高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 四 直角三角形的射影定理教材梳理素材 新人教A版選修4-1（通用）

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1、四 直角三角形的射影定理 庖丁巧解牛 知識(shí)·巧學(xué) 一、射影 所謂射影，就是正投影.其中，從一點(diǎn)到一條直線所作垂線的垂足，叫做這點(diǎn)在這條直線上的正投影.一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正投影之間的線段，叫做這條線段在這條直線上的正投影.如圖1-4-2，AB在AC上的射影是線段AC；BC在AC上的射影是點(diǎn)C；AC、BC在AB上的射影分別是AD、BD，這樣，Rt△ABC中的六條線段就都有了名稱，它們分別是:兩條直角邊(AC、BC)，斜邊(AB)，斜邊上的高(CD)，兩條直角邊在斜邊上的射影(AD、BD). 圖1-4-2 二、直角三角形的射影定理 由于角之間的關(guān)系，圖1-4-2

2、中三個(gè)直角三角形具有相似關(guān)系，于是Rt△ABC的六條線段之間存在著比例關(guān)系. △ACD∽△CBD,有，轉(zhuǎn)化為等積式，即CD2=AD·BD； △ACD∽△ABC,有，轉(zhuǎn)化為等積式，即AC2=AB·AD； △BCD∽△BAC,有，轉(zhuǎn)化為等積式,即BC2=BA·BD. 用語言來表述，就是在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng). 聯(lián)想發(fā)散 這一結(jié)論常作為工具用于證明和求值.如圖1-4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高.已知AD＝4，BD＝9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=AD·BD=4

3、×9＝36.因?yàn)檫呴L(zhǎng)為正值，所以CD＝6,AC2=AD·AB=4×(4＋9)＝52.所以AC＝. 我們還可以求出BC、AB,以及△ABC的面積等. 問題·探究 問題1 在直角三角形中，我們已經(jīng)學(xué)過三邊之間的一個(gè)重要關(guān)系式，如圖1-4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么AC2＋BC2=AB2，這一結(jié)論被稱作勾股定理，同樣是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么聯(lián)系？如何說明這種聯(lián)系？ 圖1-4-3 思路:將射影定理產(chǎn)生的式子AC2=AB·AD和BC2=BA·BD左右兩邊分別相加. 探究:如圖1-4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高.應(yīng)用射影定理，可以得

4、到AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·AB=(AD＋BD)·AB=AB2.由此可見，利用射影定理可以證明勾股定理.過去我們是用面積割補(bǔ)的方法證明勾股定理的，現(xiàn)在我們又用射影定理證明了勾股定理，而且這種方法簡(jiǎn)潔明快，比面積法要方便得多.將兩者結(jié)合起來，在直角三角形的六條線段中，應(yīng)用射影定理、勾股定理，就可從任意給出的兩條線段中，求出其余四條線段的長(zhǎng)度. 問題2 幾何圖形是最富于變化的，直角三角形更是如此，但不管怎樣變化，其基本圖形體現(xiàn)的規(guī)律卻是相同的，如射影定理的基本圖形.這時(shí)，從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形，就成為解決問題的關(guān)鍵.那么從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形有什么竅門呢？你能舉例說明嗎？ 思路

5、:從所給圖形中分離出基本圖形，利用基本圖形寫出結(jié)論. 探究:在圖形的變化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速發(fā)現(xiàn)解題思路.這當(dāng)中的關(guān)鍵就是把握基本圖形，從所給圖形中分離出基本圖形.如: (1)在圖1-4-4(c)中，求證:CF·CA=CG·CB. (2)在圖1-4-4(a)中，求證:FG·BC=CE·BG. (3)在圖1-4-4(d)中，求證:①CD3=AF·BG·AB；②BC2∶AC2=CF∶FA; ③BC3∶AC3=BG∶AE.就可以這樣來思考: 圖1-4-4 在第(1)題中，觀察圖形則發(fā)現(xiàn)分別使用CD2=CF·CA和CD2=CG·CB即可得到證明. 第(2)題可

6、用綜合分析法探求解題的思路:欲證FG·BC=CE·BG，只需證，而這四條線段分別屬于△BFG和△BEC，能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形存在公共角∠EBC，可選用“兩角對(duì)應(yīng)相等”或“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”來證明相似. 或者在圖1-4-4(a)中可分解出兩個(gè)射影定理的基本圖形:“Rt△ADE中DG⊥BE”及“Rt△BDC中DF⊥BC”，在兩個(gè)三角形中分別使用射影定理中的BD2進(jìn)行代換，得到BG·BE=BF·BC，化成比例式后，可用“兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等”來證明含有公共角∠EBC的△BFG和△BEC相似. 你可以嘗試著自己分析第(3)小題. 典題·熱題 例1如圖1-4-5(a)中，CD垂直平分A

7、B，點(diǎn)E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F(xiàn)、G分別為垂足.求證:AF·AC=BG·BE. 思路分析：從圖1-4-5中分解出兩個(gè)基本圖形145(b)和(c)，再觀察結(jié)論，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，所要證的等積式的左、右兩邊分別滿足圖1-4-5(b)和(c)中的射影定理:AF·AC=AD2，BG·BE=DB2，通過代換線段的平方(AD2=DB2)，就可以證明所要的結(jié)論. 圖1-4-5 證明：∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均為直角三角形，并且AD=BD. 又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC=AD2，BG·BE=DB2， ∵AD2=DB2,∴AF·AC=BG·BE. 深化升華 將

8、原圖分成兩部分來看，分別在兩個(gè)三角形中運(yùn)用射影定理，實(shí)現(xiàn)了溝通兩個(gè)比例式的目的，在求解此類問題時(shí)，一定要注意對(duì)圖形的剖析. 例2如圖1-4-6，在△ABC中，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求證:△CEF∽△CBA. 圖1-4-6 思路分析：要證明△CEF∽△CBA，題設(shè)中已具備了∠BCA=∠ECF，再找出一對(duì)角相等就不太容易了，因此，考慮證明∠BCA與∠ECF的夾邊成比例，即，即證CE·CA=CF·CB，再?gòu)囊阎獥l件出發(fā)考慮問題，在Rt△ADC中，DE⊥AC，根據(jù)定理能推出CD2=CE·CA，同理可得CD2=CF·CB,這樣，CE·CA=CF·CB，問題就能得證.

9、 證明：∵△ADC是直角三角形，DE⊥AC，∴CD2=CE·CA. 同理，可得CD2=CF·CB.∴CE·CA=CF·CB,即. 又∵∠BCA=∠ECF，∴△CEF∽△CBA. 深化升華 當(dāng)題目中缺少角相等時(shí)，應(yīng)該考慮利用相等的角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，即及時(shí)轉(zhuǎn)換解題思路，而不能只想到找兩對(duì)角相等，因?yàn)槲覀冞€有其他的判定定理. 例3如圖1-4-7，已知Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求證:AE·BF·AB=CD3. 圖1-4-7 思路分析：分別在三個(gè)直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中運(yùn)用射影定理，再將線段進(jìn)行代換，就

10、可以實(shí)現(xiàn)等積式的證明. 證明： ∵Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴CD2=AD·BD.∴CD4=AD2·BD2. 又∵Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC， ∴AD2=AE·AC，BD2=BF·BC. ∴CD4=AE·BF·AC·BC. 又∵AC·BC=AB·CD，∴CD4=AE·BF·AB·CD. ∴AE·BF·AB=CD3. 例4如圖1-4-8，在△ABC中,D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC. 圖1-4-8 思路分析：由數(shù)形結(jié)合易知△ABC是直角三角形，AF為斜邊上的高線，CF是直

11、角邊AC在斜邊上的射影，AC為所求，已知的另外兩邊都在△BDC中，且BD＝DC＝1，即△BDC是等腰三角形.因此，可以過D作DE⊥BC，拓開思路.由于DE、AF都垂直于BC，又可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價(jià)轉(zhuǎn)化求得AC. 解： 在△ABC中，設(shè)AC為x， ∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根據(jù)射影定理,得AC2=FC·BC，即BC＝x2. 再由射影定理,得AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC，即AF2=x2-1. ∴AF=. 在△BDC中，過D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF，∴.∴DE=. 在Rt△DEC中，∵DE2＋EC2=DC2， 即()2＋()2=12,∴=1. 由,DE=,整理得x6=4. ∴x=.∴AC=. 深化升華 本題體現(xiàn)了對(duì)基本圖形、基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用.還應(yīng)該注意，作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時(shí)常用的方法.