【提優(yōu)教程】江蘇省2020高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 第22講 三角恒等變換分享到： 0教案

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1、第22講　三角恒等變換 本專題涉及到的知識(shí)點(diǎn)是兩角和差的正余弦、正切公式；二倍角公式．正用、逆用、創(chuàng)造條件使用公式是解題的關(guān)鍵，涉及到三種主要的變換：角變換、函數(shù)名稱的變換、運(yùn)算方式的變換． A類例題 例１　已知都是鈍角，且．求． 分析　實(shí)施角變換：，角變換是三角函數(shù)中最重要的一種變換． 解　由都是鈍角知，． 若，則均為銳角，且 ． 由此得與角是鈍角矛盾，故只有，所以． 從而． 說明　抓住了角變換就明確了解題的方向，本題容易產(chǎn)生的失誤是解的個(gè)數(shù)． 例２　已知，求的值． 分析　變形的方法是化弦處理和抓住公式結(jié)構(gòu)逆用公式． 解　由得， 另一方面， 所以． 說明　抓住

2、公式結(jié)構(gòu)是逆用和創(chuàng)造條件用好公式的前提，類似的問題在三角函數(shù)中很多，如求值：，在此問題中要抓兩點(diǎn)，第一是與蘊(yùn)涵在兩角和的正切公式結(jié)構(gòu)中，第二是角關(guān)系． 由展開整理即得其值為． 例３　已知，求，． 分析　本題的解法很多，現(xiàn)用角變換求解． 解　由已知條件有 ． 同理　?。? 聯(lián)立求出． 情景再現(xiàn) １． 已知，求證：． ２．求的值． ３.求值：． B類例題 例４　已知是銳角，是鈍角，且成等差數(shù)列，求的值．（２００１年上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽） 分析　化弦降次和運(yùn)算方法變換． 解　由條件化弦得， ， ，， ， ， 即，由是銳角，是鈍角得． 例５ 設(shè)，求證： 是成

3、立的充要條件．（２００５年第１５屆希望杯數(shù)學(xué)賽） 分析　運(yùn)用公式直接展開． 解法一　充分性是顯然的，下面證必要性． 由得 即化簡得， 即，由得． 解法二　構(gòu)造三角形求解．構(gòu)造，則 ，因?yàn)椋? 即，即，從而知， 即． 例６　求的值．（１９９１年全國高中聯(lián)賽） 分析　　本題的基本方法是降次、和差化積，從結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造求解． 解法一　注意，且三角式是關(guān)于對(duì)稱的，所以可以構(gòu)造二元對(duì)稱代換求值． 設(shè)， 則， ， 所以原式 ． 解法二　利用，構(gòu)造對(duì)偶模型求解． 設(shè)， ，則 ，從而求出． 說明　三角式的結(jié)構(gòu)特征分析在解題中的作用很大，往往能揭示問題的本質(zhì)．本題

4、也可以通過構(gòu)造三角形等其它方法求解． 例７　求的值． 分析　從基本方法和構(gòu)造法兩個(gè)角度求解． 解法一?。ê筒罨e逆用公式） ＝， 分子分母同乘，連續(xù)兩次逆用二倍角公式得其值為． 解法二?。?gòu)造對(duì)偶式求解） 設(shè)， ．約去得． 解法三?。ㄗ陨泶鷵Q構(gòu)造方程求解） ， 平方　 ． 得方程，從而解得． 解法四?。?gòu)造同形方程） 設(shè)，則同時(shí)滿足該同形方程． 由二倍角公式得二次方程， 這表明是方程的兩根，而且是全體根，由根與系數(shù)的關(guān)系得． 情景再現(xiàn) ４．求證：． ５．已知，且滿足： ． 求的值． C類例題 例８　化簡?。? 分析　從結(jié)構(gòu)特征入手，由于每

5、個(gè)乘積項(xiàng)中的兩個(gè)角相差都是，從兩角差的正切公式化簡入手． 解　由，變形得，其中． 從而原式 ． 例９　求證：． 分析　構(gòu)造方程求解． 解由知是方程的根．設(shè)． 則，即． 令，對(duì)展開整理得 由是上述方程的三個(gè)根， 那么是方程的三個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得， 開方即得． 例１０ 若均是整數(shù)（其中），且使得 ，求的值． 分析　角變換，使得為完全平方． 解　 　　　　　 　　　　　 　　　　　 所以，． 情景再現(xiàn) 6．已知為整數(shù)，且滿足．求出的所有可能值． 7．設(shè)，且． 求證：． 習(xí)題 １．已知和是方程的兩個(gè)根，求證． ２．已知求的值． ３．已知是

6、銳角，，求的值． ４．求值：． ５．已知 ① ②,其中. 求證:. ６．求函數(shù)的最小值． ７．已知（其中均不等于）． 求的值． ８．已知，且，求角． ９.證明:. １０.證明:對(duì)任一自然數(shù)及任意實(shí)數(shù)為任一整數(shù),有. １１.設(shè)是銳角,且. 求證:. １２．　已知， ． 求證：對(duì)任意的，恒有 ． 本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答： １．解　角變換．由得 即 即． ２．解　逆用公式和角關(guān)系． 原式 ． ３．解 角變換．原式 ． 也可以變換運(yùn)算方式積化和差． ４．解　左右兩邊同時(shí)化弦． 左邊 ． 而右邊 ．所以等式成立． ５．解

7、　基本方法降次消元．由降次化簡得 ，① 再由得，② 由①②兩式平方相加消去角，求得代入①中求得． 即，由得 6．解 由三倍角公式有， 從而　　， 即　　， 又　　所以， 即滿足條件． 假設(shè)存在另外一組滿足條件，則， 解出，從而是有理數(shù)． 設(shè)代入 ，整理得 ，于是，由知，故又，所以此時(shí)，，只能有，即矛盾,因此滿足條件的是唯一的． 7．解 構(gòu)造直角三角形．，則由條件知,所以 ． 所以 ，將其代入到中去，化簡后即得證． 習(xí)題”解答： １．解 角變換和逆用公式．由根與系數(shù)的關(guān)系得 所以 所以． ２．解 化成正切．由求得， 而． ３．解 角變換．

8、由是銳角得，由是銳角知是第四象限角，所以 ，． 所以 ． ４．解 化弦和角變換． ． ５.證:消元. ① ②得 , 即, 即,同理可證, 所以. ６．解 降次． 所以，其最小值為． ７．解 角變換．由得 ， 即，所以 ， 即，所以． ８．解 配方．由條件得 ， 即， 即， 配方得， 從而得，由得 ． ９.證明降次.由,得,從而有, 所以 所以 . １０.證明 裂項(xiàng). , 同理, 各項(xiàng)相加,得. １１.證明 用不等式逼出.由是銳角知①,又由已知條件得②, 但,故③, 由①③得從而,有 ,推出代入②,得,即,只能是 １２．解 構(gòu)造關(guān)于角的函數(shù)，重新組合三角式． 作函數(shù)，從而有． 由 ＝． 取，得，但，故，從而由知．