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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)y＝x5－x3＋3x2＋； (2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (3)y＝.
解：(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(3x2)′＋()′＝x4－4x2＋6x.
(2)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.
法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′
＝(9x2－4)(2x＋1)＋ (3x3－4x)·2 ＝24x3＋9x2－16x－4.
(3)y′＝
＝＝.
例2 設(shè)函數(shù)f(x)＝a
2、x－，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程為7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0和直線(xiàn)y＝x所圍成的三角形面
積為定值，并求此定值.
解：(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3.
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝.又f′(x)＝a＋，
于是 故f(x)＝x－.
(2)設(shè)P(x0，y0)為曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，由y′＝1＋，知曲線(xiàn)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)方程為y－y0＝(1＋)(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0).
令x＝0，得y＝－，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)；
令y
3、＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0).
所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6.
故曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，此
定值為6.
創(chuàng)新題型
1.設(shè)函數(shù)，
（1）證明：的導(dǎo)數(shù)；（2）若對(duì)所有x≥0都有，求a的取值范圍.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線(xiàn)方程為y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：函數(shù)y＝f (x)的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，并求其對(duì)稱(chēng)中心
4、；
(3)證明：曲線(xiàn)y＝f(x)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝1和直線(xiàn)y＝x所圍的三角形的面積為定值，并求出此定值．
參考答案
②
，故在該區(qū)間為減函數(shù)，
所以，則即與題意矛盾
2.【解析】(1)f′(x)＝a－.
于是解得或
∵a，b∈Z，∴f(x)＝x＋.
(2)證明：已知函數(shù)y1＝x，y2＝都是奇函數(shù)，
∴函數(shù)g(x)＝x＋也是奇函數(shù)，其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形．而f(x)＝x＋＝ (x－1)＋＋1，
可知f(x)的圖象是由g(x)的圖象沿x軸正方向向右平移1個(gè)單位，再沿y軸正方向向上平移1個(gè)單位得到的．故圖象是以點(diǎn)(1,1)為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形．
(3)證明：在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)，
由f′(x0)＝1－，知過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為
y－＝(x－x0)．
令x＝1，得y＝，
∴切線(xiàn)與直線(xiàn)x＝1交點(diǎn)為.
令y＝x，得x＝2x0－1，
∴切線(xiàn)與直線(xiàn)y＝x交點(diǎn)為(2x0－1,2x0－1)．
直線(xiàn)x＝1與y＝x交點(diǎn)為(1,1)．
從而所圍的三角形的面積為·|2x0－1－1|＝·|2x0－2|＝2.
∴所圍的三角形的面積為定值2.
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