2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項突破11 數(shù)列的綜合應(yīng)用問題 理

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1、必考問題11數(shù)列的綜合應(yīng)用問題1(2012湖北)定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”，現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.其中屬于“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為()A B C D答案： C設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a的公比為q2，的公比為，其余的數(shù)列不是等比數(shù)列2(2012浙江)設(shè)Sn是公差為d(d0)的無窮等差數(shù)列an的前n項和，則下列命題錯誤的是()A若d0，則數(shù)列Sn有最大項B若數(shù)列Sn有最大項，則d0C若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則

2、對任意nN*，均有Sn0D若對任意nN*，均有Sn0，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列答案：CA、B、D均正確，對于C，若首項為1，d2時就不成立3(2010遼寧)已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為()A. B. C10 D21答案：B在an1an2n中，令n1，得a2a12；令n2得，a3a24，anan12(n1)把上面n1個式子相加，得ana12462(n1)n2n，ann2n33，n1，又nN*，n1.當(dāng)n6時，有最小值.4(2012福建)數(shù)列an的通項公式anncos1，前n項和為Sn，則S2 012_.解析anncos1，a1a2a3a46，a5a6a7a86，a4k1a4

3、k2a4k3a4k46，kN，故S2 01250363 018.答案3 0181以客觀題考查不等式的性質(zhì)、解法與數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列的簡單交匯2解答題以中檔題或壓軸題的形式考查數(shù)列與不等式的交匯，還有可能涉及到導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)的知識等，深度考查不等式的證明(主要比較法、綜合法、分析法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法)和邏輯推理能力及分類討論、化歸的數(shù)學(xué)思想，試題具有綜合性強、立意新、角度活、難度大的特點1數(shù)列試題形態(tài)多變，時常有新穎的試題入卷，學(xué)生時常感覺難以把握，為了在高考中取得好成績，必須復(fù)習(xí)、掌握好數(shù)列這一板塊及其相關(guān)的知識技能，了解近幾年來高考中對解數(shù)列試題的能力考察特點，掌握

4、相關(guān)的應(yīng)對策略，以提高解決數(shù)列問題的能力2近幾年高考中一些難題均是以高等數(shù)學(xué)的某些知識為背景而用初等數(shù)學(xué)的語言表述的試題這就啟示我們在復(fù)習(xí)備考時，要在高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接點上多下工夫，要提高將陌生問題轉(zhuǎn)化、化歸為熟知問題的能力復(fù)習(xí)時要抓住主流綜合，同時做到不忽視冷門、新型綜合.必備知識在數(shù)列求和時，為了證明的需要，需合理變形，常用到放縮法，常見的放縮技巧有：(1)；(2)；(3)2()2()；(4)利用(1x)n的展開式進(jìn)行放縮數(shù)列是特殊的函數(shù)，是定義在正整數(shù)集上的一列函數(shù)值通項公式及求和公式揭示了項和項數(shù)的依賴關(guān)系的本質(zhì)屬性用“函數(shù)與方程”的思想解決數(shù)列中的綜合問題，通常有如下情形：(1

5、)用等差數(shù)列中的公差為“斜率”的意義溝通關(guān)系解題；(2)用等差數(shù)列的前n項和為項數(shù)n的二次函數(shù)解題；(3)用函數(shù)觀點認(rèn)識數(shù)列的通項，用函數(shù)單調(diào)性的定義研究數(shù)列的增減性解決最值問題；(4)通項公式求解中方程思想的應(yīng)用； (5)應(yīng)用問題中方程思想的應(yīng)用必備方法1解決數(shù)列和式與不等式證明問題的關(guān)鍵是求和，特別是既不是等差、等比數(shù)列，也不是等差乘等比的數(shù)列求和，要利用不等式的放縮法，放縮為等比數(shù)列求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和，最終歸結(jié)為有限項的數(shù)式大小比較2解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題數(shù)列與

6、解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解該類問題出題背景廣、新穎，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，有效地將信息轉(zhuǎn)化，能較好地考查學(xué)生分析、解決問題的能力和知識的遷移能力、以客觀題或解答題的形式出現(xiàn)，屬于低中檔題【例1】 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，Pn(n,2n)，.如果n為正整數(shù)，則向量P2n1P2n的縱坐標(biāo)為_審題視點 聽課記錄審題視點 由PkPk1(k1k,2k12k)(1,2k)可求解解析PkPk1(k1k,2k12k)(1,2k)，于是P2n1P2n

7、的縱坐標(biāo)為2232522n1(4n1)答案(4n1) 解決數(shù)列與新背景、新定義的綜合問題，可通過對新數(shù)表、圖象、新定義的分析、探究，將問題轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的問題【突破訓(xùn)練1】 (2012東北三校二模)已知an是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S21S4 000，O為坐標(biāo)原點，點P(1，an)，點Q(2 011，a2 011)，則()A2 011 B2 011 C0 D1 答案： A設(shè)SnAn2Bn，當(dāng)n2時，anSnSn1(2n1)AB，由S21S4 000，知4 021 AB0，所以a2 0110，2 011ana2 0112 011，故選A.由于數(shù)列與函數(shù)的緊密聯(lián)系，近幾年高考在數(shù)列與函

8、數(shù)的綜合處命題有加強的趨勢，常考查以函數(shù)為背景的數(shù)列問題，該類問題的知識綜合性比較強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力需掌握與函數(shù)、函數(shù)性質(zhì)等相關(guān)方面的知識，難度較大【例2】 (2012陜西五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x22(n1)xn25n7.(1)設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象的頂點的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an，求證：an為等差數(shù)列；(2)設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象的頂點到x軸的距離構(gòu)成數(shù)列bn，求bn的前n項和Sn.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)配方可求頂點的縱坐標(biāo)，再用定義可證；(2)由bn|an|知分類求和(1)證明f(x)x22(n1)xn25n7x(n1)23n8，an3n8，an1an3(

9、n1)8(3n8)3，數(shù)列an為等差數(shù)列(2)解由題意知，bn|an|3n8|，當(dāng)1n2時，bn83n，Snb1bn.當(dāng)n3時，bn3n8，Snb1b2b3bn5214(3n8)7，Sn, 解決此類問題時要注意把握以下兩點：(1)正確審題，深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義；(2)明確等差、等比數(shù)列的通項、求和公式的特征【突破訓(xùn)練2】 (2012濰坊二模)已知函數(shù)f(x)(x1)2，數(shù)列an是各項均不為0的等差數(shù)列，點(an1，S2n1)在函數(shù)f(x)的圖象上；數(shù)列bn滿足bnn1.(1)求an；(2)若數(shù)列cn滿足cn，求數(shù)列cn的前n項和解(1)因為點(an1，S2n1)在函數(shù)f(x)的圖象上，所

10、以aS2n1.令n1，n2，得即由知a10或a11，a10，a11.代入解得d1或d2，又d1時，a20不合題意，d1(舍去)，d2.即an2n1.(2)由(1)得cn.令Tnc1c2c3cn，則Tn，Tn，得，Tn122.所以Tn3.數(shù)列與不等式的綜合問題是高考的熱點，?？疾椋阂詳?shù)列為載體，比較兩項的大小或證明不等式；以數(shù)列為載體，利用不等式恒成立求參數(shù)在解答時需要我們抓住本質(zhì)，進(jìn)行合理變形、求和，再結(jié)合與不等式有關(guān)的知識求解試題難度較大【例3】 (2011廣東)設(shè)b0，數(shù)列an滿足a1b，an(n2)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明：對于一切正整數(shù)n,2anbn11.審題視點 聽課記

11、錄審題視點 (1)對所給遞推關(guān)系式變形(取倒數(shù))后構(gòu)造等比數(shù)列求解(2)利用基本不等式放縮(1)解由a1b0，知an0， .令A(yù)n，A1.當(dāng)n2時，AnAn1A1.當(dāng)b1時，An；當(dāng)b1時，Ann.所以an(2)證明當(dāng)b1時，欲證2anbn11，只需證2nbn(bn11).因為(bn11)b2nb2n1bn1bn1bn21bnbn(222)2nbn，所以2an1bn1.當(dāng)b1,2an2bn11.綜上所述，2anbn11. 與數(shù)列有關(guān)的不等式證明常用的方法有：比較法(作差作商)、放縮法、利用函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法證明，其中利用不等式放縮證明是一個熱點，常常出現(xiàn)在高考的壓軸題中，是歷年命題的熱點

12、利用放縮法解決“數(shù)列不等式”問題通常有兩條途徑：一是先放縮再求和，二是先求和再放縮【突破訓(xùn)練3】 (2012日照一模)已知各項均不相等的等差數(shù)列an的前四項和S414，a3是a1，a7的等比中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項和，若Tnan1對一切nN*恒成立，求實數(shù)的最大值解(1)設(shè)公差為d，由已知得，解得d1或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)，Tn，Tnan1，(n2)，即2n4，又2n42(44)16，的最大值為16.數(shù)列與函數(shù)的“巧妙”對接縱觀2012年高考，有多份試卷以數(shù)列與函數(shù)的綜合題為壓軸題，有些大題還穿插了導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的工具作用，既考查了函數(shù)的知

13、識，又考查了數(shù)列的知識，試題綜合性強，分步解答，有利于高校選拔優(yōu)秀的考生，是一種非常熱門的題型，預(yù)計2013年高考仍將在此命題【示例】 (2012天津)已知函數(shù)f(x)xln(xa)的最小值為0，其中a0.(1)求a的值；(2)若對任意的x0，)，有f(x)kx2成立，求實數(shù)k的最小值；(3)證明：ln(2n1)2(nN*)滿分解答(1)f(x)的定義域為(a，)f(x)1.由f(x)0，解得x1aa.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(a,1a)1a(1a，)f(x)0f(x)極小值因此，f(x)在x1a處取得最小值，故由題意f(1a)1a0，所以a1.(4分)(2)當(dāng)k0時

14、，取x1，有f(1)1ln 20，故k0不合題意當(dāng)k0時，令g(x)f(x)kx2，即g(x)xln(x1)kx2.g(x)2kx.令g(x)0，得x10，x21.當(dāng)k時，0，g(x)0在(0，)上恒成立，因此g(x)在0，)上單調(diào)遞減從而對于任意的x0，)，總有g(shù)(x)g(0)0，即f(x)kx2在0，)上恒成立故k符合題意當(dāng)0k時，0，對于x，g(x)0，故g(x)在內(nèi)單調(diào)遞增因此當(dāng)取x0時，g(x0)g(0)0，即f(x0)kx不成立故0k不合題意綜上，k的最小值為.(8分)(3)當(dāng)n1時，不等式左邊2ln 32右邊，所以不等式成立當(dāng)n2時，ln(2i1)ln(2i1)ln(2n1)在(

15、2)中取k，得f(x)(x0)，從而f(iN*，i2)，所以有l(wèi)n(2n1)f(2)2ln 32ln 32ln 312.綜上，ln(2n1)2，nN*.(14分)老師叮嚀：本題第(1)問應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，難度較小，屬于送分題；第(2)問屬于含參函數(shù)的恒成立求參數(shù)范圍問題，需構(gòu)造新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等.其中，需對k進(jìn)行分類討論，對k的每個范圍利用分析法求得適合題意的k的范圍；第(3)問考查了考生賦值、數(shù)列的求和、放縮法證明不等式等知識.其中，推導(dǎo)是聯(lián)系數(shù)列與函數(shù)的紐帶.再借用第(2)問的結(jié)果可得f(x).從而f.為后面利用放縮法證明不等式打下基礎(chǔ).【試一

16、試】 已知函數(shù)f(x)1ln x(a為實常數(shù))(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上無極值，求實數(shù)a的取值范圍；(2)討論函數(shù)g(x)f(x)2x的單調(diào)性；(3)已知nN*且n3，求證：ln.(1)解f(x).當(dāng)a0時，f(x)0在(0，)上恒成立，此時函數(shù)f(x)在(0,2)上無極值；當(dāng)a0時，由f(x)0，得xa；由f(x)0，得xa，即函數(shù)f(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減，要使函數(shù)f(x)在(0,2)上無極值，只要a2即可故所求的實數(shù)a的取值范圍是(，02，)(2)解g(x)f(x)2x1ln x2x，g(x)2.令k(x)2x2xa，則18a.當(dāng)0，即a時，k(x)

17、0恒成立，即g(x)0恒成立，此時函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0，即a時，只有在x時，k(x)0，故k(x)0在(0，)上恒成立，即g(x)0在(0，)上恒成立，此時函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0，即a時，方程k(x)0的兩個實數(shù)根是x10，x2，若18a1，即a0，則x20，此時，k(x)0在(0，)上恒成立，即g(x)0在(0，)上恒成立，此時，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；若18a1，則x20，此時在(0，x2)上k(x)0，g(x)0，在(x2，)上k(x)0，g(x)0，故函數(shù)g(x)在(0，x2)上單調(diào)遞增，在(x2，)上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)a0時，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(3)證明構(gòu)造函數(shù)h(x)ln(1x)x，則h(x)1，當(dāng)x0時，h(x)0，故函數(shù)h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，所以h(x)h(0)0，即不等式ln(1x)x對任意正實數(shù)x恒成立令x，得ln，即ln(n1)ln n，所以lnln(n1)ln 3lnlnln.必考問12