高三數(shù)學(xué)第二篇 數(shù)學(xué)思想 四 轉(zhuǎn)化與化歸思想 文

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1、四、轉(zhuǎn)化與化歸思想四、轉(zhuǎn)化與化歸思想思想解讀思想解讀思想解讀思想解讀應(yīng)用類型應(yīng)用類型轉(zhuǎn)化與化歸思想,就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化,進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題,將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題,將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.1.在三角函數(shù)中,涉及三角式的變形,一般通過(guò)轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問(wèn)題,以起到化暗為明的作用,主要的方法有公式的“三用”(順用、逆用、變形用)、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等.2.在函數(shù),不等式等問(wèn)題中常將一個(gè)復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的或熟悉

2、的函數(shù)、方程、不等式等.3.在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識(shí)的交匯題目時(shí),常將平面向量語(yǔ)言與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化.4.在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解.5.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí),常將函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)、切線問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f (x)構(gòu)成的方程、不等式問(wèn)題求解.6.在解決解析幾何、立體幾何問(wèn)題時(shí),常常在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.總綱目錄應(yīng)用一 正與反的相互轉(zhuǎn)化應(yīng)用二 變量與常量的轉(zhuǎn)化應(yīng)用三 函數(shù)、方程、不等式間的轉(zhuǎn)化應(yīng)用一應(yīng)用一 正與反的相互轉(zhuǎn)化正與反的相互轉(zhuǎn)化例例若對(duì)任意t1,2,函數(shù)g(x)=x3+x2-2x在區(qū)間(t

3、,3)上總不為單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .22m答案答案-m-5373解析解析由題意得g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在區(qū)間(t,3)上總為單調(diào)函數(shù),則g(x)0在(t,3)上恒成立,或g(x)0在(t,3)上恒成立.(正反轉(zhuǎn)化)由得3x2+(m+4)x-20,即m+4-3x在x(t,3)上恒成立,m+4-3t恒成立,則m+4-1,即m-5;由得m+4-3x在x(t,3)上恒成立,則m+4-9,即m-.函數(shù)g(x)在區(qū)間(t,3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為-m0”是真命題,可得m的取值范圍是(-,1),而(-,a)與(-,1)為同一區(qū)間,故a=1.0|1|ex 2.已

4、知函數(shù)f(x)=aln x+x2+(a-6)x在(0,3)上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .答案答案(0,2)解析解析 f (x)=+2x+(a-6)=,設(shè)g(x)=2x2+(a-6)x+a,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,3)上不是單調(diào)函數(shù),所以函數(shù)g(x)=2x2+(a-6)x+a在(0,3)上不會(huì)恒大于零或恒小于零.又g(0)=a,g(3)=4a,所以解得0a4x+p-3成立的x的取值范圍是 .答案答案(-,-1)(3,+)解析解析設(shè)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3,則當(dāng)x=1時(shí), f(p)=0.所以x1.f(p)在0p4上恒為正等價(jià)于即解得x3或x0成立的x的取值范圍,再借助一次函

5、數(shù)的單調(diào)性就很容易使問(wèn)題得以解決.(2)在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),我們可以選取其中的常數(shù)(或參數(shù)),將其看作是“主元”,實(shí)現(xiàn)主與次的轉(zhuǎn)化,即常量與變量的轉(zhuǎn)化,從而達(dá)到減元的目的.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù),若f(1-ax-x2)f(2-a)對(duì)任意a-1,1恒成立,則x的取值范圍為 .答案答案(-,-10,+)解析解析f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù),1-ax-x22-a,a-1,1.可化為(x-1)a+x2+10,對(duì)a-1,1恒成立.令g(a)=(x-1)a+x2+1.則解得x0或x-1.即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(-,-10,+).22( 1)20,(1)0,gxxgxx應(yīng)用

6、三應(yīng)用三 函數(shù)、方程、不等式間的轉(zhuǎn)化函數(shù)、方程、不等式間的轉(zhuǎn)化例例已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若對(duì)任意的x,總存在唯一的y-1,1,使得ln x-x+1+a=y2ey成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.1,1e1,ee2,ee2,e21,eee解析解析設(shè)f(x)=ln x-x+1+a,當(dāng)x時(shí), f (x)=0, f(x)是增函數(shù),所以x時(shí), f(x);設(shè)g(y)=y2ey,則g(y)=eyy(y+2),則g(y)在-1,0)上單調(diào)遞減,在0,1上單調(diào)遞增,且g(-1)=g(1)=e.所以g(y)0,e.因?yàn)閷?duì)任意的x,存在唯一的y-1,1,使得f(x)=g(y)成立,所以0,e,解得

7、ae.1,1e1xx1,1e1,eaa1e1,1e1,eaa1e答案答案 A【技法點(diǎn)評(píng)】【技法點(diǎn)評(píng)】(1)函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助.(2)解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助,因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問(wèn)題,從而求參變量的范圍.跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f (x)-ax-5,其中f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)任意a-1,1,都有g(shù)(x)0,則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 .答案答案 2,13解析解析由題意,知g(x)=3x2-ax+3a-5,令(a)=(3-x)a+3x2-5,-1a1.由題意得即解得-x1.(1)0,( 1)0,22320,380,xxxx23