山東省武城縣第二中學(xué)高中數(shù)學(xué)《第二章 推理與證明》導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修1-2

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1、2.1.1　合情推理 知★識★梳★理 一、歸納推理與類比推理 1．歸納推理：由某類事物的 具有某些特征，推出該類事物的 　　都具有這些特征的推理；或者由 概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡稱 ） 特征：歸納推理是由 　到 ，由 到 的推理. 2．類比推理：由兩類對象具有 和其中一類對象的 ，推出另一類對象也具有 的推理稱為類比推理，（簡稱 ）. 特征：　　類比推理是由 到 的推理. 二、合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過 、 、 、 ，再進(jìn)行 、 ，然后提出 的推理，我們統(tǒng)稱為合情推理，通俗的

2、說，合情推理是指“合乎情理”的推理，合情推理得到的結(jié)論不一定正確. 知識點(diǎn) 題號 實(shí)際問題的歸納 1，11,14 代數(shù)問題的歸納 2，3,7,8,,9,10，13 類比 4,5，6,12 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是　　　　　　　　　　　　　　　(　　)． ２．觀察下式： 　　　　　　　　2＋4＋6＝12 　　　　　　　2＋4＋6＋8＝20 　　　　　　2＋4＋6＋8＋10＝30 由上述具體事實(shí)可以得出的一般結(jié)論為　　　　　　　　　　　　?。ā。? A．2＋

3、4＋6＋8＋…＋2 B．2＋4＋6＋8＋…＋ C．2＋4＋6＋…＋2＝ D．2＋4＋6＋…＋2＝ ３．觀察下列各式：,…，則等于（?。? A．28　　　　　B．76　　　　　C．123　　　　D．199 ４．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則： ①“”類比得到“”； ②“”類比得到“”； ③“”類比得到“”； ④“”類比得到“”； 以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (　　)． A．0　　　　　B．1　　　　C．2　　　　　　D．3 ５．已知，，，…，若（均為正實(shí)數(shù)），類比以上等式，可推測的值，則＝ . ６．已知圓的方程是，則經(jīng)過圓上一點(diǎn)的切線

4、方程為，類比上述性質(zhì)，可以得到過橢圓上一點(diǎn)的切線方程為 . ７．五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為2，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為3，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報(bào)出數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字，則第2020個(gè)被報(bào)出的數(shù)為 . ８．已知數(shù)列中，，，則可歸納猜想的通項(xiàng)公式為 . 9．，先分別求，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明． 1０．觀察下表： 1， 2,3 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15， … 問：(1)此表第行的最后一個(gè)數(shù)是多少？ (2)此表第行

5、的各個(gè)數(shù)之和是多少？ (3)是第幾行的第幾個(gè)數(shù)？ ★★★能力提升★★★ 1１．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如： 他們研究過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 (　　)． A．　　　　　B．　　　　C．　 D． １２．在中，若，則外接圓半徑.運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為則其外接球的半徑＝________. １３.觀察下式：，…，則得出一般結(jié)論：________. 14．某少數(shù)民族的刺繡有

6、著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第個(gè)圖形包含個(gè)小正方形． (1)求出的值； (2)歸納出與之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出的表達(dá)式； (3)求的值． 2.1.2演繹推理 知★識★梳★理 1．演繹推理：從 出發(fā)，推出某個(gè) 下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，演繹推理的結(jié)論一定是正確的. 特點(diǎn)：演繹推理是由 到 的推理 演繹推理常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過

7、程的嚴(yán)密性書寫格式的規(guī)范性. 2．三段論：三段論是演繹推理的一般模式，包括： （1） ——已知的 （ ） （2） ——所研究的 （ ） （3） ——根據(jù)一般原理，對 做出的判斷（ ） 應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必是正確的，如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的. 知識點(diǎn) 題號 演繹推理的定義 1,12 三段論 2,3,4,5,11,13 演繹推理的應(yīng)用 6，7，8，9，10，14 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．下面幾種推理過程是演繹推理的

8、是(　　) A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由此若是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角，則 B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人數(shù)超過50人 C．由平面正三角形的性質(zhì)，推測空間正四面體的性質(zhì) D．在數(shù)列中，，由此歸納出的通項(xiàng)公式 2.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)(大前提)，而是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤是(　　) A．大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) C．推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) 3． 正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理(　

9、　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 4．推理“①矩形是平行四邊形；②三角形不是平行四邊形；③三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．①　　 B．② C ．③ D．①和② 5..把“函數(shù)的圖象是一條拋物線”作為結(jié)論,用三段論表示為:大前提:_________,小前提:______,結(jié)論___________. 6．設(shè)，若恒成立，則的最大值為 . 7．在等差數(shù)列中，且，則的最大值等于 . 8．設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題： （1）若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條

10、直線，則平行于； （2）若外一條直線與內(nèi)的一條直線平行，則和平行； （3）設(shè)和相交于直線，若內(nèi)有一條直線垂直于，則和垂直； （4）直線與垂直的充分必要條件是與內(nèi)的兩條直線垂直. 上面命題中，真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號） 9．如圖，四棱錐中，底面，底面是直角梯形，，，且，為的中點(diǎn) (1)求證：平面平面 (2)求證：平面. 10.　數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，，證明： (1)數(shù)列是等比數(shù)列；(2). ★★★能力提升★★★ 11. 有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平

11、面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)? （ ） A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.非以上錯(cuò)誤 12.下面說法正確的有_________ （1）演繹推理是由一般到特殊的推理； （2）演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的； （3）演繹推理一般模式是“三段論”形式； （4）演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān)。 13．“由，得”的推理過程中，其大前提是 . 14．已知函數(shù). （1）若在上

12、是增函數(shù)，求的取值范圍.（2）若，證明： 2.2直接證明與間接證明 2.2.1　綜合法和分析法 第1課時(shí)　綜合法 知★識★梳★理 1．直接證明中 和 是最基本的兩種證明方法。 2．一般地，利用 和某些數(shù)學(xué) 、 、 等，經(jīng)過一系列的 ，最后推導(dǎo)出所要證明的 成立，這種證明問題的方法叫做 。 3．綜合法可用框圖表示為： … （P表示 ，已有的 、 、 等，Q表示 .）

13、知識點(diǎn) 題號 利用定義證明結(jié)論 1、7、8、9 利用定理、公理證明結(jié)論 4、6、10、12、13、14 通過計(jì)算得到結(jié)論 2、3、5、11 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．命題“如果數(shù)列的前項(xiàng)和，那么數(shù)列一定是等差數(shù)列”是否成立（?。? A．不成立 B．成立 C．不能斷定 D．能斷定 2．設(shè)，則與大小關(guān)系為（?。? A． B． C． D．無法確定 3．在面積為（為定值）的扇形中，當(dāng)扇形中心角為，半徑為時(shí)，扇形周長最小，這時(shí)的值分別是（　） A．， B． C．， D． 4．在中，，則是（?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不

14、確定 5．點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是 . 6．在中，已知，則的形狀一定是 . 7．若平面四邊形滿足，，則該四邊形一定是 . 8．已知定義在R上的函數(shù)，對任意滿足，則是 （奇、偶）函數(shù). 9．已知是正數(shù)組成的數(shù)列，，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列滿足，求證：. 10．已知，且，求證：. ★★★能力提升★★★ 11．若鈍角三角形三內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列且最大邊與最小邊的比為，則的取值范圍是（?。? A． B．（0,2） C． D． 12．

15、設(shè)，則，，三者的大小關(guān)系 . 13．如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，分別是的中點(diǎn)，則與面的位置關(guān)系是 （填“相交”或“平行”） 14．若是不全相等的正數(shù)，求證： . 第2課時(shí)　分析法 知★識★梳★理 1．一般地，從要證明的 ，逐步尋求使它成立的 ，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定，一個(gè)明顯成立的條件（已知條件， 、 、 等）。這種證明的方法叫 。 2．分析法可用框圖表示為：（表示要 ）. … 得到一個(gè)明顯 成立的條件 知識點(diǎn) 題號 結(jié)論利用定義判定 1、2、6 結(jié)論利用定理、公理判定 3

16、、5、8、9、10、13、14 通過計(jì)算進(jìn)行判定 4、7、11、12 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．要證：，只要證明（?。? A． B． C． D． 2．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)，且，求證”索的因應(yīng)是（?。? A． B． C． D． 3． 欲證成立，只需證（?。? A． B． C． D． 4．設(shè)甲：函數(shù)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，乙：函數(shù)的值域?yàn)镽，那么甲是乙的（?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．以上均不對 5．將下面分析法證明的步驟補(bǔ)充完整： 要證，只需證：， 也就是證： ， 即

17、證： ， 由于 顯然成立， 所以原不等式成立. 6．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是 . 7．如果，則實(shí)數(shù)應(yīng)滿足的條件是 . 8．設(shè)，若，則的最小值為 . 9．已知，求證：. 10．已知不相等的兩向量滿足，求證：. ★★★能力提升★★★ 11．當(dāng)時(shí)，使不等式恒成立的的取值范圍是（?。? A． B． C． D． 12．，且恒成立，則的最大值為 . 13．如圖，在直四棱柱（側(cè)棱與底面垂直）中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅螡M足條件 時(shí)，有（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件

18、即可，不必考慮所有可能的情形） 14．設(shè)，求證：. 2.2.2　反證法 知★識★梳★理 1．反證法是 的一種方法. 2．一般地，假設(shè)原命題 （即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，從而證明了 ，這樣的證明方法叫做反證法。 3．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與 矛盾，或與 矛盾，或與 、 、 、 矛盾等. 4．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟： 反設(shè) 歸謬 存真 假設(shè)命題的結(jié)論不成立，則假

19、定原結(jié)論的反面為真 從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結(jié)果 由矛盾的結(jié)果斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立 知識點(diǎn) 題號 反設(shè)練習(xí) 1、2、3、5、6 與已知矛盾 7、9、10、11、13 與定理、公理矛盾 4、8、14 應(yīng)用反面進(jìn)行求解 12 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中，要把下列哪些作為條件使用（?。? ①結(jié)論的否定即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原命題的結(jié)論. A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③ 2．用反證法證明命題：“已知為實(shí)數(shù)，則方程至少

20、有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（?。? A．方程沒有實(shí)根 B．方程至多有一個(gè)實(shí)根 C．方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D．方程恰好有兩個(gè)實(shí)根 3．用反證法證明命題：“已知，若可被5整除，則中至多有一個(gè)能被5整除”時(shí)，要做的假設(shè)是（?。? A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．中有一個(gè)不能被5整除 D．中有一個(gè)能被5整除 4．設(shè)大于0，則三個(gè)數(shù)：的值（?。? A．都大于2 B．至少有一個(gè)不大于2 C．都小于2 D．至少有一個(gè)不小于2 5．用反證法證明：命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為 . 6．用反證法證明命題“若，則全為0（為實(shí)數(shù)）”時(shí)，應(yīng)假設(shè)為

21、 . 7．設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①；②；③；④.其中能推出“中至少有一個(gè)大于1”的條件是 （填序號）. 8．用反證法證明命題：“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過程歸納為以下三個(gè)步驟： ①，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，則不成立； ②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角； ③假設(shè)中 有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè). 正確順序的序號排列為 . 9．已知成等差數(shù)列且公差，求證：不可能成等差數(shù)列. 10．已知，且，求證：中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). ★★★能力提升★★★ 11．已知直線為異面直線，直線平行

22、于直線，那么與的位置關(guān)系為（?。? A．一定是異面直線 B．一定是相互直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 12．若下列兩個(gè)方程，中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 13．設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則中至少有一個(gè)數(shù)不小于 . 14．已知. 求證：不能都大于. 章末復(fù)習(xí) 知★識★梳★理 推 理 與 證 明 推 理 合情 推理 歸納 類比 實(shí)驗(yàn)、觀察 概括、推廣 猜測一般性結(jié)論 觀察、比較 聯(lián)想、類比 猜測新的結(jié)論 演繹 推理 大前提

23、 小前提 結(jié)論 證明 直接證明 間接證明 數(shù)學(xué)歸納法 綜合法 分析法 從條件入手 從結(jié)論入手 反證法 與正整數(shù) 有關(guān)的命題 三段論 知識點(diǎn) 題號 合情推理 1,6,7,11， 演繹推理 5，10，13， 直接證明和間接證明 2,3，8,9,10,12 數(shù)學(xué)歸納法 4, 14 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．按照下列三種化合物的結(jié)構(gòu)及分子式規(guī)律，寫出后一種化合物的分子式是（ ） ， A． B

24、． C． D． 2．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)角不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(　　) A．三角形的三個(gè)內(nèi)角都不大于60° B．三角形的三個(gè)內(nèi)角都大于60° C．三角形的三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．三角形的三個(gè)內(nèi)角至少有兩個(gè)大于60° 3.已知，若為異面直線，則(　　) A．都與相交 B．中至少有一條與相交 C．中至多有一條與相交 D．都不與相交 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明……，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上(　　)． A. B． C. D. 5．在上定義運(yùn)算．若不等式對任意實(shí)數(shù)都成立，則(　　)

25、 A．　 B． C． D．　　 6.下面幾種推理是合情推理的是________． ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③由，滿足，推出是奇函數(shù)；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得凸多邊形內(nèi)角和是. 7．在中，為的中點(diǎn)，則，將命題類比到三棱錐中得到的命題為__________． 8．已知均為正數(shù)，且，則與的大小關(guān)系是________． 9．已知，求證：. 10．由下列不等式：…， …＋，

26、…，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明． ★★★能力提升★★★ 11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，而，通過計(jì)算，猜想等于(　　) A. B. C. D. 12．在中，，則為 ________三角形． 13．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，并且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________ 14．如圖，平面，，分別為的中點(diǎn)． (1)證明：平面； (2)求與平面所成角的正弦值． 章末檢測 一、選擇題　 1.觀察下列數(shù)：1,3,2,6,5,15,14, 122,…其中的值依次是（　?。? A.42,41,123

27、 B.13,39,123 C.24,23,123 D.28,27,123 2.下列推理是歸納推理的是（　?。? A.A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，得P的軌跡為橢圓 B.由，求出，猜想出數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式 C.由圓的面積，猜出橢圓的面積 D.科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇 3.若有一段演繹推理：“大前提：對任意做實(shí)數(shù)；都有，小前提：已知是實(shí)數(shù)；結(jié)論：”.這個(gè)結(jié)論顯然錯(cuò)誤，是因?yàn)椋ā。? A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤 4.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，利用求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，可以求出過點(diǎn)，且法

28、向量為的直線（點(diǎn)法式）方程為：，化簡得，類比以上方法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為的平面的方程為（　?。? A. B. C. D. 5.用反證法證明命題“若，則全為0（）”，其反設(shè)正確的是（　?。? A.至少有一個(gè)不為0 B.至少有一個(gè)為0 C.全不為0 D.中只有一個(gè)為0 6.下列表述：①綜合法是由因?qū)Ч?；②綜合法是順推法；③分析法是執(zhí)果索因法；④分析法是逆推法；⑤反證法是間接證法，其中正確的有（　　） A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 7.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是（　?。?

29、 　　第1個(gè) 第2個(gè) 第3個(gè) A. B. C. D. 8.下列不等式中一定成立的是（　?。? A. B. C. D. 9.在等差數(shù)列中，若，公差，則有，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，公比，則的一個(gè)不等關(guān)系是（　?。? A. B. C. D. 10.觀察下列數(shù)的特點(diǎn)：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…則第100項(xiàng)是（　?。? A.10 B.13 C.14 D.100 二、填空題 11.觀察：（1）； （2） 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論 12.設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件： ①；②；③；④；⑤

30、 其中能推出：“中至少有一個(gè)大于1”的條件是 。（填序號） 13.在算式“”中的△，○中，分別填入兩個(gè)正整數(shù)，使它們的倒數(shù)和最小，則這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)對（△，○）應(yīng)為 14．觀察下列不等式 ， ， ， …… 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 . 15.已知，試用分析法證明：. 16.已知. （1）求； （2）求證：中至少有一個(gè)不小于. 17.點(diǎn)P為斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1于點(diǎn)M，PN⊥BB1交CC1于點(diǎn)N。 （1）求證：CC1⊥MN. （2）在任意△DEF中有余弦定理，

31、DE2＝DF2+EF2－2DF·EF·cos∠DFE.擴(kuò)展到空間類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。 18.（1）已知：均是正數(shù)，且，求證：. （2）當(dāng)均是正數(shù)，且時(shí)，對真分?jǐn)?shù)，給出類似上小題的結(jié)論，并予以證明。 （3）證明：△ABC中，.(可直接應(yīng)用第（1）、（2）小題結(jié)論). 2.1　合情推理與演繹推理 2.1.1　合情推理答案 知★識★梳★理 一、 1．部分對象；全部對象；個(gè)別事實(shí)；歸納 部分；整體；個(gè)別；一般 2．某些類似特征；某些已知特征；這些特征；

32、類比 特殊；特殊 二、觀察；分析；比較；聯(lián)想；歸納；類比；猜想 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ １. A　　解析：該五角星對角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針方向亮一盞，故下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是A.　　　 ２．C　　解析：上述事實(shí)分別敘述如下： 前2個(gè)正偶數(shù)的和等于2×3， 前3個(gè)正偶數(shù)的和等于3×4， 前4個(gè)正偶數(shù)的和等于4×5，…… 由此猜想前個(gè)正偶數(shù)的和等于　，所以選C ３． C解析：從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則. ４. B解析：①正確；②③④錯(cuò)誤．②③向量的數(shù)量積滿足交換律，不滿足結(jié)合律，消去律

33、，④ ５． 41　　解析：∵　　8＝ 故猜測與滿足：，又　∴，從而 ６． 　　解析：類比圓的切線方程可得橢圓切線方程為 ７．8　　解析：由題中所述知同學(xué)們報(bào)出的數(shù)依次為：2,3，6,8，8,4，2,8，6,8，8,4，2,8，……觀察這些數(shù)的特征，從第三個(gè)數(shù)開始，6個(gè)數(shù)為一個(gè)周期， 　　　　故第2020個(gè)數(shù)為8 ８． 　　 解析： …… 猜想 ９．解 　， 同理可得：. 由此猜想. 證明：＝ . １０．解　(1)∵第行的第1個(gè)數(shù)是，∴第行的最后一個(gè)數(shù)是. (2)＝. (3)∵， ∴在第11行，該行第1個(gè)數(shù)是，由，知是第11行的第個(gè)數(shù)． ★★

34、★能力提升★★★ １１． C解析　觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，…，記該數(shù)列為，則，，，… ……， 觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，…，記該數(shù)列為，則.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，可知使得都為正整數(shù)的只有. １２． 　　解析：　(構(gòu)造法)通過類比可得. 證明：作一個(gè)在同一個(gè)頂點(diǎn)處棱長分別為的長方體，則這個(gè)長方體的體對角線的長度是，故這個(gè)長方體的外接球的半徑是，這也是所求的三棱錐的外接球的半徑． １３．… 解析　各等式的左邊是第個(gè)自然數(shù)到第個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，右邊是中間奇數(shù)的平方，故得出結(jié)論：…. １４．解析　(1). (2)因?yàn)椋?，? ，…… 由上式規(guī)律，

35、所以得出. 因?yàn)? ＝… (3)當(dāng)時(shí)，　. 2.1.2演繹推理答案 知★識★梳★理 1．一般性的原理；特殊情況；一般；特殊 2．（1）大前提；一般原理；（是） （2）小前提；特殊情況（是） （3）結(jié)論；特殊情況（是） ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．A　　解析：兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)——大前提，是兩條平行直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角——小前提，——結(jié)論． 故A是演繹推理，而是歸納推理，是類比推理．故選A. 2．A　　解析： 是增函數(shù)這個(gè)大前提是錯(cuò)誤的，從而導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)． 3. C 　　解析：不是正弦函數(shù)而是復(fù)合函數(shù)，所以小前提不正確． 4.

36、 B 　解析：由演繹推理三段論可知，①是大前提；②是小前提；③是結(jié)論． 5． 二次函數(shù)的圖像是一條拋物線； 函數(shù)是二次函數(shù)； 函數(shù)的圖象是一條拋物線 6．8　　解析：由題可知的最大值即為的最小值， 又， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，∴ 7．30　　解析：等差數(shù)列的性質(zhì)，若， ， ，由基本不等式 8．①② 9．證明：　(1)由底面知. 又因?yàn)椋? 所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平? (2)如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)由為的中點(diǎn)，得為C的中位線，則，且.又因?yàn)?，故，故，得，所以四邊形為平行四邊形，則.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平? 10．思維啟迪：在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜的證明題

37、常常要由幾個(gè)三段論才能完成．大前提通常省略不寫，或者寫在結(jié)論后面的括號內(nèi)，小前提有時(shí)也可以省略，而采取某種簡明的推理模式． 證明　(1)∵，∴，即 ∴，又，（小前提） 故是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了) (2)由(1)可知， ∴ (小前提) 又 (小前提) ∴對于任意正整數(shù)，都有.(結(jié)論) (第(2)問的大前提是第(1)問的結(jié)論以及題中的已知條件) ★★★能力提升★★★ 11．A 12．（1）（3） 13．若，則　　解析： ，∴ 14．證明：（1）時(shí)，恒成立，即恒成立 ∵，∴ （2）時(shí)令 ＝ ∵，∴，∴

38、在上單調(diào)遞減 ∴ 2.2直接證明與間接證明 2.2.1　綜合法和分析法 第1課時(shí)　綜合法答案 知★識★梳★理 1．綜合法；分析法 2．已知條件；定義；定理；公理；推理論證；結(jié)論；綜合法 3．已知條件；定義、定理、公理；證明的結(jié)論 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．B　　解析：∵，∴， ∴（時(shí)，符合上式） 又∵，∴是等差數(shù)列. 2．A　　解析：∵ ，∴ 3．D　　解析：設(shè)扇形的弧長為，則， 所以，又， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立， 此時(shí). 4．A　　解析：因?yàn)?，所以角，角只能都是銳角， 所以， 所以. 所以是鈍角，即角為銳角. 5．　　解析：點(diǎn)是曲線上任意一

39、點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的切線和直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，直線的斜率為1，令的導(dǎo)數(shù)，得或（舍），所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)（1,1）到直線的距離等于. 6．鈍角三角形　解析：（1）因?yàn)椋? 所以. 因?yàn)椋? 又，所以， 即為鈍角三角形. 7．菱形　　解析：∵，∴，∴四邊形為平行四邊形 ∵，∴，∴∴ ∴四邊形為菱形 8．奇　　解析：∵的定義域?yàn)镽，令 ∴，令，則 ∴，∴為奇函數(shù) 9．解析：（1）由已知得，則，又， 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. 故. （2）證明：由（1）知，，從而. ＝ ＝ 因?yàn)? ＝ ＝， 所以. 10．證明：∵，且，

40、 ∴，∴，∴， ∴， ★★★能力提升★★★ 11．A　　解析：設(shè)三角形的三邊從小到大依次為， 因?yàn)槿齼?nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列，所以. 則°，可得°. 根據(jù)余弦定理得， 得， 因三角形為鈍角三角形， 故， 于是，即. 又，即. 12．　　解析：＝ ＝，∴ 又∵，∴ 13． 平行　解析：∵四棱錐的底面是平行四邊形， ∴，且 又∵分別為的中點(diǎn)， ∴且， ∴四邊形為平行四邊形，∴ 又面，面，∴面. 14．解析：∵， ∴，， 又上述三個(gè)不等式中等號不能同時(shí)成立. ∴成立. 上式兩邊同時(shí)取常用對數(shù)， 得， ∴. 第2課時(shí)　分析法答案 知★

41、識★梳★理 1．結(jié)論出發(fā)；充分條件；定理、定義、公理；分析法 2．證明的結(jié)論 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．D　　解析：由題意要證 只要證：，所以選D 2．C　　解析：由題意知 所以，選C 3．C　　解析：要證成立，只需證明： 即證： 4．A　　解析：對甲，要使有四個(gè)單調(diào)區(qū)間， 只需要即可；對乙，要使的值域?yàn)镽，只需要的值域包含區(qū)域，只需要，即，所以甲是乙的充分不必要條件. 5．； ； . 解析：由分析法從證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件即可. 6．　　解析：取，得，再用分析法證明： ，顯然成立. 7．　　解析：要使成立，只需， 只需，

42、即應(yīng)滿足 8．9　　解析：根據(jù)條件可知，欲求的最小值， 只需求的最小值， 因?yàn)?＋2＋2＋2＝9（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”）. 9．證明：∵，∴， 所以要證原不等式成立，只需證， 即證，即證 而顯然成立，故原不等式得證. 10．證明：∵，∴ 要證，只需證， 只需證， 只需證， 即證，顯然成立，故原不等式得證. ★★★能力提升★★★ 11．B　　解析：要使恒成立，只需恒成立. 因?yàn)樵冢?,2）上單調(diào)遞增，所以，所以. 12．4　　解析：由，得， 要使恒成立，只需恒成立 只需恒成立. 顯然（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）. 所以只需成立，即能取的最大值為4. 13．（答案

43、不唯一）　解析：可用分析法，要使，需使平面，即需使，或或或 14．證明：要證， 只需證， 即證， 即證 而當(dāng)時(shí)，顯然成立， ∴ 2.2.2　反證法答案 知★識★梳★理 1．間接證明 2．不成立；原命題成立 3．已知條件；假設(shè)；定義、定理、公理、事實(shí) ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．C　　解析：由反證法的定義知，可知①②③作為條件使用，而④原命題的結(jié)論是不可以作為條件使用的. 2．A　　解析：“方程至少有一個(gè)實(shí)根”的反面是“方程沒有實(shí)根”故選A. 3．B　　解析：由反證法的定義得，反設(shè)即否定結(jié)論. 4．D　　解析：假設(shè)，，都小于2. 即： 與 ＝相矛盾

44、∴假設(shè)不成立，∴至少有一個(gè)不小于2. ∴選D 5．任意多面體的面沒有一個(gè)是三角形　　解析：“至少有一個(gè)”的否定是“沒有一個(gè)”. 6．不全為0　　解析：“全”的否定是“不全”. 7．③　　解析：若，則，但，故①不能推出，若，則，故②不能推出. 若，則，故④不能推出. 對于③，即，則中至少有一個(gè)大于1. 反證法：假設(shè)且，則與矛盾，因此假設(shè)不成立，故中至少有一個(gè)大于1. 8．③①②　　解析：由反證法證明的步驟知，先反設(shè)即③，再推出矛盾即①，最后作出判斷，肯定結(jié)論即②，即順序應(yīng)為③①②. 9．證明：假設(shè)成等差數(shù)列，則， ∵成等差數(shù)列，∴，∴ 即 ∴，從而，這與矛盾 ∴不可能成

45、等差數(shù)列. 10．證明：假設(shè)都是非負(fù)數(shù)，因?yàn)椋? 所以 又， 所以， 這與已知矛盾， 所以中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù) ★★★能力提升★★★ 11．C　　解析：兩直線的位置關(guān)系有平行、相交、異面。假設(shè)，又因，由平行的傳遞性知：與已知為異面直線矛盾，故假設(shè)不成立，故選C 12．　　解析：假設(shè)兩個(gè)一元二次方程均無實(shí)根， 則有即 解得，所以其補(bǔ)集即為所求的的取值范圍. 13．　　解析：假設(shè)都小于，即，， 由不等式的同向可加性知：∴， 與已知矛盾，故假設(shè)不成立. ∴中至少有一個(gè)數(shù)不小于. 14．證明：假設(shè)都大于. 因?yàn)?，，所以，由基本不等式，? . 同理， 將這三個(gè)不等式兩

46、邊分別相加，得， 即，這是不成立的， 故不能都大于. 章末復(fù)習(xí)答案 ★★★基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)★★★ 1．B 解析：下標(biāo)關(guān)系：，，,故第4個(gè)應(yīng)為， 2．B 解析：其假設(shè)應(yīng)是對“至少有一個(gè)角不大于60°”的否定，即“都大于60°”． 3．B.　解析：若都不與相交，則，與是異面直線矛盾．所以中至少有一條與相交．又由特例法，知A，C項(xiàng)不一定成立． 4．C　　解析：　∵當(dāng)時(shí)，左側(cè)＋…，當(dāng)時(shí)，左側(cè) ＋… 5．C　解析：類比題目所給運(yùn)算的形式，得到不等式的簡化形式，再求其恒成立時(shí)的取值范圍． 　　， 即 不等式恒成立的充要條件是 即 解得.故應(yīng)選C. 6．①②④　解析：合情

47、推理分為類比推理和歸納推理，①是類比推理，②④是歸納推理，③是演繹推理． 7．在三棱錐中，為的重心，則 8． 解析：， ∵，且，∴，∴. 9．證法1　(分析法) ∵，∴，∴要證，只需證， 即證，也即證，即證，上式顯然成立．∴原命題成立． 證法2　(綜合法) ∵，∴，∴．∵，∴， 即，，即. 證法3　(反證法) 假設(shè)，即，即，即， 即，而，∴，∴，與相矛盾， ∴原命題成立． 10．解　一般結(jié)論：…，證明如下： (1)當(dāng)時(shí)，由題設(shè)條件知命題成立． (2)假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想正確． 即. 當(dāng)時(shí)，＋… . ∴當(dāng)時(shí)，不等式成立． 根據(jù)(1)、(2)可知，對. 規(guī)

48、律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由時(shí)命題成立證時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問題得以簡化． 11．B　　解析：∵， ∴. . ∴猜想. 12．直角　　解析: 　　　 所以三角形是直角三角形 13． .　　解析：∵有兩個(gè)零點(diǎn)， ∴，∴， 由得， 即，∴， ∵的最大值為0，∴. 14．解　(1)證明：∵分別為的中點(diǎn)， ∴，又. ∴，而平面， 平面，∴平面. (2)如圖，連接， ∵為的中點(diǎn)，且，

49、 ∴. ∵平面，∴平面. ∴，故平面. 由(1)知，，又， ∴四邊形為平行四邊形． ∴平面. 故為與平面所成角． 在中，， ∴. 因此與平面所成角的正弦值為. 章末自測參考答案　 一、選擇題　 1.A　解析：觀察各項(xiàng)我們可以發(fā)現(xiàn)：為前一項(xiàng)的3倍，即，為前一項(xiàng)減1，為前一項(xiàng)的3倍，故選A。 2.B　解析：A選項(xiàng)是定義，C、D選項(xiàng)是類比推理，而B選項(xiàng)是由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，為歸納推理。 3．A　解析：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，若有意義，則，故大前提錯(cuò)誤. 4.A　解析：類比題干中所給的方法： 平面方程： 5.A　解析：“全”的否定為“不全”，故至少有一個(gè)不為0

50、 6.D　解析：由本章所學(xué)證明問題的定義得到答案. 7.A　解析：觀察可知，除第一個(gè)以外，每增加一個(gè)黑色地面磚，相應(yīng)的白色地面磚就增加四個(gè)，因此第個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是一個(gè)“以6為首項(xiàng)，公差是4的等差數(shù)列的第項(xiàng)”。故第個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是. 8.C　解析：A項(xiàng)中，因?yàn)?，所以；B項(xiàng)中只有在時(shí)才成立；C項(xiàng)中由不等式可知成立；D項(xiàng)中因?yàn)?，所? 9.A　解析：在等差數(shù)列中，由于時(shí)有，所以在等比數(shù)列中，由于，所以應(yīng)有或. 因?yàn)椋? 所以 因?yàn)?，，所? 10.C　解析：由數(shù)列的特點(diǎn)得到： ∴ 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 故應(yīng)選C. 11.若都不是90°，且，則 .

51、12.解析：若，則 但，故①推不出； 若，則，故②推不出； 若，則，故④推不出； 若，則，故⑤推不出； 對于③，即，則中至少有一個(gè)大于1. 反證法：假設(shè)且 則與矛盾。 因此假設(shè)不成立，故中至少有一個(gè)大于1. 答案：③ 13.解：設(shè)數(shù)對為 則，所以 ， 僅當(dāng)時(shí)等號成立，即 答案：（5，10） 14．解析：第一個(gè)不等式左邊為兩式之和，且分母為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方；右邊為； 第二個(gè)不等式左邊為三式之和，且分母為三個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方；右邊為； 第三個(gè)不等式左邊為四式之和，且分母為四個(gè)連續(xù)整數(shù)的平方；右邊為； …… 歸納推理知：第五個(gè)不等式為： 15.證明：要證上

52、式成立，需證 需證 需證 需證 需證 只需證 因?yàn)轱@然成立，所以原命題成立 16.（1）解：∵，， ∴ （2）證明：假設(shè)、、都小于 則，， ∴， ∴ 這與矛盾。 ∴假設(shè)錯(cuò)誤，即所證結(jié)論成立。 17.解：（1）因?yàn)椤虰B1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P 所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN 又CC1//BB1，所以CC1⊥MN. （2）在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有 其中為平面CC1B1B與平面CC1A1A所成的二面角。 證明如下： 因?yàn)镃C1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角為∠MNP 在△PMN中，因?yàn)镻M2＝PN2+MN2－2PN·MNcos∠MNP, 所以 由于， ， 所以 18.解析：（1）因?yàn)? 所以 又，所以 （2）因?yàn)?，所以，?yīng)用第（1）小題結(jié)論，得，取倒數(shù)，得. （3）由正弦定理，原題△ABC中，求證： 證明：由（2）的結(jié)論得，且均小于1， 所以，