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1、備戰(zhàn)2020數學應考能力大提升
典型例題
例1 如圖是一個幾何體的正視圖和俯視圖．
(1)試判斷該幾何體是什么幾何體；
(2)畫出其側視圖，并求該平面圖形的面積；
(3)求出該幾何體的體積．
解：(1)正六棱錐
(2)其側視圖如圖：
其中AB＝AC，AD⊥BC，
且BC的長是俯視圖中正六邊形對邊的距離，即BC＝a，
AD的長是正六棱錐的高，即AD＝a，
∴該平面圖形的面積
S＝a·a＝a2.
(3)V＝·6·a2·a＝a3.
例2 有三個球，第一個球內切于正方體，第二個球與這個正方體的各條棱相切，第三個球過這個正方體的各個頂點．求這
2、三個球的半徑之比．
解：設正方體的棱長為a，球的半徑分別為R1，R2，R3.球內切于正方體時，球的直徑和正方體的棱長相等，如圖1所示，AB＝2R1＝a，所以R1＝；
球與這個正方體的各條棱相切時，球的直徑與正方體的面對角線長相等，如圖2所示，CD＝2R2＝a，所以R2＝；
當球過這個正方體的各個頂點時，也即正方體內接于球，此時正方體的八個頂點均在球面上，則正方體的體對角線長等于球的直徑，如圖3所示，EF＝2R3＝a，
所以R3＝.
故三個球的半徑之比為1::.
創(chuàng)新題型
1．一個正方體內接于高為40 cm，底面半徑為30 cm的圓錐中，求正方體的棱長
3、．
2．用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺上、下底面半徑的比是1∶4，截去的小圓錐的母線長是3 cm，求圓臺的母線長．
3.已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形， AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.
(1)根據已經給出的此四棱錐的正視圖，畫出其俯視圖和側視圖；
(2)證明：平面PAD⊥平面PCD.
參考答案
1.【解析】 如圖，過正方體的體對角線作圓錐的軸截面，設正方體的棱長為x，
則OC＝x，∴＝，
解得x＝120(3－2)，
∴正方體的棱長為120(3－2)cm.
所以圓臺的母線長為9 cm.
3.【解析】 (1)三視圖如圖所示
(2)證明：∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面ABCD.
又平面PAD∩平面ABCD＝AD，
CD?平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.
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