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1、 第2講 數形結合思想
感悟高考 明確考向
(2020·全國)已知函數f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是 ( )
A．(1,10) B．(5,6) C．(10,12) D．(20,24)
解析 作出f(x)的大致圖象．
由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設a
2、考查了解決問題的方法即數形結合的思想方法．體現了對知識和能力的雙重考查．
易錯提醒
(1)找不到問題解決的突破口．即想不到用數形結合．
(2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析．
(3)不會借助圖形進行分析．
考題分析 本小題考查了分段函數的特征及性質．考查了對數函數及其運算．重點考查了解決問題的方法即數形結合的思想方法．體現了對知識和能力的雙重考查．
易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口．即想不到用數形結合．
(2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析．
(3)不會借助圖形進行分析．
考題分析
3、 本小題考查了分段函數的特征及性質．考查了對數函數及其運算．重點考查了解決問題的方法即數形結合的思想方法．體現了對知識和能力的雙重考查．
易錯提醒(1)找不到問題解決的突破口．即想不到用數形結合．
(2)f(x)的圖象的特征不清，忽視對(1,0)和(10,1)這兩個特殊點的分析．
(3)不會借助圖形進行分析．
思想方法概述
1． 數形結合的數學思想：包含“以形助數”和“以數
輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數作為目的，比如應用函數的圖象來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性
4、，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質．
2．運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原
則：
(1)等價性原則．在數形結合時，代數性質和幾何性質的轉換必須是等價的，否則解題將會出現漏洞．有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現數的一般性，這時圖形的性質只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負面效應．
(2)雙方性原則．既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分析容易出錯．
(3)簡單性原則．不要為了“數形結合”而數形結合．具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系、做好轉化；
5、三要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線．
3．數形結合思想解決的問題常有以下幾種：
(1)構建函數模型并結合其圖象求參數的取值范圍；
(2)構建函數模型并結合其圖象研究方程根的范圍；
(3)構建函數模型并結合其圖象研究量與量之間的大小關系；
(4)構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式；
(5)構建立體幾何模型研究代數問題；
(6)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；
(7)構建方程模型，求根的個數；
(8)研究圖形的形狀、位置關系、性質等．
4．數形結合思想是解答高考數學試題的一
6、種常用方法
與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學習中加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度．具體操作時，應注意以下幾點：
(1)準確畫出函數圖象，注意函數的定義域；
(2)用圖象法討論方程(特別是含參數的方程)的解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式(有時可能先作適當調整，以便于作圖)，然后作出兩個函數的圖象，由圖求解．
5．在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做
到以下四點：
(1)要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；
(2)要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；
7、(3)要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；
(4)精心聯(lián)想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，以便于問題求解．
很多數學概念都具有明顯的幾何意義，善于利用這些幾何意義，往往能收到事半功倍的效果．
題型一 數形結合思想在解決方程的根的個數、不等式解集的問題中的應用
例1 (1)已知：函數f(x)滿足下面關系．
①f(x＋1)＝f(x－1)；
②當x∈[－1,1]時，f(x)＝x2.
則方程f(x)＝lg x解的個數是 ( )
A．5 B．7 C．9 D．10
(2)設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，
8、且f(1)＝0，則不等式<0的解集為 ( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
(2)∵f(x)為奇函數，
∴f(x)－f(－x)＝2f(x)
畫出y＝2f(x)的大致圖象．
如圖，則f(x)與x異號的區(qū)間
如圖陰影所示，
∴解集為(－1,0)∪(0,1)，故選D.
探究提高 (1)用函數的圖象討論方程(特別是含參數的指數、對數、根式、三角等復雜方程)的解的個數是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數式看作是兩個熟悉函數的表達式(
9、不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩熟悉的函數)，然后在同一坐標系中作出兩個函數的圖象，圖象的交點個數即為方程解的個數．
(2)解不等式問題經常聯(lián)系函數的圖象，根據不等式中量的特點，選擇適當的兩個(或多個)函數，利用兩個函數圖象的上、下位置關系轉化數量關系來解決不等式的解的問題，往往可以避免繁瑣的運算，獲得簡捷的解答．
(3)函數的單調性經常聯(lián)系函數圖象的升、降；奇偶性經常聯(lián)系函數圖象的對稱性；最值(值域)經常聯(lián)系函數圖象的最高、最低點的縱坐標．
變式訓練1 已知f(x)是定義在(－3,3)上的奇函數，當
0
10、 ( )
A．(－3，－)∪(0,1)∪(，3)
B．(－，－1)∪(0,1)∪(，3)
C．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
D．(－3，－)∪(0,1)∪(1,3)
解析 不等式f(x)cos x<0等價于
或
畫出f(x)在(－3,3)上的圖象，cos x
的圖象又熟知，運用數形結合，如圖所示，從“形”中找出圖象分別在x軸上、下部分的對應“數”的區(qū)間為(－，－1)∪(0,1)
∪(，3)．
題型二 數形結合思想在求參數、代數式的取值范圍、
最值問題中的應用
例2 已知a是實數，函數f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函數
y＝
11、f(x)有且僅有兩個零點，則實數a的取值范圍是
__________________．
思維啟迪函數零點→方程的根→函數圖象交點→數形結合．
解析 易知a≠0，f(x)＝0，即2a|x|＋2x－a＝0，
變形得|x|－＝－x，分別畫出函數y1＝|x|－，y2＝－x的圖象(如圖所示)，由圖易知：
當0<－<1或－1<－<0時，y1和y2的圖象有兩個不同的交點，
∴當a<－1或a>1時，函數y＝f(x)有且僅有兩個零點，
即實數a的取值范圍是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
探究提高 解決函數的零點問題，通常是轉化為方程的根，進而轉化為函數的圖象的交點問題．
12、在解決函數圖象的交點問題時，常用數形結合，以“形”助“數”，直觀簡潔．
變式訓練2 (2020·江西)若不等式≤k(x＋2)－
的解集為區(qū)間[a，b]，且b－a＝2，則k＝____.
解析 令y1＝，
y2＝k(x＋2)－，在同一個坐標系中
作出其圖象，因≤k(x＋2)－
的解集為[a，b]且b－a＝2.
結合圖象知b＝3，a＝1，即直線與圓
的交點坐標為(1,2)．
∴k＝＝.
題型三 數形結合思想在幾何中的應用
例3 已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA、PB
是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A、B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最
13、小值．
思維啟迪
同一坐標系中畫出直線與圓．
作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的
面積S四邊形PACB＝S△PAC＋S△PBC＝2S△PAC.把
S四邊形PACB轉化為2倍的S△PAC可以有以下多
條數形結合的思路．
→
→
解 方法一 從運動的觀點看問題，當動點P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方無窮遠處運動時，直角三角形PAC的面積SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越來越大，從而S四邊形PACB也越來越大；當點P從左上、右下兩個方向向中間運動時，S四邊形PACB變小，顯然，當點P到達一個最特殊的位置，即CP垂直直線時，S四邊形PACB應有唯一的最
14、小值，此時|PC|＝＝3，
從而|PA|＝＝2.
∴(S四邊形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
這是運動變化的思想幫助我們打開了解題的思路．
方法二 利用等價轉化的思想，設點P坐標為(x，y)，則
|PC|＝，由勾股定理及|AC|＝1，得
|PA|＝＝，從而
S四邊形PACB＝2S△PAC＝2·|PA|·|AC|＝|PA|＝，
從而欲求S四邊形PACB的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2＝(x－1)2＋(y－1)2的最小值，即定點C(1,1)與直線上動點P(x，y)距離的平方的最小值，它也就是點C(1,1)到直線3x＋4y＋8＝0的距離的平方，這個
15、最小值d2＝()2＝9，
∴(S四邊形PACB)min＝＝2.
方法三 利用函數思想，將方法二中S四邊形PACB＝中的y由3x＋4y＋8＝0中解出，代入化為關于x的一元函數，進而用配方法求最值，也可得(S四邊形PACB)min＝2.
探究提高
本題的解答運用了多種數學思想方法：數形結合思想，運動變化的思想，等價轉化的思想以及配方法，靈活運用數學思想方法，能使數學問題快速得以解決．
變式訓練3 已知點P在拋物線y2＝4x上，那么點P到點Q(2，－1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為 ( )
A．(，－1) B．(，1)
16、
C．(1,2) D．(1，－2)
解析 定點Q(2，－1)在拋物線內部，
由拋物線的定義知，動點P到拋物線
焦點的距離等于它到準線的距離，問
題轉化為當點P到點Q和到拋物線的
準線距離之和最小時，求點P的坐標，
顯然點P是直線y＝－1和拋物線y2＝4x的交點，解得這個點的坐標是(，－1)．
律方法總結
1．利用數形結合解題，只需把圖象大致形狀畫出即可，不需要精確圖象．
2．數形結合思想是解決高考數學試題的一種常用方法
與技巧，特別在解選擇題、填空題時更方便，可以提高解題速度．
3．數形結合思想常用模型：
一次、二次函數圖象；斜率公式
17、；兩點間的距離公式(或向量的模、復數的模)，點到直線的距離公式等.
知能提升演練
一、選擇題
1．設全集I是實數集R.M＝{x|x2>4}與N＝{x|≥1}
都是I的子集(如圖所示)，則陰影部分所表示的集合
為 ( )
A．{x|x<2} B．{x|－2≤x<1}
C．{x|1
18、－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 方法一 因為f(x0)＞1，當x≤0時， －1＞1,
＞2，－x0＞1，∴x0＜－1；當x0＞0
時， ＞1，∴x0＞1.
綜上，x0的取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞)
方法二 首先畫出函數y＝f(x)與y＝1的圖象(如圖)，解方程f(x)＝1，得x＝－1，或x＝1.由圖中易得
f(x0)＞1時，所對應x0的取值范圍為(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
3．定義在R上的偶函數y＝f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當
x∈[3,4]時，f(x)＝x－2，則 ( )
A．f(sin)
19、 B．f(sin)>f(cos)
C．f(sin 1)f(cos)
解析 由f(x)＝f(x＋2)知T＝2為f(x)的一個周期，設x∈[－1,0]，知x＋4∈[3,4]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4－2＝x＋2，畫出函數f(x)的圖象，
如圖所示：
sinf(cos)；
sin>cos?f(sin)cos 1?f(sin 1)cos?f(sin)
20、4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是 ( )
A．2 B．3 C. D.
解析 記拋物線y2＝4x的焦點為F，則
F(1,0)，注意到直線l2：x＝－1是拋物線
y2＝4x的準線，于是拋物線y2＝4x上的
動點P到直線l2的距離等于|PF|，問題即
轉化為求拋物線y2＝4x上的動點P到直線
l1：4x－3y＋6＝0的距離與它到焦點F(1,0)的距離之和的最小值，結合圖形，可知，該最小值等于焦點F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，即等于＝2，故選A. 5．不
21、等式x2－logax<0，在x∈(0，)時恒成立，則a的
取值范圍是 ( )
A．01 D．0
22、|FF′|·h≤bc.
當A與短軸端點重合時，(S△ABF)max＝bc.
7．y＝f(x)＝，若不等式f(x)≥2x
－m恒成立，則實數m的取值范圍是____________．
解析 在平面直角坐標系中作出函數y＝2x－m及y＝f(x)的圖象(如圖)，由于不等式f(x)≥2x－m恒成立，所以函數y＝2x－m的圖象應總在函數y＝f(x)的圖象的下方，因此，當x＝－2時，y＝－4－m≤0，所以m≥－4，所以m的取值范圍是[－4，＋∞)．
8．函數f(θ)＝的最大值為________．
解析 可以與兩點連線的斜率聯(lián)系起來，它實際上是點P(cos θ，sin θ)與點A(－，0)
23、連線的斜率，而點P(cos θ，sin θ)在單位圓上移動，問題變?yōu)椋呵髥挝粓A上的點與A(－，0)連線斜率的最大值．如圖，顯然，當P點移動到B點(此時，AB與圓相切)時，AP的斜率最大，最大值為tan∠BAO＝＝1.
三、解答題
9．不等式x2＋|2x－4|≥p對所有x都成立，求實數p的
最大值．
三、解答題
9．不等式x2＋|2x－4|≥p對所有x都成立，求實數p的最大值．構造函數f(x)＝|x－2|，g(x)＝－＋
，解不等式f(x)≥g(x)，即確定使函數
y＝f(x)的圖象在函數y＝g(x)“上方”的
點的橫坐標x的取值范圍，而本題是已知
這個范圍對一切x成立，求
24、p的最大值．
如圖，y＝－＋的圖象可以由y＝－的圖象的頂點在y軸上下移動而得，滿足題目條件的解應為y＝|x－2|的圖象在y＝－＋的圖象上方的極端情況．
只有一解．
∴－＋＝2－x，
即x2－2x－(p－4)＝0，Δ＝4＋4(p－4)＝0，p＝3.
即p的最大值為3.
10．已知實系數一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有兩個根，
一個根在區(qū)間(0,1)內，另一個根在區(qū)間(1,2)內，求：
(1)點(a，b)對應的區(qū)域的面積；
(2)的取值范圍；
(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．
解 方程x2＋ax＋2b＝0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是：函數y＝
25、f(x)＝x2＋ax＋2b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區(qū)間(0,1)和(1,2)內，
由此可得不等式組?
由解得A(－3,1)．
由解得B(－2,0)，
由解得C(－1,0)．
∴在如圖所示的aOb坐標平面內，滿足
約束條件的點(a，b)對應的平面區(qū)域為
△ABC(不包括邊界)．
(1)△ABC的面積為S△ABC＝×|BC|×h＝(h為A到Oa軸的距離)．
(2)幾何意義是點(a，b)和點D(1,2)連線的斜率．
∵kAD＝＝，kCD＝＝1，
由圖可知kAD<
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