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1、2.1.2 數(shù)列的遞推公式
一、內(nèi)容及其解析
（一）內(nèi)容：數(shù)列的遞推公式
（二）解析：這節(jié)課通過對數(shù)列通項公式的正確理解，讓學生進一步了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；通過經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程，作好探究性教學.發(fā)揮學生的主體作用，提高學生的分析問題以及解決問題的能力.教學重點 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.教學難點 理解遞推公式與通項公式的關(guān)系.
二、目標及其解析
1.了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；
2.會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.
1.經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理
2、解運用的過程;
2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性實驗;
3.理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.
三、問題診斷分析
四、教學過程
問題與題例
問題：前面我們學習了數(shù)列的定義，數(shù)列的通項公式的意義等內(nèi)容， 哪位同學能談一談什么叫數(shù)列的通項公式？
如果數(shù)列{an}的第n項與序號之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.
問題：你能舉例說明嗎？
如數(shù)列0，1，2，3，…的通項公式為an=n-1(n∈N*);
1,1,1的通項公式為an=1(n∈N*,1≤n≤3);
1, , , ,…的通項公式為an= (n∈N*).
問
3、題：通項公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？
圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形.具體方法是以項數(shù)n為橫坐標，相應(yīng)的項an為縱坐標，即以(n,an)為坐標在平面直角坐標系中作出點(以前面提到的數(shù)列1, ,,,…為例，作出一個數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在y軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù).從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢.
-----------------遞推公式法
知識都來源于實踐，同時還要應(yīng)用于生活，用其來解決一些實際問題.下面同學們來看右下圖：鋼管堆
4、放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學模型.
模型一：自上而下
第1層鋼管數(shù)為4,即14＝1+3;
第2層鋼管數(shù)為5,即25＝2+3;
第3層鋼管數(shù)為6,即36＝3+3;
第4層鋼管數(shù)為7,即47＝4+3;
第5層鋼管數(shù)為8,即58＝5+3;
第6層鋼管數(shù)為9,即69＝6+3;
第7層鋼管數(shù)為10,即710＝7+3.
若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an=n+3(1≤n≤7).
問題：同學們運用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運用這一關(guān)
5、系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù).這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便.讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？(啟發(fā)學生尋找規(guī)律)
模型二：上下層之間的關(guān)系
自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1,
即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.
依此類推：an=a n-1+1(2≤n≤7).
問題：對于上述所求關(guān)系，同學們有什么樣的理解?
若知其第1項，就可以求出第二項，以此類推，即可求出其他項.
看來，這一關(guān)系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關(guān)系的式子叫做遞推公式.
[概念形成]
1.遞推公式定義：
如果已知數(shù)列{
6、an}的第1項(或前幾項)，且任一項an與它的前一項an-1(或前n項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.
注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法.
如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89.
遞推公式為：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).
2.數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應(yīng)與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，函數(shù)的表示法有：列表法、圖象法、解析式法.相對于數(shù)列來說也有相應(yīng)的這幾種表示方法：即列表法、圖象法、解析式法.
［例題］
【例1】 設(shè)數(shù)列{an}滿足.寫出這個數(shù)列的前五項.
分析：題中
7、已給出{an}的第1項即a1=1，題目要求寫出這個數(shù)列的前五項，因而只要再求出二到五項即可.這個遞推公式：an=1+我們將如何應(yīng)用呢?
這要將n的值2和a1=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項，然后依次這樣進行就可以了.
請大家計算一下!
解：據(jù)題意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=
設(shè)計意圖：掌握遞推公式很關(guān)鍵的一點就是其中的遞推關(guān)系，同學們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中的前項與后項，或前后幾項之間的關(guān)系.
【例2】 已知a1=2，an+1=2an，寫出前5項，并猜想an.
分析：由例1的經(jīng)驗我們先求前5項.前5項分別為2，4，8
8、，16，32.
下面來猜想第n項.
由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23觀察可得，猜想an=2n.
問題：本題若改為求an是否還可這樣去解呢?
由a n+1=2an變形可得an=2a n-1，即，依次向下寫，一直到第一項，然后將它們乘起來，就有…×，所以an=a1·2n-1=2n.
這種方法通常叫迭乘法，這種方法在已知遞推公式求數(shù)列通項的問題中是比較常用的方法，對應(yīng)的還有迭加法.
變式：已知a1=2，an+1=an-4,求an.
分析：此題與前例2比較，遞推式中的運算改為了減法，同學們想一想如何去求解呢?
l 寫出：a1=2，a2=-2，a3
9、=-6，a4=-10，…
觀察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).
l 解：由an+1-an=-4依次向下寫，一直到第一項，然后將它們加起來,
an-a n-1=-4
an-1-an-2=-4
an-2-an-3=-4
……
∴an=2-4(n-1).
［小結(jié)］
(1)數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關(guān)系確定的，如果只有遞推關(guān)系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的.
例如，由數(shù)列{an}中的遞推公式an+1=2an+1無法寫出數(shù)列{an}中的任何一項，若又知a1=1，則可以依次地寫出a2=3,a3=7,a4=15,….
10、
(2)遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項公式，也可能求不出通項公式.
五、目標檢測
1、根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式.(投影片)
(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；
(2)a1＝1，a n+1＝ (n∈N)；
(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N).
(讓學生思考一定時間后，請三位學生分別作答)
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2.
(2)a1＝1， a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝ =，∴an＝.
(3)a1＝3＝1+2
11、×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，
a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3 n-1.
注：不要求學生進行證明歸納出通項公式.
2、一只猴子爬一個8級的梯子，每次可爬一級或上躍二級，最多能上躍起三級，從地面上到最上一級，你知道這只猴子一共可以有多少種不同的爬躍方式嗎？
析：這題是一道應(yīng)用題，這里難在爬梯子有多種形式，到底是爬一級還是上躍二級等情況要分類考慮周到.
爬一級梯子的方法只有一種.
爬一個二級梯子有兩種,即一級一級爬是一種，還有一次爬二級，所以共有兩種.
若設(shè)爬一個n級梯子的不同爬法有an種,
則a
12、n=an-1+an-2+an-3(n≥4),
則得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8=81.
六、課堂小結(jié)
這節(jié)課我們主要學習了數(shù)列的另一種給出方法，即遞推公式及其用法，要注意理解它與通項公式的區(qū)別，誰能說說？
通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系.
對于通項公式，只要將公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相應(yīng)的項.而遞推公式則要已知首項(或前n項)，才可求得其他的項.
(讓學生自己來總結(jié)，將所學的知識，結(jié)合獲取知識的過程與方法，進行回顧與反思，從而達到三維目標的整合.培養(yǎng)學生的概括能力和語言表達能力)
七、配餐練習
《優(yōu)化設(shè)計》2.1.2 《優(yōu)化作業(yè)》
云南省保山曙光學校高二數(shù)學《數(shù)列的遞推公式》教學設(shè)計（通用）
