浙江省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題升級訓(xùn)練18 隨機(jī)變量及其分布列 理

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1、專題升級訓(xùn)練18　隨機(jī)變量及其分布列 (時間：60分鐘　滿分：100分) 一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分) 1．已知P(ξ＝1)＝，P(ξ＝－1)＝，則D(ξ)等于(　　)． A．2　　　　B．4　　　　C．1　　　　D．6 2．同時擲3枚均勻硬幣，恰好有2枚正面向上的概率為(　　)． A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.375 3．投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是(　　)． A． B． C．

2、 D． 4．甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為(　　)． A． B． C． D． 5．盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4只，那么概率是的事件為(　　)． A．恰有1只是壞的 B．4只全是好的 C．恰有2只是好的 D．至多有2只是壞的 6．兩個實(shí)習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為(　　)． A． B．

3、 C． D． 7．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1＜x2.又已知E(X)＝，D(X)＝，則x1＋x2的值為(　　)． A． B． C．3 D． 8．(2020·浙江寧波十校聯(lián)考，理8)用1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)，由這些五位數(shù)構(gòu)成集合M.我們把千位數(shù)字比萬位數(shù)字和百位數(shù)字都小，且十位數(shù)字比百位數(shù)字和個位數(shù)字都小的五位數(shù)稱為“五位凹數(shù)”(例：21435就是一個五位凹數(shù))．則從集合M中隨機(jī)抽取一個數(shù)恰是“五位凹數(shù)”的概率為(　　)． A． B． C． D． 二、

4、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分) 9．(2020·浙大附中月考，理12)已知某隨機(jī)變量ξ的概率分布列如下表，其中x＞0，y＞0，隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)＝，則x＋y＝__________. ξ 1 2 3 P x y x 10．連續(xù)擲一枚均勻的正方體骰子(6個面分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6)，現(xiàn)定義數(shù)列an＝Sn是其前n項和，則S5＝3的概率是__________． 11．畢業(yè)生小王參加人才招聘會，分別向A，B兩個公司投遞個人簡歷．假定小王得到A公司面試的概率為，得到B公司面試的概率為p，且兩個公司是否讓其面試是獨(dú)立的．記ξ為小王得到面試的公司個數(shù)．若ξ＝

5、0時的概率P(ξ＝0)＝，則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝__________. 12．(2020·浙江高考名?！秳?chuàng)新》沖刺卷，理14)盒中裝有7個零件，其中2個是使用過的，另外5個未經(jīng)使用．從盒中隨機(jī)抽取2個零件，使用后放回盒中，記此時盒中使用過的零件個數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝__________. 三、解答題(本大題共4小題，共44分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 13．(本小題滿分10分)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機(jī)會均等)3個球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和

6、． (1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)． 14．(本小題滿分10分)(2020·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬考試，20)某企業(yè)舉行職工籃球投籃比賽，比賽分預(yù)賽和決賽兩部分．預(yù)賽采用如下規(guī)則：每位選手最多有5次投籃的機(jī)會，選手累計3次投籃命中或3次投籃沒命中，即終止其預(yù)賽的比賽，累計3次投籃命中者直接進(jìn)入決賽，累計3次投籃沒命中者則被淘汰．已知選手甲投籃的命中率為，選手乙投籃的命中率為. (1)求選手甲和乙在預(yù)賽的比賽中共投籃7次的概率； (2)設(shè)選手甲在預(yù)賽中投籃的次數(shù)為ξ，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望． 15．(本小題滿分12分)某學(xué)校舉行知識競賽，第一輪選拔共設(shè)有A、

7、B、C、D四個問題，規(guī)則如下： ①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A、B、C、D分別加1分、2分、3分、6分，答錯任一題減2分； ②每回答一題，計分器顯示累計分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計分?jǐn)?shù)小于8分時，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計分?jǐn)?shù)大于或等于14分時，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完四題，累計分?jǐn)?shù)仍不足14分時，答題結(jié)束，淘汰出局； ③每位參加者按問題A、B、C、D順序作答，直至答題結(jié)束． 假設(shè)甲同學(xué)對問題A、B、C、D回答正確的概率依次為、、、，且各題回答正確與否相互之間沒有影響． (1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率； (2)用ξ表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E

8、ξ. 16．(本小題滿分12分)“天宮一號”的順利升空標(biāo)志著我國火箭運(yùn)載的技術(shù)日趨完善．據(jù)悉，擔(dān)任“天宮一號”發(fā)射任務(wù)的是長征二號FT1火箭．為了確保發(fā)射萬無一失，科學(xué)家對長征二號FT1運(yùn)載火箭進(jìn)行了170余項技術(shù)狀態(tài)更改，增加了某項新技術(shù)．該項新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對其中三項不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過量化檢測．假設(shè)該項新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過檢測合格的概率分別為，，，指標(biāo)甲、乙、丙檢測合格分別記4分、2分、4分，若某項指標(biāo)不合格，則該項指標(biāo)記0分，各項指標(biāo)檢測結(jié)果互不影響． (1)求該項技術(shù)量化得分不低于8分的概率； (2)記該項技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)為隨機(jī)變量

9、ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． 參考答案 一、選擇題 1．C　解析：E(ξ)＝1×＋(－1)×＝0，D(ξ)＝12×＋(－1)2×＝1. 2．D　解析：擲3枚均勻硬幣，設(shè)正面向上的個數(shù)為X，則X服從二項分布，即X～B，∴P(X＝2)＝C·2·＝＝0.375. 3．C　解析：事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是 1－P(·)＝1－×＝. 4．D　解析：由甲、乙兩隊每局獲勝的概率相同，知甲每局獲勝的概率為，甲要獲得冠軍有兩種情況：第一種情況是再打一局甲贏，甲獲勝概率為；第二種情況是再打兩局，第一局甲輸，第二局甲贏．則其概率為×＝.故甲獲得冠軍的概率為＋＝. 5．C　解析：X＝k表示

10、取出的螺絲釘恰有k只為好的， 則P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． ∴P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝. 6．B　解析：記兩個零件中恰有一個一等品的事件為A， 則P(A)＝×＋×＝. 7．C　解析：∵E(X)＝x1＋x2＝. ∴x2＝4－2x1，D(X)＝2×＋2×＝. ∵x1＜x2，∴∴x1＋x2＝3. 8．B　解析：當(dāng)十位數(shù)字與千位數(shù)字排1,2兩個數(shù)字時，共有A×A＝12個五位凹數(shù)；當(dāng)十位數(shù)字與千位數(shù)字排1,3兩個數(shù)字時，共有2A＝4個五位凹數(shù)． 故集合M中共有16個五位凹數(shù)． 則從集合M中隨機(jī)抽取一個數(shù)恰是“五位凹數(shù)”的概率為P＝＝.

11、 二、填空題 9．　解析：∵x＋y＋x＝2x＋y＝1， ∴E(ξ)＝x＋2y＋3x＝4x＋2y＝2， 則由D(ξ)＝(1－2)2x＋(2－2)2y＋(3－2)2x＝2x＝，得x＝，從而y＝，故x＋y＝. 10．　解析：該試驗(yàn)可看作一個獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，結(jié)果為－1發(fā)生的概率為，結(jié)果為1發(fā)生的概率為，S5＝3即5次試驗(yàn)中－1發(fā)生一次，1發(fā)生四次，故其概率為C4＝. 11.　解析：由題意，得P(ξ＝2)＝p，P(ξ＝1)＝(1－p)＋p＝， ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P p 由＋＋p＝1，得p＝. 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×p＝. 12．　解析：ξ的取值為

12、2,3,4，且P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝， 則E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝. 三、解答題 13．解：(1)由題意得X取3,4,5,6，且 P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝， P(X＝6)＝＝. 所以X的分布列為 X 3 4 5 6 P (2)由(1)知E(X)＝3·P(X＝3)＋4·P(X＝4)＋5·P(X＝5)＋6·P(X＝6)＝. 14．解：(1)選手甲投籃3次，而選手乙投籃4次的概率為： ××＝； 選手甲投籃4次，而選手乙投籃3次的概率為： ×＝. ∴選手甲和選手乙在預(yù)賽的比賽中共投

13、籃7次的概率為： P＝＋＝. (2)依題意，ξ的可能取值為3,4,5，則有P(ξ＝3)＝3＋3＝， P(ξ＝4)＝C2··＋C2··＝， P(ξ＝5)＝C2·2·＋C2·2·＝， 因此，有 ξ 3 4 5 P ∴E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝＝3. 15．解：設(shè)A，B，C，D分別為第一、二、三、四個問題．用Mi(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答正確，用Ni(i＝1,2,3,4)表示甲同學(xué)第i個問題回答錯誤．則Mi與Ni是對立事件(i＝1,2,3,4)．由題意得 P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝， 所以P(N1)＝，P(N2

14、)＝，P(N3)＝，P(N4)＝. (1)記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件Q， 則Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4. 由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立，因此 P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4) ＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4) ＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(N1)P(M2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(N2)P(M3)P(M4)＋P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)＋P(

15、N1)P(M2)P(N3)P(M4) ＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝. (2)由題意，隨機(jī)變量ξ的可能取值為：2,3,4. 由于每題答題結(jié)果相互獨(dú)立， 所以P(ξ＝2)＝P(N1N2) ＝P(N1)P(N2)＝， P(ξ＝3)＝P(M1M2M3)＋P(M1N2N3) ＝P(M1)P(M2)P(M3)＋P(M1)P(N2)P(N3) ＝××＋××＝， P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3) ＝1－－＝. 因此隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 2 3 4 P 所以Eξ＝2×＋3×＋4×＝. 16．解：(1)記該項新技術(shù)的三個指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立

16、通過檢測合格分別為事件A，B，C，則事件“得分不低于8分”表示為ABC＋AC. ∵ABC與AC為互斥事件，且A，B，C彼此獨(dú)立， ∴P(ABC＋AC)＝P(ABC)＋P(AC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＝××＋××＝. (2)該項新技術(shù)的三個指標(biāo)中被檢測合格的指標(biāo)個數(shù)ξ的取值為0,1,2,3. ∵P(ξ＝0)＝P()＝××＝，P(ξ＝1)＝P(A＋B＋C) ＝××＋××＋××＝， P(ξ＝2)＝P(AB＋AC＋BC) ＝××＋××＋××＝， P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝，∴隨機(jī)變量ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)＝＋＋＝＝.