāng)時(shí)，取最大值為二、知識點(diǎn)總結(jié)（一）知識點(diǎn)思維導(dǎo)圖（二）常用定理、公式及其變形1.同角三角函數(shù)關(guān)系：；2.誘導(dǎo)公式：對于角與角的三角函數(shù)關(guān)系“奇變偶不變，符號看象限”，這句話是對變化前的函數(shù)和角來說的. 例如在三角形，3.兩角和與差公式：；.4.二倍角公式：（1）升冪公式：，（2）降冪公式：5.輔助角公式：=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定， ).6正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)對稱性對稱中心對稱軸對稱

11、中心對稱軸對稱中心無對稱軸7函數(shù)的性質(zhì)：振幅：，周期：，頻率：，相位：，初相：8函數(shù)變換到函數(shù)的兩種途徑的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象9.正弦定理：；化邊變形：，；化角變形：，；比例關(guān)系：.10.余弦定理； .邊角互化變形：，11.面積公式：（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.（3）（r為三角形內(nèi)切圓半徑）11