數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變形 1 第1課時(shí) 求值問(wèn)題 北師大版必修4

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1、 第1課時(shí)求 值 問(wèn) 題 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式同角三角函數(shù)基本關(guān)系式平方和關(guān)系公式表達(dá)語(yǔ)言敘述平方關(guān)系.同一個(gè)角的正弦、余弦的等于 1商數(shù)關(guān)系.同一個(gè)角(k2(kZ)的正弦、余弦的等于的正切商sin cos tan sin2+cos2=11 1如何理解同角三角函數(shù)關(guān)系中如何理解同角三角函數(shù)關(guān)系中“同角同角”的含義？的含義？提示：“同角”有兩層含義 一是“角相同”，二是對(duì)“任意”一個(gè)角(在使函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立，與角的表達(dá)式無(wú)關(guān)，如 sin22cos221，sin22cos221 等2 2平方關(guān)系對(duì)任意平方關(guān)系對(duì)任意RR均成立，對(duì)嗎？商數(shù)關(guān)系呢？均成立，對(duì)嗎？商數(shù)關(guān)系呢？提示：正確

2、因?yàn)閷?duì)任意R，sin，cos 都有意義，所以 sin2cos21 對(duì)任意角R 都成立 而商數(shù)關(guān)系，sin cos tan 則不然，需保證 cos 0，則 tan 有意義，所以商數(shù)關(guān)系，只對(duì)R，且k2(kZ)成立(2)cos 8170.sin 1cos2181721517，tan sin cos 1517(178)158.當(dāng)是第三象限角時(shí)，sin 0，則 sin 1517，tan 158.1 1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式揭示了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式揭示了“同角不同名同角不同名”的的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，其最基本的應(yīng)用是三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，其最基本的應(yīng)用是“知一求二知一求二”2 2知弦求值時(shí)，一般需用到

3、平方關(guān)系，這時(shí)涉及開(kāi)方知弦求值時(shí)，一般需用到平方關(guān)系，這時(shí)涉及開(kāi)方運(yùn)算，應(yīng)注意角的取值范圍當(dāng)角所在的象限不確定時(shí)，要運(yùn)算，應(yīng)注意角的取值范圍當(dāng)角所在的象限不確定時(shí)，要注意就角所在的象限分類討論注意就角所在的象限分類討論1 1 多維思考多維思考 若本講若本講(2)(2)條件改為條件改為“cos cos m(m0)”m(m0)”，結(jié)果如何？結(jié)果如何？解：當(dāng) m1 時(shí)，sin 0，tan sin cos 0；當(dāng) m1 時(shí)，由于 m0，所以角為象限角若為第一或第二象限角，則 sin 1cos2 1m2，tan sin cos m1m2.若為第三或第四象限角，則sin 1cos2 1m2，tan sin

4、 cos m1m2.當(dāng)是第三象限角時(shí)，cos 0，cos 55，sin cos tan 2 55.(2)sin cos sin cos sin cos cos cos sin cos cos cos tan 1tan 1212123.sin cos=sin cos sin2cos2=sin cos cos2sin2cos2cos2=tan tan21222125.1已知角的正切值在求角的正弦值時(shí)，應(yīng)盡量少用平方關(guān)系，一般按以下思路求解：cos211tan2開(kāi)方,cos sin.2本例(2)是已知角的正切值，求關(guān)于 sin，cos 的齊次式值的問(wèn)題解決該類問(wèn)題通常是利用商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系，將原式

5、化為關(guān)于 tan 的表達(dá)式，然后整體代入 tan 的值求解，體現(xiàn)了“整體化”的思想，可減少運(yùn)算量并避免討論用 sin=tan cos2.已知 tan()12，求：(1)sin cos 的值；(2)2sin212cos2的值解：(1)由已知得 tan 120,是第二或第四象限的角，則 cos2cos2sin2cos21tan211122145.當(dāng)是第二象限角時(shí)，cos 255，sin=tan cos=12(255)=55,sin cos 55；當(dāng)是第四象限角時(shí)，cos 255，sin tan cos 55，sin cos 55.(2)2sin212cos22sin212cos2sin2cos22

6、tan212tan2121221212210.sin tan cos 55，sin cos 55.(2)由 sin cos 15，得 12sin cos 125.sin cos 12250.又 00，cos 0，sin cos sin cos 2 12sin cos 12122575.可得 sin 45，cos 35，tan sin cos 43.1已知角已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值的某一個(gè)三角函數(shù)值，求其他三角函數(shù)式的值時(shí)，一般先利用公式將其化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)時(shí)，一般先利用公式將其化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解系求解2sin cos，sin cos，s

7、in cos 三個(gè)式子中，已三個(gè)式子中，已知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即知其中一個(gè)，可以求其他兩個(gè)，即“知一求二知一求二”，它們之間的，它們之間的關(guān)系是：關(guān)系是：(sin cos)212sin cos，利用此關(guān)系求，利用此關(guān)系求sin cos 或或sin cos 的值時(shí)，要注意判斷它們的符號(hào)的值時(shí)，要注意判斷它們的符號(hào)3已知 sin，cos 是關(guān)于 x 的方程 x2axa0 的兩個(gè)根(aR)(1)求 sin3cos3的值；(2)求 tan 1tan 的值解：sin，cos 是方程 x2axa0 的兩個(gè)根，sin cos a，且 sin cos a，(sin cos)212sin cos.即 a

8、212a，解得 a1 2，而當(dāng) a1 2時(shí)，(1 2)24(1 2)12 20，a1 2，則(1)sin3cos3(sin cos)(1sin cos)a(1a)(1 2)1(1 2)22.(2)tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 1sin cos 1a11 21 2.若 sin A45，且 A 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，求5sin A815cos A7的值錯(cuò)解sin A45，cos A1sin2A35，5sin A815cos A75458153576.錯(cuò)因由 sin A45不能確定 A 是銳角或鈍角，那么 cos A就有正、負(fù)兩個(gè)值，此解法中忽視開(kāi)方

9、運(yùn)算的符號(hào)而出現(xiàn)錯(cuò)誤正解sin A45，且 A 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，A 是銳角或鈍角當(dāng) A 為銳角時(shí)，cos A 1sin2A35.5sin A815cos A75458153576；當(dāng) A 為鈍角時(shí)，cos A 1sin2A35.5sin A815cos A754581535734.2已知 sin 45，是第三象限角，則 tan 等于()A.34B34C.43D433已知 tan 3，且為三角形的內(nèi)角，那么 cos 的值為()A 3B.2 33C12D24已知 sin 55，則 sin2cos2的值為_(kāi)5已知 tan 12，則12sin cos sin2cos2的值是_6已知 sin 42mm5，cos m3m5，是第四象限角，試求 tan 的值解：sin2cos21，(42mm5)2(m3m5)21.化簡(jiǎn)，整理得，m(m8)0，m10，m28.當(dāng) m0 時(shí)，sin 45，cos 35，不符合是第四象限角，舍去當(dāng) m8 時(shí)，sin 1213，cos 513，tan 125.