《【備戰(zhàn)】2020高考數(shù)學(xué) 應(yīng)考能力大提升4.3》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【備戰(zhàn)】2020高考數(shù)學(xué) 應(yīng)考能力大提升4.3(4頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-bx(a,b∈R).若y=f(x)圖象上的點(diǎn)(1,-)處的切線斜率為-4,求y=f(x)的極大值.
解:(1)∵f′(x)=x2+2ax-b,
∴由題意可知:f′(1)=-4且f(1)=-,
即解得
∴f(x)=x3-x2-3x,f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=3.
由此可知,當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
2、
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
∴當(dāng)x=-1時(shí),f(x)取極大值.
例2 已知函數(shù)f(x)=xlnx.
(1)求f(x)的最小值;
(2)討論關(guān)于x的方程f(x)-m=0(m∈R)的解的個(gè)數(shù).
解:(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.
當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下:
x
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
極小值
↗
所以,f(x)在(0,+∞)上最小值是f=-.
(2)當(dāng)x∈時(shí), f(x)單調(diào)遞減且f(x)的取值范圍是;
3、
當(dāng)x∈時(shí),f(x)單調(diào)遞增且f(x)的取值范圍是.
下面討論f(x)-m=0的解:
當(dāng)m<-時(shí),原方程無解;
當(dāng)m=-或m≥0時(shí),原方程有唯一解;
當(dāng)-0),求函數(shù)在[1,2]上的最大值.
參考答案
(2)證明:不妨假設(shè)x1≥x2.
4、
由(1)知當(dāng)a≤-2時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)減少,
所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等價(jià)于f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2,[
即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.
令g(x)=f(x)+4x,
則g′(x)=+2ax+4=.
于是g′(x)≤=≤0.
從而g(x)在(0,+∞)上單調(diào)減少,故g(x1)≤g(x2),
即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2,
故對(duì)任意x1,x2∈ (0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.
分析:通過求導(dǎo)先判斷單調(diào)性再求最值.在求最值時(shí),對(duì)a的情況要進(jìn)行討論.
2.【解析】f(x)=x2e-ax(a>0),
∴f′(x)=2xe-ax+x2·(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x).
令f′(x)>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0