數(shù)學(xué)第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第32練 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 文

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1、第32練導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用第三篇攻堅(jiān)克難壓軸大題多得分明考情導(dǎo)數(shù)部分在高考中的應(yīng)用一般綜合性較強(qiáng),以壓軸題形式呈現(xiàn),導(dǎo)數(shù)和函數(shù)零點(diǎn),方程根及不等式相結(jié)合是高考命題的熱點(diǎn),高檔難度.知考向1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn).2.導(dǎo)數(shù)與不等式.3.導(dǎo)數(shù)與其他知識的交匯問題.研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點(diǎn)核心考點(diǎn)突破練考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)方法技巧方法技巧研究函數(shù)零點(diǎn)或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn),可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,確定函數(shù)圖象的變化趨勢,畫出函數(shù)草圖,確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)或兩函數(shù)圖象的交點(diǎn).解解函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;1234解答(2

2、)當(dāng)m1時(shí),討論函數(shù)f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).1234解答問題等價(jià)于求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)m1時(shí),F(xiàn)(x)0,函數(shù)F(x)為減函數(shù),所以F(x)有唯一零點(diǎn).當(dāng)m1時(shí),若0 x1或xm,則F(x)0;若1xm,則F(x)0,12341234所以函數(shù)F(x)在(0,1)和(m,)上單調(diào)遞減,在(1,m)上單調(diào)遞增,所以F(x)有唯一零點(diǎn).綜上,函數(shù)F(x)有唯一零點(diǎn),即兩函數(shù)圖象總有一個(gè)交點(diǎn).(1)當(dāng)me(e為自然對數(shù)的底數(shù))時(shí),求f(x)的極小值;當(dāng)x(0,e)時(shí),f(x)0,f(x)在(e,)上單調(diào)遞增,f(x)的極小值為2.1234解答1234解答則(x)x21(x1)(x1)

3、,當(dāng)x(0,1)時(shí),(x)0,(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x(1,)時(shí),(x)0,(x)在(1,)上單調(diào)遞減.x1是(x)的唯一極值點(diǎn),且是極大值點(diǎn),因此x1也是(x)的最大值點(diǎn),1234又(0)0,結(jié)合y(x)的圖象(如圖)可知,當(dāng)m0時(shí),函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).12341234解答3.已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR).(1)當(dāng)a2時(shí),求f(x)的圖象在x1處的切線方程;解解當(dāng)a2時(shí),f(x)2ln xx22x,切線的斜率kf(1)2,所以切線方程為y12(x1),即2xy10.1234解答解解g(x)2ln xx2m,當(dāng)1xe時(shí),g(x)0.所以g(x)在x1處取得極大

4、值g(1)m1.123412341234解答4.(2017全國)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性;解解f(x)的定義域?yàn)?,),f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1).(i)若a0,則f(x)0,則由f(x)0,得xln a.當(dāng)x(,ln a)時(shí),f(x)0.所以f(x)在(,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,)上單調(diào)遞增.1234解答(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.解解(i)若a0,由(1)知,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(ii)若a0,由(1)知,當(dāng)xln a時(shí),f(x)取得最小值,當(dāng)a1時(shí),由于f(ln a)0,故f(x)只有

5、一個(gè)零點(diǎn);即f(ln a)0,故f(x)沒有零點(diǎn);又f(2)ae4(a2)e222e220,故f(x)在(,ln a)上有一個(gè)零點(diǎn).1234因此f(x)在(ln a,)上有一個(gè)零點(diǎn).綜上,a的取值范圍為(0,1).1234則f(n0) (a a2)n0 n0 n00.0en02n0en0en考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)與不等式方法技巧方法技巧導(dǎo)數(shù)與不等式問題相結(jié)合有兩個(gè)方面:一是由不等式恒成立(或有解)求解參數(shù)取值范圍;二是證明不等式或與自然數(shù)有關(guān)的不等式.解決這兩類問題的核心是“函數(shù)的最值”.5.(2017保定模擬)已知函數(shù)f(x)ex2x.(1)求函數(shù)f(x)的極值;5678解答解解f(x)ex2,令f(x

6、)0,得xln 2,令f(x)0,得xln 2,f(x)在(,ln 2)上單調(diào)遞減,在(ln 2,)上單調(diào)遞增,當(dāng)xln 2時(shí),f(x)有極小值f(ln 2)22ln 2,無極大值.(2)當(dāng)a2ln 4且x0時(shí),試比較f(x)與x2(a2)x1的大小.5678解答解解令g(x)f(x)x2(a2)x1exx2ax1,g(x)ex2xaf(x)a,g(x)minf(x)mina22ln 2a.a2ln 4,g(x)0,g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,g(x)g(0)0,即f(x)x2(a2)x1.56786.已知函數(shù)f(x)ln xx3.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;解答令f(x)0,得x(1,

7、);令f(x)0;證明證明證明f(x)ln xx3,所以f(1)2,由(1)知,f(x)ln xx3在(1,)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)f(1).即f(x)2,所以f(x)20.證明證明由(1)可知,當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)f(1),即ln xx10,所以0ln xx1對一切x(1,)恒成立.因?yàn)閚2,nN*,則有0ln n0時(shí),g(x)0,求b的最大值;9101112解答解解因?yàn)間(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x,g (x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2).當(dāng)b2時(shí),g(x)0,當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí),等號成

8、立,所以g(x)在(,)上單調(diào)遞增.而g(0)0,所以對任意x0,g(x)0.當(dāng)b2時(shí),若x滿足2exex2b2,而g(0)0,綜上,b的最大值為2.9101112所以ln 2的近似值為0.693.9101112解答9101112證明設(shè)f(x)的圖象與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),解得ax01.9101112當(dāng)0 x0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時(shí),h(x)0,所以m(x)單調(diào)遞增,9101112910111212.(2017瀘州沖刺)設(shè)函數(shù)f(x)exsin x(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)ax,F(xiàn)(x)f(x)g(x).(1)若x0是F(x)的極值點(diǎn),且直線xt(t0)分別與函數(shù)f(x)和g(

9、x)的圖象交于P,Q,求P,Q兩點(diǎn)間的最短距離;9101112解答解解因?yàn)镕(x)exsin xax,所以F(x)excos xa,因?yàn)閤0是F(x)的極值點(diǎn),所以F(0)11a0,解得a2.又當(dāng)a2時(shí),若x0,F(xiàn)(x)excos xa1120,所以F(x)在(,0)上單調(diào)遞減.若x0,(F(x)exsin x0,所以F(x)在(0,)上為增函數(shù),所以F(x)F(0)1120,所以F(x)在(0,)上為增函數(shù).9101112所以x0是F(x)的極小值點(diǎn),所以a2符合題意,所以|PQ|etsin t2t.令h(x)exsin x2x,即h(x)excos x2,因?yàn)?h(x)exsin x,當(dāng)x

10、0時(shí),ex1,1sin x1,所以(h(x)exsin x0,所以h(x)excos x2在(0,)上單調(diào)遞增,所以h(x)excos x2h(0)0,所以當(dāng)x0,)時(shí),h(x)的最小值為h(0)1,所以|PQ|min1.9101112(2)若當(dāng)x0時(shí),函數(shù)yF(x)的圖象恒在yF(x)的圖象上方,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.9101112解答解解令(x)F(x)F(x)exex2sin x2ax,則(x)exex2cos x2a,令S(x)(x)exex2sin x,因?yàn)镾(x)exex2cos x0在x0時(shí)恒成立,所以函數(shù)S(x)在0,)上單調(diào)遞增,所以S(x)S(0)0在x0時(shí)恒成立.故函數(shù)(x

11、)在0,)上單調(diào)遞增,所以(x)(0)42a在x0,)時(shí)恒成立.當(dāng)a2時(shí),(x)0,(x)在0,)上單調(diào)遞增,即(x)(0)0.故當(dāng)a2時(shí),F(xiàn)(x)F(x)恒成立.9101112當(dāng)a2時(shí),因?yàn)?x)在0,)上單調(diào)遞增,所以總存在x0(0,),使(x)在區(qū)間0,x0)上,(x)0,導(dǎo)致(x)在區(qū)間0,x0上單調(diào)遞減,而(0)0,所以當(dāng)x0,x0)時(shí),(x)0,這與F(x)F(x)0對x0,)恒成立矛盾,所以a2不符合題意,故符合條件的a的取值范圍是(,2.9101112規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)已知函數(shù)f(x)ln xmxm,mR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)0在x

12、(0,)上恒成立,求實(shí)數(shù)m的值;模板體驗(yàn)審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)評分標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)m0時(shí),f(x)0恒成立,則函數(shù)f(x)在(0,)上單調(diào)遞增;(2)解解由(1)知,當(dāng)m0時(shí)顯然不成立;只需mln m10即可,令g(x)xln x1,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,)上單調(diào)遞增,所以g(x)ming(1)0.則若f(x)0在x(0,)上恒成立,m1.8分構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù).第二步看性質(zhì)看性質(zhì):根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì).第三步用性質(zhì)用性質(zhì):將題中條件或要證結(jié)論轉(zhuǎn)化,如果成立或有解問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,證明不等式可利用函數(shù)單調(diào)性和

13、放縮法.第四步得結(jié)論得結(jié)論:審視轉(zhuǎn)化過程的合理性.第五步再反思再反思:回顧反思,檢查易錯(cuò)點(diǎn)和步驟規(guī)范性.(1)當(dāng)a為何值時(shí),x軸為曲線yf(x)的切線;規(guī)范演練解解設(shè)曲線yf(x)與x軸相切于點(diǎn)(x0,0),則f(x0)0,f(x0)0.12345解答(2)用minm,n表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)minf(x),g(x)(x0),討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).12345解答解解當(dāng)x(1,)時(shí),g(x)ln x0,從而h(x)minf(x),g(x)g(x)0.12345所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).若a3或a0,則f(x)3x2a在(0,1)內(nèi)無零點(diǎn),故f(x)在(0,1)

14、上單調(diào).所以當(dāng)a3時(shí),f(x)在(0,1)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a0時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)沒有零點(diǎn).123451234512345(1)求實(shí)數(shù)a的值及f(x)的極值;12345解答f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與x軸平行,當(dāng)0 x1時(shí),f(x)0,當(dāng)x1時(shí),f(x)0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,)上單調(diào)遞減,故f(x)在x1處取得極大值1,無極小值.1234512345解答當(dāng)x0時(shí),f(x),由(1)得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,由零點(diǎn)存在性原理知,f(x)在區(qū)間(0,1)上存在唯一零點(diǎn),函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.12345(1)求a的值;12345解答12345證明123

15、45當(dāng)x1,)時(shí),(ln x)23ln x30033,故g(x)在1,2)上單調(diào)遞增,在(2,)上單調(diào)遞減,123454.已知函數(shù)f(x)ax2bxln x(a,bR).(1)設(shè)b2a,求f(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);12345解答解解b2a,當(dāng)0a4(1ln 2)時(shí),函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn);當(dāng)a4(1ln 2)時(shí),函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)a4(1ln 2)時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).12345當(dāng)a2時(shí),f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,f(x)有一個(gè)零點(diǎn).f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).12345綜上,當(dāng)0a4(1ln 2)時(shí),函數(shù)f(x)無零點(diǎn);當(dāng)a4(1ln 2)時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).12345(2)設(shè)

16、a0,且對于任意x0,f(x)f(1),試比較ln a與2b的大小.12345解答解解由a0,且對于任意x0,f(x)f(1),可知函數(shù)f(x)在x1處取得最小值,整理得2ab1,即b12a.ln a(2b)ln a2(12a)ln a24a,1234512345故g(a)0,即24aln a2bln a0,即ln a2b.5.已知函數(shù)f(x)sin xax.(1)對于x(0,1),f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;解解由f(x)0,得sin xax0,再令m(x)xcos xsin x,則m(x)cos xxsin xcos xxsin x0,所以m(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以m(x)m(0)0,所以g(x)0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,所以g(x)g(1)sin 1,所以asin 1.12345解答(2)當(dāng)a1時(shí),令h(x)f(x)sin xln x1,求h(x)的最大值;解解當(dāng)a1時(shí),f(x)sin xx,所以h(x)ln xx1,由h(x)0,得x1.當(dāng)x(0,1)時(shí),h(x)0,h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)0,h(x)在(1,)上單調(diào)遞減.所以h(x)maxh(1)0.12345解答證明證明由(2)可知,當(dāng)x(1,)時(shí),h(x)0,即ln xx1,分別令n1,2,3,n,即所要證不等式成立.12345證明

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