3、N＋，f：x→y＝x2
②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝
③A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 對于①，當0∈A時，y＝0?B，故①所給的對應法則不是A到B的映射，當然它不是A上的函數(shù)關(guān)系；對于②，當2∈A時，y＝?B，故②所給的對應法則不是A到B的映射，當然它不是A上的函數(shù)關(guān)系；對于③，對于A中的任一個數(shù)，按照對應法則，在B中都有唯一元素0和它對應，故③所給的對應法則是A到B的映射，這兩個數(shù)集之間的關(guān)系是集合A上的函數(shù)關(guān)系．
4．已知函數(shù)y＝，使函數(shù)值為5的x的值是( )
A．－2 B．2或－
4、C．2或－2 D．2或－2或－
[答案] A
[解析] 由題意有x2＋1＝5，得x＝±2，又x≤0，所以x＝－2；或－2x＝5，得x＝－，又x>0，舍去．
5．(2020·茂名一模)設f(x)＝則f[f(2)]的值為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵f(2)＝log3(22－1)＝1，又f(1)＝2·e0＝2，∴f[f(2)]＝2.
6．已知f＝2x＋3，f(m)＝6，則m等于( )
A. B．－
C. D．－
[答案] B
[解析] 令2x＋3＝6，得x＝，則m＝x－1＝×－1＝－.故選B.
二、填空題
7．
5、已知函數(shù)f(x)、g(x)分別由下表給出
x
1
2
3
f(x)
1
3
2
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
則f [g(1)]的值為________；滿足f [g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
[答案] 2；2
[解析] f [g(1)]＝f(3)＝2.
x
1
2
3
f[g(x)]
2
3
1
g[f(x)]
3
1
2
故f[g(x)]>g[f(x)]的解為x＝2.
8．已知f(0)＝1，且對任意實數(shù)a，b總有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，則f(x)＝_______
6、_.
[答案] x2＋x＋1
[解析] 令a＝0，則f(－b)＝f(0)－b(－b＋1)＝1＋b(b－1)＝b2－b＋1
再令－b＝x，即得：f(x)＝x2＋x＋1.
[點評] 賦值法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是“賦值”，賦值的方法靈活多樣，既要照顧到已知條件的運用和待求結(jié)論的產(chǎn)生，又要考慮所給關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點．
如本題另解：令b＝a，則1＝f(0)＝f(a)－a(2a－a＋1)
＝f(a)－a(a＋1)＝f(a)－a2－a，
∴f(a)＝a2＋a＋1，∴f(x)＝x2＋x＋1.
三、解答題
9．已知f(x)是定義在[－6,6]上的奇函數(shù)，它在[0,3]上是一次函數(shù)，在[3,6]上是二次函數(shù)
7、，且當x∈[3,6]時，
f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求f(x)的解析式．
[解析] ∵x∈[3,6]時，y＝f(x)是二次函數(shù)，
f(6)＝2且f(x)≤f(5)＝3
∴當x＝5時，二次函數(shù)有最大值3，當x∈[3,6]時可設f(x)＝a(x－5)2＋3，由f(6)＝2，a＋3＝2，得a＝－1
∴當x∈[3,6]時，f(x)＝－(x－5)2＋3
則f(3)＝－1，由y＝f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝0
當x∈[0,3]時，y＝f(x)為一次函數(shù)，由f(0)＝0，f(3)＝－1，得f(x)＝－x，由y＝f(x)為奇函數(shù)知，當x∈[－3,0]時，f(x)＝－f(－x)＝－x
8、.
當x∈[－6，－3]時，f(x)＝－f(－x)＝(x＋5)2－3
∴f(x)＝.
一、選擇題
1．(2020·福建文，8)已知函數(shù)f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案] A
[解析] 本題考查分段函數(shù)求值．
∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知 f(a)＝－2.
當a>0時 2a＝－2不成立．當a<0時a＋1＝－2，a＝－3.
2．(文)設f(x)＝，又記f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，則f2020(x)＝( )
A. B.
9、C．x D．－
[答案] A
[解析] 由已知條件得到
f2(x)＝f[f1(x)]＝＝＝－，
f3(x)＝f[f2(x)]＝＝＝，
f4(x)＝f[f3(x)]＝＝＝x，
f5(x)＝f[f4(x)]＝，
易知fn(x)是以4為周期的函數(shù)，而2020＝503×4＋1，
所以f2020(x)＝f1(x)＝.
(理)如圖所示，單位圓中弧的長為x，f(x)表示弧與弦AB所圍成的弓形(陰影部分)面積的2倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖像是( )
[答案] D
[解析] 如圖所示，設∠AOB＝θ，則x＝θ.則弓形面積＝S扇形－S△AOB
＝x×1－2×sincos
10、
＝(x－sinθ)＝(x－sinx)．
當x∈[0，π]時，sinx≥0，則x－sinx≤x，其圖像位于y＝x下方．
當x∈(π，2π]時，sinx≤0，則x－sinx≥x，其圖像位于y＝x上方．
所以只有D項符合題意．
二、填空題
3．(文)已知g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，那么f等于________．
[答案] 15
[解析] 令g(x)＝，即1－2x＝，所以x＝，則f＝÷2＝15.
(理)已知f(x)＝，定義fn(x)＝f(fn－1(x))，其中f1(x)＝f(x)，則f2020＝________.
[答案]
[解析] 依次計算：f1＝，f2
11、＝，
f3＝，f4＝，f5＝，f6＝，
f7＝，可知fn的最小正周期為6，
即得fn＋6＝fn，所以f2020＝f3＝.
[點評] 該題考查分段函數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性，再將f2020轉(zhuǎn)化為f3即可．
4．(文)(2020·四川文，16)函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)，下列命題：
①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；
②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)；
③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)
12、；
④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．
其中的真命題是________(寫出所有真命題的編號)
[答案]?、冖邰?
[解析] 該題為信息考查題，考查學生遷移知識的能力，考查“單函數(shù)”的意義．
由x＝x，未必有x1＝x2，故①不正確；對于f(x)＝2x，當f(x1)＝f(x2)時一定有x1＝x2，故②正確；當f(x)為單函數(shù)時，有f(x1)＝f(x2)?x1＝x2，則其逆否命題f(x)為單函數(shù)時，x1≠x2?f(x1)≠f(x2)為真命題，故③正確；當函數(shù)在其定義域上單調(diào)時，一定有f(x1)＝f(x2)?x1＝x2，故④正確．
(理)(2020，四川理，16)函數(shù)f(x)的定義
13、域為A，若x1，x2∈A，且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)，下列命題：
①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；
②若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；
③若f：A→B為單函數(shù)，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
④函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性，則f(x)一定是單函數(shù)．
其中的真命題是________．(寫出所有真命題的編號)
[答案]?、冖?
[解析] 當f(x)＝x2時，不妨設f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此時x1≠x2，故①不正確；由
14、f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2可知，當x1≠x2時，f(x1)≠f(x2)，故②正確；若b∈B，b有兩個原象時，不妨設為a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，與題中條件矛盾，故③正確；函數(shù)f(x)在某區(qū)間上具有單調(diào)性時在整定義域上不一定單調(diào)，因而f(x)不一定是單函數(shù)，故④不正確．故答案為②③.
三、解答題
5．(文)求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝＋lgcosx；
(2)y＝；
(3)y＝lg.
[解析] (1)由得
∴函數(shù)的定義域為∪∪.
(2)由log(x2－1)≥0，得0
15、－≤x<－1或10，得x>1或x<0，
∴函數(shù)的定義域為{x|x>1或x<0}．
(理)函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足下面兩個條件：①存在x1≠x2，使f(x1)≠f(x2)；②對任意的x、y∈R，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
(1)求f(0)；
(2)證明對任意的x、y∈R，f(x)>0恒成立．
[解析] (1)∵f(0＋0)＝f(0)·f(0)，∴f(0)＝0或f(0)＝1.若f(0)＝0，則存在x≠0，使對任意的x∈R有f(x＋0)＝f(x)·f(0)＝0，即f(x)＝0，與條件矛盾，∴f(0)＝1.
(2)f(x)＝f＝2≥0，若存在x0
16、使f(x0)＝0，則對任意的x∈R，f(x)＝f[(x－x0)＋x0]＝f(x0)·f(x－x0)＝0，與條件矛盾，∴f(x)>0恒成立．
6．已知二次函數(shù)f(x)有兩個零點0和－2，且f(x)最小值是－1，函數(shù)g(x)與f(x)的圖像關(guān)于原點對稱．
(1)求f(x)和g(x)的解析式；
(2)若h(x)＝f(x)－λg(x)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．
[解析] (1)依題意，設f(x)＝ax(x＋2)＝ax2＋2ax(a>0)．
f(x)圖像的對稱軸是x＝－1，∴f(－1)＝－1，
即a－2a＝－1，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.
∵函數(shù)g(x)的圖
17、像與f(x)的圖像關(guān)于原點對稱，
∴g(x)＝－f(－x)＝－x2＋2x.
(2)由(1)得h(x)＝x2＋2x－λ(－x2＋2x)＝(λ＋1)x2＋2(1－λ)x.
①當λ＝－1時，h(x)＝4x滿足在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)；
②當λ<－1時，h(x)圖像對稱軸是x＝，
則≥1，又λ<－1，解得λ<－1；
③當λ>－1時，同理需≤－1，
又λ>－1，解得－1<λ≤0.
綜上，滿足條件的實數(shù)λ的取值范圍是(－∞，0]．
7．等腰梯形ABCD的兩底分別為AD＝2a，BC＝a，∠BAD＝45°，作直線MN⊥AD交AD于M，交折線ABCD于N，記AM＝x，試將梯形ABCD位于直
18、線MN左側(cè)的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域．
[解析] 作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足，
依題意，則有AH＝，AG＝a.
(1)當M位于點H的左側(cè)時，N在AB上，由于AM＝x，∠BAD＝45°.
∴MN＝x.
∴y＝S△AMN＝x2 .
(2)當M位于H、G之間時，由于AM＝x，
∴MN＝，BN＝x－.
∴y＝S直角梯形AMNB＝ ·
＝ax－ .
(3)當M位于點G的右側(cè)時，
由于AM＝x，MN＝MD＝2a－x.
∴y＝S梯形ABCD－S△MDN
＝ · (2a＋a)－(2a－x)2
＝－(4a2－4ax＋x2)
＝－x2＋2ax－ .
綜上：y＝
【走向高考】2020年高考數(shù)學總復習 2-1函數(shù)及其表示 課后作業(yè) 北師大版
