（新課標）2020高考數(shù)學大一輪復習 第4章 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例課時作業(yè) 理

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1、課時作業(yè)(二十八) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應用舉例 一、選擇題 1．(2020·新課標全國Ⅱ)設向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案：A 解析：由條件可得，(a＋b)2 ＝10，(a－b)2 ＝6， 兩式相減，得4a·b＝4，所以a·b＝1. 2．(2020·山東)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夾角為，則實數(shù)m＝(　　) A．2 B． C．0 D．－ 答案：B 解析：根據平面向量的夾角公式，可得＝，即3＋m＝×，兩邊平方并化簡，得6m＝18，解得m＝，經檢驗符合題意． 3．(20

2、20·阜新模擬)已知向量＝(4,6)，＝(3,5)，且⊥，∥，則向量＝(　　) A. B． C. D． 答案：D 解析：設＝(m，n)，則＝－＝(m－4，n－6)， ∵⊥，∴4m＋6n＝0.① 又∵∥，∴3(n－6)－5(m－4)＝0.② 由①②聯(lián)立解得m＝，n＝－. ∴向量＝. 故應選D. 4．(2020·東北三校一模)已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b與a垂直，則實數(shù)λ等于(　　) A．－1　 B．1　 C．－2 D．2 答案：B 解析：依題意，得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)， (λa－b)·a＝(λ－4，－3λ＋2)·(1，－3)

3、 ＝λ－4－3(－3λ＋2)＝10λ－10＝0，∴λ＝1， 故應選B. 5．設a·b＝4，若a在b方向上的投影為2，且b在a方向上的投影為1，則a與b的夾角等于(　　) A. B． C． D．或 答案：B 解析：由題意，知|a|＝4，|b|＝2，設a與b的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝， ∴θ＝. 故應選B. 6．(2020·江西師大附中聯(lián)考)在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，點P是斜邊AB上的一個三等分點，則·＋·＝(　　) A．0 B． C．－ D．4 答案：D 解析：建立如圖所示的直角坐標系， 則A(2,0)，B(0,2)，P

4、1， P2， ∴＝，＝， ＝(0,2)，＝(2,0)， ∴＋＝(2,2)． 故·＋·＝·(＋) ＝·(2,2)＝＋＝4， ·＋·＝(＋) ＝·(2,2)＝＋＝4. 二、填空題 7．(2020·北京)已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________. 答案： 解析：∵λa＋b＝0，∴λa＝－b， ∴|λa|＝|－b|＝|b|＝＝， ∴|λ|·|a|＝.又|a|＝1，∴|λ|＝. 8．(2020·江蘇)如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，則·的值是________． 答案：22

5、解析：因為＝＋＝＋，＝＋＝－，所以·＝·＝||2－||2－·＝2，將AB＝8，AD＝5代入，解得·＝22. 9．已知向量a＝，b＝(1，t)，若函數(shù)f(x)＝a·b在區(qū)間上存在增區(qū)間，則t的取值范圍為________． 答案： 解析：f(x)＝a·b＝·(1，t) ＝－cos x－tx， f′(x)＝sin x－t， f(x)在上存在增區(qū)間， 即x∈時，f′(x)≥0成立有解， ∴t≤sin x有解即可， ∵sin x<， ∴t<. 故t的取值范圍是. 10．(2020·山東)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為_______

6、_． 答案： 解析：∵⊥，∴·＝0， ∴(λ＋)·＝0，即(λ＋)·(－)＝λ·－λ2＋2－·＝0. ∵向量與的夾角為120°，||＝3，||＝2， ∴(λ－1)||||·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝. 三、解答題 11．已知a＝(1,2)，b＝(x,1)， (1)若(2a＋b)∥(a－b)，求x的值； (2)若2a＋b與a－b的夾角是銳角，求x的取值范圍． 解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(x,1) ∴2a＋b＝(2＋x,5)， a－b＝(1－x,1)． 由(2a＋b)∥(a－b)可知， 2＋x＝5－5x. 解得x＝. (2)由題意可知 (2a＋

7、b)·(a－b)＞0且2a＋b與a－b不共線， ∴ ∴＜x＜且x≠. 即所求x的取值范圍是 ∪. 12．(2020·德州模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形OABC是等腰梯形，A(6,0)，C(1，)，點M滿足＝，點P在線段BC上運動(包括端點)，如圖． (1)求∠OCM的余弦值； (2)是否存在實數(shù)λ，使(－λ)⊥，若存在，求出滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍，若不存在，請說明理由． 解：(1)由題意，可得＝(6,0)，＝(1，)，＝＝(3,0)，＝(2，－)，＝(－1，－)． ∴cos∠OCM＝cos〈，〉＝＝. (2)設P(t，)，其中1≤t≤5，λ＝(λt，λ)

8、， －λ＝(6－λt，－λ)，＝(2，－)． 若(－λ)⊥，則(－λ)·＝0， 即12－2λt＋3λ＝0?(2t－3)λ＝12，若t＝，則λ不存在，若t≠，則λ＝ ∵t∈∪， 故λ∈(－∞，－12)∪. 13．已知向量m＝，n＝. (1)若m·n＝1，求cos的值； (2)記f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足(2a－c)cos B＝bcos C，求函數(shù)f(A)的取值范圍． 解：(1)m·n＝sin ·cos ＋cos2 ＝sin＋＝sin＋， ∵m·n＝1，∴sin＝. cos＝1－2sin2＝， cos＝－cos＝－. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， 由正弦定理，得 (2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴ 2sin Acos B＝sin(B＋C)． ∵A＋B＋C＝π， ∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝. ∵0