高中數(shù)學(xué) 第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探討 一 平行射影 二 平面與圓柱面的截線教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）

《高中數(shù)學(xué) 第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探討 一 平行射影 二 平面與圓柱面的截線教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探討 一 平行射影 二 平面與圓柱面的截線教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）（5頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一 平行射影 二 平面與圓柱面的截線 庖丁巧解牛 知識(shí)·巧學(xué) 一、正射影 點(diǎn)A是平面α外一點(diǎn)，過點(diǎn)A向平面α作垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)A′，那么把點(diǎn)A′稱作點(diǎn)A在平面α上的正射影.一個(gè)圖形F上的各點(diǎn)在平面α上的正射影也組成了一個(gè)圖形F′，則圖形F′稱作圖形F在平面α上的正射影.圖3-1(2)-2就是正射影的幾個(gè)例子. 圖3-1(2)-2 聯(lián)想發(fā)散 一個(gè)圖形在一個(gè)平面上的射影與圖形和平面的位置關(guān)系有關(guān)，如一條直線，當(dāng)它和平面α垂直時(shí)，它在平面α上的射影是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)它和平面α斜交時(shí)，它在平面α上的射影是一條直線；它和平面α平行時(shí)，它在平面α上的射影是一條與原直線平行的直線. 二、平行

2、射影 設(shè)直線l與平面α相交，把直線l的方向稱為投影方向，過點(diǎn)A作平行于l的直線，與平面α交于點(diǎn)A′，那么把點(diǎn)A′稱作點(diǎn)A沿直線l的方向在平面α上的平行射影.一個(gè)圖形F上的各點(diǎn)在平面α上的平行射影也組成了一個(gè)圖形F′，則圖形F′稱作圖形F在平面α上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立體幾何部分，我們對(duì)此已經(jīng)有了了解，如圖3-1(2)-3就是平行射影的具體實(shí)例. 圖3-1(2)-3 知識(shí)拓展 平行射影的性質(zhì): (1)直線或線段的平行射影仍是直線或線段； (2)平行直線的平行射影是平行或重合的直線； (3)平行于投射面的線段，它的射影與這條線段平行且等長(zhǎng)； (4)與投射面

3、平行的平面圖形，它的射影與這個(gè)圖形全等； (5)在同一直線或平行直線上，兩條線段平行射影的比等于這兩條線段的比. 三、橢圓 平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.運(yùn)輸油制品的油罐、圓柱型容器傾斜后所盛液體的液面等，都給我們以橢圓的形象. 四、橢圓的組成元素 1.如圖3-1(2)-4，F(xiàn)1、F2叫橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2叫橢圓的焦距；AB叫橢圓的長(zhǎng)軸，通常用字母a表示；CD叫橢圓的短軸，通常用字母b表示；如果長(zhǎng)軸為2a，短軸為2b，那么焦距為2c=.這一個(gè)式子反映了橢圓的長(zhǎng)軸、短軸及焦距三者之間的關(guān)系，我們可以利用這一關(guān)系式進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算. 圖3-1(2)-4 2.

4、橢圓內(nèi)切于矩形，且它是以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，又是以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的對(duì)稱圖形.因此，畫它的圖形時(shí)，只要畫出第一象限的部分，其余可由對(duì)稱性得出. 五、橢圓的性質(zhì) 如圖3-1(2)5，橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離和它到直線l的距離之比為定值，根據(jù)這一點(diǎn)，我們有橢圓的第二定義：平面內(nèi)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)e=（0

5、于1時(shí)，c越接近于a，從而b越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0，從而b越接近于a，橢圓越接近于圓.當(dāng)e=0時(shí)，c=0，a=b，兩焦點(diǎn)重合，圖形就是圓了.可見離心率是刻畫橢圓圓扁程度的量. 問題·探究 問題1 一個(gè)圓所在的平面β與平面α平行，那么該圓在平面α上的正射影是和原來的圓相同的圓， 當(dāng)圓所在的平面β與平面α不平行時(shí)，該圓在平面α上的正射影會(huì)是什么圖形？如果β與α垂直，該圓在平面α上的正射影又會(huì)是什么圖形？ 思路:借助于生活經(jīng)驗(yàn)來理解. 探究:一個(gè)圓所在的平面β與平面α平行，那么該圓在平面α上的正射影顯然是一個(gè)圓，并且是和原來的圓相同的圓.如果圓所在的平面β與平面α不平行，從

6、生活經(jīng)驗(yàn)我們知道，正射影的形狀發(fā)生了變化，就好像一個(gè)圓被壓扁了，我們稱之為橢圓.橢圓的“圓周”上的點(diǎn)到其中心的距離不再相等，但它也有一個(gè)特征，就是它到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等，下一節(jié)還會(huì)講到.如果圓所在的平面β與平面α是互相垂直的，那么該圓在平面α上的射影是一條線段. 問題2 兩條相交直線的平行射影還是相交直線嗎？如果不相交，那它的形狀是什么樣子？同理，兩條平行直線的平行射影還是平行直線嗎？它的情形有哪些？ 思路:根據(jù)兩條直線與投射線的位置關(guān)系分類討論. 探究:兩條直線相交，可以確定一個(gè)平面，當(dāng)投射線與兩直線所確定的平面平行時(shí)，此兩直線的平行投影是一條直線；當(dāng)投射線與兩直線確定的平面不平行時(shí)，

7、此兩直線的平行投影仍是兩條相交直線，在考慮時(shí)一定要周全，避免漏掉特殊情況.所以兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線.同理，可以考慮兩條平行直線在同一個(gè)平面上的射影，當(dāng)兩條平行線與投射線平行時(shí)，它們的平行射影是兩個(gè)點(diǎn)；當(dāng)兩條直線確定的平面與投射線平行時(shí)，它們的平行射影是一條直線；當(dāng)兩條直線確定的平面與投射線不平行時(shí)，它們的平行射影是兩條平行直線. 典題·熱題 例1Rt△ABC的斜邊BC在平面α內(nèi)，則△ABC的兩條直角邊在平面α內(nèi)的射影與斜邊組成的圖形只能是( ) A.一條線段 B.一個(gè)銳角三角形 C.一個(gè)鈍角三角形 D.一條線段或一個(gè)鈍角三角形 思路分析：（1）當(dāng)頂

8、點(diǎn)A在平面α上的射影A′在BC所在直線上時(shí)，兩條直角邊在平面α上的射影是一條線段，與斜邊線成的圖形是線段，如圖3-1(2)-6（1）. 圖3-1(2)-6 （2）當(dāng)頂點(diǎn)A在平面α上的射影A′不在BC所在直線上時(shí)， ∵AA′⊥α,∴AA′⊥A′B，AA′⊥A′C. ∴A′BA′B2＋A′C2. ∴A′B2＋A′C2－BC2<0.∴∠BA′C為鈍角. ∴△A′BC為鈍角三角形. 答案：D 例2平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離為8，動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為10，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程. 思路分析：根據(jù)題意，首先判定動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，再求橢圓方程. 解：以兩點(diǎn)的連線段所在的直線為x軸，線段的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則由橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，設(shè)所求橢圓方程為=1. ∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.則b2=9.故所求橢圓的方程為=1. 變式方法 本題由于建立坐標(biāo)系時(shí)的形式不同，所得方程形式不同，若以兩定點(diǎn)所在直線為y軸，兩定點(diǎn)連線段的中垂線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，可得方程為=1.