2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問(wèn)題專項(xiàng)突破7 三角恒等變換與解三角形 理

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1、必考問(wèn)題7三角恒等變換與解三角形1(2012全國(guó))已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2()A B C. D.答案：A將sin cos 兩邊平方，可得1sin 2，sin 2，所以(sin cos )21sin 2，因?yàn)槭堑诙笙藿?，所以sin 0，cos 0，所以sin cos ，所以cos 2(sin cos )(cos sin )，選A.2(2012江西)若tan 4，則sin 2()A. B. C. D.答案：Dtan 4，4tan 1tan2，sin 22sin cos .3(2012天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cos

2、C()A. B C D.答案：A因?yàn)?b5c，則由C2B，得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2B1221，故選A.4(2012北京)在ABC中，若a2，bc7，cos B，則b_.解析由余弦定理，得b24(7b)222(7b)，解得b4.答案41對(duì)于三角恒等變換，高考命題以公式的基本運(yùn)用、計(jì)算為主，其中多以與角所在范圍、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角形等知識(shí)結(jié)合為命題的熱點(diǎn)2對(duì)于解三角形，重點(diǎn)考查正弦定理、余弦定理兩公式在解三角形中的應(yīng)用，通過(guò)三角形中的邊、角關(guān)系和相關(guān)公式的靈活運(yùn)用來(lái)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力

3、. 1在三角恒等變換過(guò)程中，準(zhǔn)確地記憶公式，適當(dāng)?shù)刈儞Q式子，有效地選取公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵2在解三角形的試題時(shí)，要弄清楚三角形三邊、三角中已知什么，求什么，這些都是解決問(wèn)題的思維基礎(chǔ)，分析題設(shè)條件，利用正、余弦定理進(jìn)行邊與角之間的相互轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.必備知識(shí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin coscos sin .(2)cos()cos cossin sin .(3)tan().二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.(4)降冪公式：sin2 ，cos2.正弦定理及其

4、變形2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.余弦定理及其推論a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.必備方法1“變角”是三角變換的靈魂，因此要注意分析條件與所求之間角的聯(lián)系，常考察是否具有和、差、倍、半關(guān)系或互余、互補(bǔ)關(guān)系如2

5、與是倍角關(guān)系此外，根據(jù)條件與所求中的角的特點(diǎn)，常要對(duì)角進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐錅?，如?)，2()()等2要充分把握三角函數(shù)的變換規(guī)律三角變換時(shí)，需會(huì)用“切化弦”“弦化切”“輔助角”“1的代換”等技巧，追求“名、角、式”(三角函數(shù)名、角度、運(yùn)算結(jié)構(gòu))的統(tǒng)一，其中角的變換是三角變換的核心3在三角形內(nèi)求值、證明或判斷三角形形狀時(shí)，要用正、余弦定理完成邊與角的互化，一般是都化為邊或都化為角，然后用三角公式或代數(shù)方法求解，從而達(dá)到求值、證明或判斷的目的解題時(shí)要注意隱含條件4解三角形的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，要將條件和求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同時(shí)注意所求結(jié)果要滿足實(shí)際問(wèn)題的要求，還要注

6、意對(duì)不同概念的角的正確理解與應(yīng)用，如俯角、仰角、方位角、視角等.的化簡(jiǎn)、求值三角恒等變換是三角運(yùn)算的核心和靈魂，?？疾椋喝呛愕茸儞Q在化簡(jiǎn)、求值等方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用；三角恒等變換與三角形中相關(guān)知識(shí)的綜合、與向量的交匯性問(wèn)題，多以解答題形式出現(xiàn)，難度中檔【例1】 (2012廣東)已知函數(shù)f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期為10 .(1)求的值；(2)設(shè)，f，f，求cos()的值審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) (1)由T10可得的值；(2)化簡(jiǎn)所給的已知條件，求得cos 、sin 的值，將cos()展開(kāi)，代入數(shù)據(jù)即可解(1)f(x)2cos，0的最小正周期T10，.(2)由(1)知f(x)2co

7、s，而，f，f(5)，2cos，2cos，即cos，cos ，于是sin ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin . (1)給值求角的本質(zhì)還是給值求值，即欲求某角，也要先求該角的某一三角函數(shù)值(2)由于三角函數(shù)的多值性，故要對(duì)角的范圍進(jìn)行討論，確定并求出限定范圍內(nèi)的角(3)要仔細(xì)觀察分析所求角與已知條件的關(guān)系，靈活使用角的變換，如()，等【突破訓(xùn)練1】 已知cos，x.(1)求sin x的值；(2)求sin的值解(1)因?yàn)閤，所以x，于是sin .sin xsinsincoscossin .(2)因?yàn)閤，所以cos x .sin 2x2sin xcos x，cos 2x

8、2cos2x1.所以sinsin 2xcos cos 2xsin .以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)所給式子、三角形的特點(diǎn)合理選擇正弦或余弦定理是解題的關(guān)鍵，綜合考查學(xué)生邏輯分析和計(jì)算推理能力【例2】 (2011山東)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面積S.審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) (1)根據(jù)所給式子和第(1)問(wèn)式子的特征，采用邊化角較為簡(jiǎn)單；(2)借用第(1)問(wèn)的結(jié)果可知a、c間的關(guān)系，再結(jié)合cos ，b2，利用余弦定理可求解解(1)由正弦定理，設(shè)k，則，所以

9、.即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化簡(jiǎn)可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以原等式可化為sin C2sin A，因此2.(2)由2，得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及cos B，得4a24a24a2，解得a1，從而c2.又因?yàn)閏os B，且0B，所以sin B.因此Sacsin B12. 在含有三角形內(nèi)角的三角函數(shù)和邊的混合關(guān)系式中要注意變換方向的選擇正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個(gè)方程，在解三角形的試題中方程思想是主要的數(shù)學(xué)思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問(wèn)題【突破訓(xùn)練2】 (2012江西)在ABC中，角

10、A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積(1)證明由bsincsina，應(yīng)用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin C，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，由于0B，C，從而B(niǎo)C.(2)解BCA，因此B，C.由a，A，得b2sin，c2sin，所以ABC的面積Sbcsin Asinsincossin.易錯(cuò)點(diǎn)撥 第(2)問(wèn)考生往往在遇到非特殊角的情況下思維受阻，導(dǎo)致丟分，遇到這種情況時(shí)要學(xué)會(huì)分析推測(cè)或用轉(zhuǎn)化法使解題進(jìn)行下去解三角形問(wèn)題常以向量為載體，解題時(shí)通常先利

11、用向量知識(shí)將有關(guān)向量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，然后再借助解三角形的知識(shí)求解，難度中檔偏低【例3】 在ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，A，(1)c2b.(1)求角C；(2)若1，求a，b，c.審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) (1)由(1)c2b及A可利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系；(2)將向量關(guān)系式1轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系，再利用解三角形的知識(shí)求解解(1)由(1)c2b，得，則有，得tan C1，即C.(2)由1，推出abcos C1.而C，即得ab1，則有解得 解答這一類問(wèn)題，首先要保證向量運(yùn)算必須正確，否則，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的應(yīng)用條件及靈活變形，方能

12、使問(wèn)題簡(jiǎn)捷解答【突破訓(xùn)練3】 在ABC中，已知2|32，求角A，B，C的大小解設(shè)BCa，ACb，ABc，由2|，得2bccos Abc，所以cos A，又A(0，)，因此A，由|32，得bca2，于是sin Csin Bsin2A.所以sin Csin，sin C，因此2sin Ccos C2sin2C，sin 2Ccos 2C0，即sin0.由A知0C，所以2C，從而2C0，或2C，即C或C，故A，B，C或A，B，C.由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形應(yīng)用問(wèn)題中的測(cè)量問(wèn)題、航海問(wèn)題等常常是高考的熱點(diǎn)，其主要要求是：會(huì)利用正弦定理和余弦定理等知識(shí)和方法解決一些測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的

13、實(shí)際問(wèn)題【例4】 (2012沈陽(yáng)模擬)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值審題視點(diǎn) 聽(tīng)課記錄審題視點(diǎn) 第(1)問(wèn)實(shí)質(zhì)求BC；第(2)問(wèn)運(yùn)用正弦定理可求解解(1)依題意，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/時(shí)(2)在ABC中，因?yàn)锳B12，BA

14、C120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin ，所以sin 的值為. (1)三角形應(yīng)用題的解題要點(diǎn)：解斜三角形的問(wèn)題，通常都要根據(jù)題意，從實(shí)際問(wèn)題中尋找出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后通過(guò)解這些三角形得出所要求的量，從而得到實(shí)際問(wèn)題的解(2)有些時(shí)候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等正確理解和掌握方位角、俯角、仰角對(duì)于解決三角形應(yīng)用題也是必不可少的【突破訓(xùn)練4】 (2012惠州調(diào)研)如圖，某河段的兩岸可視為平行，為了測(cè)量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點(diǎn)A，B，觀察對(duì)岸的點(diǎn)C，測(cè)得CAB75，CBA45且AB100米(1)求sin 75；(2)求該河段的寬度解

15、(1)sin 75sin(3045)sin 30cos45cos 30sin 45.(2)因?yàn)镃AB75，CBA45，所以ACB180CABCBA60.由正弦定理得，所以BC.如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD垂直于對(duì)岸，垂足為D, 則BD的長(zhǎng)就是該河段的寬度在RtBDC中，因?yàn)锽CDCBA45，sinBCD，所以BDBCsin 45sin 45(米)答：該河段的寬度為米轉(zhuǎn)化與化歸在解三角形中的應(yīng)用解三角形問(wèn)題是歷年高考的熱點(diǎn)，常與三角恒等變換相結(jié)合考查正弦、余弦定理的應(yīng)用，解題的實(shí)質(zhì)是將三角形中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題或方程問(wèn)題，在此過(guò)程中也常利用三角恒等變換知識(shí)進(jìn)行有關(guān)的轉(zhuǎn)化可以說(shuō)，三角形問(wèn)題的核心就是轉(zhuǎn)化與

16、化歸【示例】 (2012新課標(biāo)全國(guó))已知a，b，c分別為ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.滿分解答(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因?yàn)锽AC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(6分)(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.(12分)老師叮嚀：本題較容易，得分率較高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化的能力.其中，第(1)問(wèn)利用正弦定理將邊化成角，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)整理出角A.第(2)問(wèn)根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)于b，c的等式，再由余弦定理用a和角A表示出b，c的關(guān)系，從而求解.【試一試】 在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，根據(jù)正弦定理，.于是ABBC2BC2.(2)在ABC中，根據(jù)余弦定理，得cos A.于是sin A.從而sin 2A2sin Acos A，cos 2Acos2Asin2A.所以sinsin 2Acoscos 2Asin.12