【提優(yōu)教程】江蘇省2020高中數(shù)學(xué)競賽 第24講 三角不等式教案

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1、第24講 三角不等式 含有未知數(shù)的三角函數(shù)的不等式叫做三角不等式．三角不等式首先是不等式，因此，處理不等式的常用方法如配方法、比較法、放縮法、基本不等式法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法等也是解決三角不等式的常用方法．其次，三角不等式又有自己的特點——含有三角式，因而三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性以及圖像特征、三角公式及三角恒等變形的方法等都是處理三角不等式的常用工具． A類例題 例1 已知、為銳角，且，求證對一切，有 分析 要證的不等式兩邊均為指數(shù)式，且指數(shù)相同，可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，因此首先應(yīng)比較與的大小，而函數(shù)的單調(diào)性與α的符號有關(guān)，可分情況討論． 證明 （1）若x>0，則，則，

2、由正弦函數(shù)的單調(diào)性，得，即，又x>0，故有． （2）若x<0，則，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，得，即，又x<0，故有． 說明 比較不同角的正弦與余弦的大小，可先化同名，再利用正余弦函數(shù)的單調(diào)性比較，而一組的誘導(dǎo)公式是實現(xiàn)正、余弦轉(zhuǎn)化的有力工具． 例2 已知，試比較和的大小． 分析 兩個式子分別含有與的三角函數(shù)，故可考慮都化為的三角函數(shù)，注意到兩式均為正，可考慮作商來比較． 解法一 =，∵，所以當(dāng)，即時，上式有最大值1，當(dāng)且時，上式總小于1．因此，當(dāng)時，=；當(dāng)且時，． 解法二 設(shè)，由得，故，則，，于是有 -= 因此，當(dāng)時，=；當(dāng)且時，． 鏈接 本題用到以下兩組三角公式

3、： （1）半角公式 （2）萬能公式： ；； 例3 已知，求證：cos(sinx)>sin(cosx) 分析一 從比較兩數(shù)大小的角度來看，可考慮找一個中間量，比cos(sinx)小，同時比sin(cosx)大，即可證明原不等式． 證法一 （1）當(dāng)時，顯然cos(sinx)>sin(cosx)成立． （2）當(dāng)時，，，則cos(sinx)>0>sin(cosx)． （3）當(dāng)時，有0cosx；而，則sin(cosx)cosx >sin(cosx)，從而

4、cos(sinx)>sin(cosx)． 分析二 cos(sinx)可看作一個角sinx的余弦，而sin(cosx)可看作一個角cosx的正弦，因此可考慮先用誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù)，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性來證明． 證法二 當(dāng)時，有0cos(-cosx)=sin(cosx)，即cos(sinx)>sin(cosx)．x在其他區(qū)域時，證明同證法1． 說明 （1）本題的證明運(yùn)用到結(jié)論：時，，這是實現(xiàn)角與三角函數(shù)值不等關(guān)系轉(zhuǎn)化的重要工具，該

5、結(jié)論可利用三角函數(shù)線知識來證明．（2）證法一通過中間量cosx來比較，證法二利用有界性得sinx+cosx，再利用單調(diào)性證明，這是比較大小常用的兩種方法；（3）本題結(jié)論可推廣至. 情景再現(xiàn) 1．在銳角△ABC中，求證： . 2．已知，，求證：. 3．當(dāng)時，求證：. B類例題 例4 在中，證明： 分析一 本題中有三個變量A、B、C，且滿足A+B+C=180°，先固定其中一個如角C，由于A+B =180°- C,故對不等式的左邊進(jìn)行和差化積，將其轉(zhuǎn)化為與A－B有關(guān)的三角函數(shù)進(jìn)行研究． 證法一　我們先假定C是常量，于是A+B=C也是常量. ， 顯然，對于同一個C值，

6、當(dāng)A=B時，上式達(dá)到最大值． 同樣，對同一個A或B，有類似結(jié)論；因此,只要A、B、C中任意兩個不等，表達(dá)式就沒有達(dá)到最大值，因而，當(dāng)A=B=C=時，有最大值，∴原不等式得證． 說明　不等式中含有多個變量時，我們往往固定其中部分變量，求其他變量變化時，相應(yīng)表達(dá)式的最值，這種方法稱為逐步調(diào)整法． 分析二　即證，觀察左邊的形式，從而考慮用琴生不等式進(jìn)行證明． 證法二 函數(shù)是區(qū)間（0，π）上的上凸函數(shù)，從而對任意的三個自變量，總有，等號當(dāng)時成立．因此有，從而有，因此原不等式成立． 說明　本方法是利用凸函數(shù)性質(zhì)解題，三角函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)均為凸函數(shù)，因此很多三角不等如均可利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明．

7、 鏈接 關(guān)于凸函數(shù)與琴生不等式的有關(guān)知識 凸函數(shù)定義：函數(shù)f(x)如果對其定義域中任意的x1、x2，都有如下不等式成立：f（）≤[f(x1)+f(x2)]，則稱f(x)是下凸函數(shù)，等號當(dāng)x1=x2時成立．如果總有f（）≥[f(x1)+f(x2)]，則稱f(x)是上凸函數(shù)，等號當(dāng)x1=x2時成立． x1 x2 M P Q x1 x2 M P Q 其幾何意義是，不等式①表示定義域中任意兩點x1、x2，中點M所對應(yīng)的曲線上點Q位于弦上對應(yīng)點P的下面，不等式②則有相反的意義． 定理：若f(x)是在區(qū)間I內(nèi)的下凸函數(shù)，則對區(qū)間I內(nèi)的任意n個點x1，x2，…,xn，恒有f（）≤

8、[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]，等號當(dāng)x1=x2=…=xn時成立．若f(x)為上凸函數(shù)，不等號反向． 上述不等式稱為琴生不等式，琴生不等式是丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)于1905～1906年建立的．三角函數(shù)如y=sinx，y=cosx在（0，）是上凸函數(shù)；y=tanx,y=cotx在（0，）是下凸函數(shù)． 例5 已知,． 求證：（90年國家集訓(xùn)隊測試題） 分析 將二倍角均化為單角的正余弦，聯(lián)想單位圓中的三角函數(shù)線，兩兩正余弦的乘積聯(lián)想到圖形的面積． 證明 即證 即證明 注意到上式右邊是如圖所示單位圓中三個陰影矩形的面積之和，而為此單位圓在第一象限的面積，所以上式

9、成立，綜上所述，原不等式成立． 例6 已知不等式 對于恒成立．求的取值范圍．（2020年首屆東南地區(qū)數(shù)學(xué)奧賽試題） 分析 所給不等式中有兩個變量，給出其中一個的范圍，求另一個的范圍，常采用分離變量的方法．注意到與角θ有關(guān)的幾個三角函數(shù)式，，，因此考慮令進(jìn)行變量代換，以化簡所給不等式，再尋求解題思路． 解 設(shè)，則，當(dāng)時，．從而原不等式可化為： ，即， ， ∴原不等式等價于不等式（1）， （1）不等式恒成立等價于恒成立． 從而只要．又在上遞減，，所以． 例7 三個數(shù)a,b,c，且滿足，，，按從小到大的順序排列這三個數(shù)．（第16屆全蘇競賽題） 分析 比較a,b

10、,c三數(shù)的大小，，，，等式的兩邊變量均不相同，直接比較不易進(jìn)行，故考慮分類討論，先比較a與b，由，對等號兩邊分別比較，即先假定一邊的不等號方向，再驗證另一側(cè)的不等號方向是否一致． 解 （1）若，則，但由，故有矛盾，即a≠b． （2）若，則由單調(diào)性可知，又由及題意可得，而，因此又可得，從而產(chǎn)生矛盾．綜上，． 類似地，若，則由題意可得，從而可得與矛盾；若，則，即，，即矛盾． 綜上可得：． 說明 本題的實質(zhì)是用排除法從兩個實數(shù)的三種可能的大小關(guān)系排除掉兩種，從而得第三種，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略． 情景再現(xiàn) 4．在三角形ABC中， 求證：（1）；（2）． 5．設(shè)，且，求乘積的最

11、值．（1997年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽） 6．求證：（2020年福建省數(shù)學(xué)競賽題） C類例題 例8 已知當(dāng)時，不等式恒成立，試求的取值范圍．（1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題） 分析一 不等式左邊按一、三兩項配方，求出左邊式子的最小值，根據(jù)最小值應(yīng)當(dāng)為正求出的取值范圍． 解法一 設(shè)， 則由時恒成立，有，，，當(dāng)時，，令，則，，故，即，且，所求范圍是：，反之，當(dāng)時，有，且，于是只要必有恒成立． 分析二 不等式左邊視為關(guān)于x的二次函數(shù)，求出此二次函數(shù)的最小值，令其大于0，從而求出的取值范圍． 解法二 由條件知，，若對一切時，恒有，即對時恒成立，則必有，另一方面對稱軸為，故必有，即，，又由

12、于故． 分析三 原不等式看作關(guān)于x與1-x的二次齊次式，兩邊同除x(1-x)． 解法三 原不等式化為：x2cos+(1-x)2sin>x(1-x)，①x=0得sin>0，x=1得cos>0；②當(dāng)x≠0且x≠1時，上式可化為：cos+sin>1對x∈(0,1)恒成立，由基本不等式得cos+sin≥，∴cos+sin的最小值為，等號當(dāng)cos=sin即時取到，因此>1．∴，又由于故． 例9已知都是實數(shù)，若對于一切實數(shù)，都有，求證：，．（1977第十九屆IMO） 分析 根據(jù)函數(shù)式的特征及所要證明的式子易知，應(yīng)首先將不等式化成，其中x為任意實數(shù)，注意到所要證的結(jié)論中不含未知數(shù)x，故考慮用特

13、殊值方法． 證明 若，，則結(jié)論顯然成立； 故下設(shè)，： 令得，，即對于一切實數(shù)，都有（1） （2） （1）+（2）得：，即對于一切實數(shù)恒成立，，因此． （3） （1）+（3）得：，即恒成立，，∴ ． 例10 設(shè)，求證：對任意滿足的實數(shù)有 分析 由消去一個未知數(shù)z，再整理成關(guān)于y的二次不等式，對x恒成立，即可得證． 證明 由題意，則將代入不等式左邊得， 不等式左邊= （1）當(dāng)，易證不等式左邊成立．； （2）當(dāng)，整理成y的二次方程，證△≤0． 左邊 ， 由 ， ∴，∴不等式左邊成立． 情景再現(xiàn) 7．證明：對于任意△ABC，不等式acosA

14、+bcosB+ccosC≤p成立，其中a、b、c為三角形的三邊，A、B、C分別為它們的對角，p為半周長．（第十六屆全俄數(shù)學(xué)競賽題） 8．設(shè)是一個銳角三角形的三個內(nèi)角，求證： 習(xí)題 1．求證：對所有實數(shù)，均有． 2．在銳角三角形ABC中，求證： 3．在銳角三角形ABC中．求證： 4．求證： 5．已知，能否以的值為邊長，構(gòu)成一個三角形？ 6．已知為銳角，求證： 7．已知A+B+C=，求證： 8．在三角形ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，求證：． 9．設(shè)A、B、C為銳角三角形之內(nèi)角，n為自然數(shù)，求證：．（93年第三屆澳門數(shù)學(xué)奧林匹克賽題） 10．已知，，求證：

15、11．設(shè)P是三角形ABC內(nèi)任一點，求證：∠PAB，∠PBC，∠PCA中至少有一個小于或等于30°． 12．解方程（1995年全俄競賽題） 本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答： 1．證明：銳角三角形可知A+B，從而A-B，從而，同理，三式相加得證． 2．證明：由已知得及知，，從而，要證，只須證明，由于，于是問題歸結(jié)為證，即，而上式顯然成立，因此原不等式成立． 3．證法一：當(dāng)x∈(0,)時，∵0

16、)< coscosx，即sinxcos(-sinx)=sin(sinx)． 4．證明：（1）由琴生不等式即得． （2），從而得證． 5．解：由條件知，，，，于是=，當(dāng)時取等號，故最小值為（y與z相等，且x達(dá)到最大時，乘積有最小值）． 又= ，且當(dāng)時等號成立，故的取大值為． 6．證明：設(shè)，，則有， 當(dāng)時，； 當(dāng)時， 因此． 7．證明：因為cosx（x∈（0，π））遞減，所以a-b與cosA-cosB異號，從而（a-b）（cosA-cosB）≤0．即acosA

17、+bcosB≤acosB+bcosA=C （l）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立． 同理acosA+ccosC≤b （2）　　　bcosB+ccosC≤a （3）， 即得所要證的不等式． 8．證明：， ，同理得另兩個，命題得證． “習(xí)題”解答： 1．證明：顯然成立，下面證明等號不能成立．用反證法．若等號成立，則，則，則，則，不可能為奇數(shù)，因此，因此等號不成立． 2．證明：銳角三角形可知A+B，從而A-B，從而，同理，三式相乘得．從而可得． 3．解：， ，三式相加得證． 4．證明： 又， ，又，，由正弦函數(shù)在上的單調(diào)性可知，原不等式成立． 5．證法一： ，因此可以構(gòu)成三

18、角形． 證法二：在直徑為1的圓內(nèi)作內(nèi)接三角形ABC，使，則，因此可構(gòu)成三角形． 6．解： 左． 7．證：左 8．分析：注意到可寫成A+B+C，故即證：3(aA+bB+cC)≥(a+b+c),即證3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)（A+B+C），即證(a-b)(A-B)+(b-c)(B-C)+(c-a)(C-A)≥0，由大邊對大角得上式成立． 9．證明：設(shè)，則，，而，代入得，故． 10．證明：要證原不等式，即證，即 上式中將看作變量，看作常數(shù)，考慮從左邊向右邊轉(zhuǎn)化 即證 即 因為，同理可得，從而原不等式成立． 11．證明：如圖，PAsin=PB sin5，

19、PBsin2=PC sin6，PCsin3=PA sin4， 三式相乘得sinsin2 sin3= sin4 sin5 sin6，因此有(sinsin2 sin3)2= sinsin2 sin3 sin4 sin5 sin6 ，從而sinsin2 sin3，因此sin、sin2 、sin3中至少有一個小于或等于，不妨設(shè)sin，則30°或150°，此時三個角中至少有一個角小于30°． 12．解：考慮周期性，只要先解決的解的情況，而當(dāng)時，左邊為正，右邊非正，因此方程無解． 由于時有，將換成得（換成sinsinx也可以）：，又由于在時為增函數(shù)，因此有，綜上可得：，因此原方程無解． 當(dāng)時，令，則， 在，中，將換成得，，將代入得，，原方程也無解． 綜上所述，對，恒有，原方程無解．