【提優(yōu)教程】江蘇省2020高中數(shù)學(xué)競賽 第73講不等式證明選講教案

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1、第十三講 不等式證明選講 本節(jié)主要內(nèi)容為證明不等式的基本方法——比較法；綜合法于分析法；放縮法；放縮法；反證法；數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)形結(jié)合以及運用函數(shù)的性質(zhì)． A類例題 例1 設(shè)，證明 分析：可以把不等式兩邊相減，通過恒等變形（例如配方，因式分解等），轉(zhuǎn)化為一個能夠明確確定正負(fù)的代數(shù)式． 證明： ，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立． 說明：要證，最基本的方法就是證明，即把不等式兩邊相減，轉(zhuǎn)化為比較差與0的大小，此法用的頻率極高． 鏈接：本題可推廣為都不小于1，證明： （注：要用數(shù)學(xué)歸納法） 例2 設(shè)，，比較與的大?。? （1982年全國高考題） 分析：顯然，要比較的兩個數(shù)都是

2、正數(shù)，把它們相除考察商式與1的大小關(guān)系，同樣可得出兩數(shù)的大小關(guān)系，即為正數(shù) 解：由于，，同理， ，因此 例3 1），證明 2）為任意正整數(shù)，證明 1）分析：觀察欲證不等式的特點，已知中有，結(jié)論中有，這種結(jié)構(gòu)特點啟發(fā)我們采用如下方法． 證明：因為，所以，同理，因此， ，又，故 說明：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ? 2）分析：從不等式的結(jié)構(gòu)不易發(fā)現(xiàn)需要用哪些不等式的性質(zhì)或事實解決這個問題，因此用分析法． 證明：要證，只需證，也就是要證，兩邊平方，只需

3、證 ，只需證，該式對一切正整數(shù)都成立，所以成立． 說明：證明命題時，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實，從而得出要的命題成立，這種證明的方法叫做分析法．這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法，在尋求證明思路時尤為有效． 當(dāng)問題比較復(fù)雜時，時常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用．以分析法尋找證明的思路，用綜合法敘述、表達(dá)整個證明過程． 在實際的證題思考過程中，執(zhí)果索因和由因?qū)Ч偸遣粩嘟惶娴爻霈F(xiàn)在思維過程中． 鏈接：用此已經(jīng)獲證的不等式很容易證出一個新的不等式： 例4 1）設(shè)是一個三角形的三條邊長，，證明 2）設(shè)，，比較與

4、的大小 （1992年上海高考題改編） 1） 證明：用分析法證不等式的前半部分． 要證，只需證，即證，只需證，因為該不等式是我們熟知的已經(jīng)成立的不等式，所以成立．又，同理，這樣便有，也即．綜上得 2）分析：用特殊值代入獲得的印象是時，從開始，因此我們從作差入手，用放縮法完成全部結(jié)論． 解： （當(dāng)時），所以 又（當(dāng)時），所以．綜上可知時，；時， 說明：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種證法稱為放縮法．比如說直接證明不等式比

5、較困難，可以試著去找一個中間量，如果有及同時成立，自然就有．所謂“放縮”即將放大到，再把放大到，或者反過來把縮小到再縮小到，不等式證明的技巧常體現(xiàn)在對放縮尺度的把握上． 情景再現(xiàn) 1. 設(shè)，證明 2. 1）設(shè)，證明 2）為任意實數(shù)，滿足，求證 3. 設(shè)，則的最小值=__________ B類例題 例5 設(shè)，滿足 1） 2），，證明： 分析：從要證明的結(jié)論看，去分母是不可能的，因為去分母計算量太大，去分母后也無法利用已知條件．另外，應(yīng)該注意已知條件2）實際上包含著個不等式 ，考慮到以上特點，因此用比較法，先作差． 證明： （依次類推）… ，

6、因此 說明：證題過程看似好長，實際上關(guān)鍵步驟只有一兩個．從數(shù)學(xué)欣賞的角度看，本題已知，求證和證法合在一起，顯得十分和諧優(yōu)美． 例6 1）證明：任何三個實數(shù)都不可能同時滿足下列三個不等式： ，， 2）設(shè)是實數(shù)且滿足，證明、、中最多有兩個數(shù)大于1 （第44屆塞爾維亞和里山數(shù)學(xué)奧林匹克） 分析：要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰，于是考慮反證法． 1）證明：假設(shè)存在某三個實數(shù)同時滿足題設(shè)的三個不等式，將它們的兩端都同時平方，然后分別移項、分解因式得： （1） （2） （3） 三式相

7、乘得，這顯然是不可能的，因此原命題成立． 說明：本題所得到的三個不等式（1）（2）（3），單獨看哪一個看不出有什么毛病，而一旦把它們求積，矛盾便顯現(xiàn)在眼前． 2）證明：假設(shè)三個數(shù)、、都大于1，由于中至少有一個是正的，不妨設(shè)，于是．同理可推得，因此都是正數(shù)．由，即，同理，，三式相乘得，此與已知矛盾，因此題目結(jié)論成立． 說明：反證法的根據(jù)是排中律，是用證明逆否命題成立來替代原命題成立．其難點在于提出與結(jié)論相反的假設(shè)后，如何合理地展開思路以便盡快凸現(xiàn)矛盾． 例7 設(shè)數(shù)列滿足，，證明 （2001年中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克） 分析：這是一個有關(guān)正整數(shù)的命題，很自然地考慮用數(shù)學(xué)歸納法，注

8、意到1001接近2001的一半，因此可以試著證明 （1） 證明：時，，命題成立． 設(shè)時，（1）成立，即，當(dāng)時，有 ，故對一切，（1）都成立，從而 例8 1）為非負(fù)實數(shù)，，證明： 2）設(shè)，證明 分析：從1），2）的結(jié)構(gòu)看，似乎分別與勾股定理、余弦定理有些聯(lián)系，因此可以把題中的式子賦于幾何意義，從而把復(fù)雜的代數(shù)不等式化為相應(yīng)的較為簡單的幾何不等式． 1）證明：如圖1）、都是正方形，其邊長等于1，為線段上任一點，令，，則，，， （時等號成立）．又在形內(nèi)任一點（含周界），，即 （或時等號成立）． B A C M N 2) A B C P D F E

9、 1) 2）證明：構(gòu)造圖形如圖2），為等腰直角三角形，，，，，，據(jù)余弦定理，，，由平面幾何知，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立． 鏈接：本題獨到的證法不僅明快、利索，而且揭示了問題的真正內(nèi)含．我們不難從中體會到這道題是如何編擬、設(shè)計出來的． 例9 設(shè)非負(fù)實數(shù)滿足，求證： （2020年西部數(shù)學(xué)奧林匹克） 分析：證明分式不等式，盡可能地不通分、不去分母（不得已而為之）．本題通過代換，轉(zhuǎn)換為一個新命題，再用函數(shù)有關(guān)性質(zhì)推斷出要證結(jié)果． 證明：令，，則，且，（）， ，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即，（）時等號成立． 情景再現(xiàn) 4. ，若，證明 5

10、. 若，．證明： （2020年新加坡數(shù)學(xué)奧林匹克） 6. 已知數(shù)列中所有項都是正數(shù)，又設(shè)對于都有，證明對于都有． （1964年北京數(shù)學(xué)競賽題） 7. 設(shè)取正實數(shù)，且，求三元函數(shù) 的最小值，并給出證明． （2020年湖南省高中數(shù)學(xué)競賽題） C類例題 例10 1）數(shù)列中對于任意正整數(shù)都有 1） 試用和表示 2） 當(dāng)時，證明 3） 當(dāng)時，證明 （2020年全國高考江蘇卷改編） 分析：首先通過疊代求出數(shù)列的通項公式，再據(jù)通項公式發(fā)掘數(shù)列的性質(zhì)．此時我們發(fā)現(xiàn)不大好求．因此應(yīng)將適當(dāng)放大，使放大后的數(shù)列既便于求和且和式的值又能命中（或接近

11、）要證之結(jié)果． 1） 解：由已知 2） 證明：，由于，所以，故得．?dāng)?shù)列為單調(diào)遞減， ， ，于是時，這樣便有所以 3）證明：因為單調(diào)遞減，所以，，，三式相加得 ，因此 說明：的表達(dá)式也可以先歸納然后用數(shù)學(xué)歸納法證明．2）和3）的證明都是通過放大構(gòu)造成差分式，異曲同工．3）的技巧性更高一點．該題有其幾何背景，有興趣的讀者可以查閱原題．如果用微積分方法證問題3），顯得特別簡單． 例11 設(shè)，證明 （1993年全國聯(lián)賽題改編） 分析：兩邊平方這條路不容易走通，根據(jù)已知條件，以及三個根式中減式均為，考察代換，將原命題轉(zhuǎn)換為易證的新命題．由聯(lián)想到三角公式（） 證明：

12、令，，，其中，代入后原不等式化為要證 ，約去，并將上式全化為正余弦，即證 ，整理該式，即只需證 （*），我們來證明不等式（*）．因為，所以， （） ，至此原不等式獲證． 鏈接：與本題相關(guān)的另外兩個命題是，則有 ， （） 情景再現(xiàn) 8. 設(shè)，且，求證 9. 證明：對任意正數(shù)都有 10. 求所有的實數(shù)，使得不等式對任意都成立． （2020年西部數(shù)學(xué)奧林匹克） 習(xí)題十三 A類 1. 1）不查表證明 2），，，證明 2. 成等差數(shù)列，，證明 3. 設(shè)是8個給定的實數(shù)，且，，試證 B類 4. 1）在中，求證 2）當(dāng)

13、時，代數(shù)式 的值在哪兩個整數(shù)之間？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?002-2020芬蘭高中數(shù)學(xué)奧林匹克） 5. 若100個實數(shù)滿足，證明 6. 設(shè)，，已知對都有，證明： (第31屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克) 7. 證明：不等式對所有正實數(shù)成立． （克羅里亞2020年數(shù)學(xué)奧林匹克） 8. 設(shè)數(shù)列滿足， （） 1）證明對一切正整數(shù)成立； 2）令（），判定與的大小并說明理由．（2020年高考重慶卷） C類 9. 已知是正整數(shù)，且 1）證明 2） （

14、2001年全國高考題） 10. 已知為正實數(shù)，證明： （第20屆伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克） 11. 設(shè)是正實數(shù)，求證： （2020年美國數(shù)學(xué)奧林匹克） 12. 已知是不全為零的非負(fù)實數(shù)，求 的最小值． 本節(jié)情景再現(xiàn)解答 1. 作差， ，另一半同法可證． 2. 1）分析法．要證，只需證 ，平方后即證 此式成立．同理可證另一不等式． 2）只要證，展開后即證 ，據(jù)已知不等式該式成

15、立． 3. ，因此所求最小值為，當(dāng)時取得此最小值． 4. 反證法：假設(shè)，又據(jù)已知，因此 這是不可能的，因此 5. ，同理（），個同向不等式相加便得． 6. 用數(shù)學(xué)歸納法：我們有，故，即我們的結(jié)果當(dāng)時成立．今設(shè)其當(dāng)時成立，則，若，則從此容易看出．若，則由上式得，即得所證． 7. 構(gòu)造函數(shù)，并用函數(shù)性質(zhì)．考察函數(shù)，易知為奇函數(shù)，并且當(dāng)時在上單調(diào)遞增．因此對于，且有．所以，對任意，有 ．同理可得，，三式相加得，所求最小值為0 8. 代換，令，由題設(shè)得，利用，有 ，同理有，，三式相加得原不等式成立． 9. 反證法．若存在正實數(shù)使，那么就有，三式相乘得矛盾！故原不等式成立． 10.

16、 取特殊值，當(dāng)時有；當(dāng)時有，兩者都能成立，得．下面證明 （1），對任意都成立．首先證明時，事實上，所以，，，四個不等式相加便得（1），故欲求的實數(shù) 本節(jié)習(xí)題解答 1. 1）要證，只要證，即證，此為顯然．同法可證 2），，因此 2. 令等差數(shù)列公差為，， （），注意到，所以，因此，這樣便有，，，…，，將這個不等式相乘得 3. ，而 ，因此 ，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立． 4. 1）設(shè)，則，且，，，故原不等式等價于，即，由平均不等式知，此式顯然成立． 2），這樣 ，，容易證明中，所以，即 5. 證法一：注意到系數(shù)規(guī)律，將這100個不等式相加得，因此原式應(yīng)為100個

17、等式這樣便有，…，將這100個等式分別平方后再相加得，因此 證法二：100個不等式應(yīng)為等式，這樣 ，于是有 ，依次代入得，，所以 6. 易知，得，同理，，三個不等式相加便得 7. 給定不等式等價于 此式顯然成立，原不等式得證． 8. 1）證法一：當(dāng)時，不等式成立．假設(shè)時，，當(dāng)時，由于，故， ．這就是說時，不等式也成立．故對任意正整數(shù)，成立． 證法二：先證，由于，這樣便有 ，將這個不等式相乘得，又，將這個不等式相加得 ，又，又時，不等式顯然成立，故 2） （對分子用平均不等式），故 9. 1）要證，只要證，即證 ，借助熟知的不等式，都是正數(shù)，并且，則有，因

18、此，于是有 2）證法一：用平均不等式， ，即 B A 0 y x 證法二：原不等式等價于，即，設(shè)為函數(shù)圖象上兩點，則，由圖象知，，原不等式成立． 10. 顯然不可能都大于1，或者都小于1，因此中一定有兩個或者都不大于1，或者都不小于1，不妨設(shè)，則 （1），又，，約去得 （2），（1）+（2）得．另：本題也可用反證法證明． 11. 不等式左端分子、分母均為二次，因此對乘一個合適的因子可把原問題化為的情形，因原不等式只要證 ，注意到 ．據(jù)此同理可得另兩道式子，三式相加，原不等式之左，當(dāng)時取等號． 12. 解法一：由，因此有，同理， ，三式相加得 ，因此所求最小值為，當(dāng)時取得此最小值．（注：中如有零，不等式顯然成立．） 解法二：構(gòu)造三角形，其中，是的斐爾瑪點．圖示圓為的外接圓，連接交圖中圓于，為正．由平面幾何知，，在中，用余弦定理，即，以下同解法一．（（注：受到解法二的啟示得到解法一） A B C P M