3、號，且ab<1.
當a>0，b>0時，a<；當a<0，b<0時，b>.
∴“0”的充分條件．
而取a＝－1，b＝1，顯然有a<，但不能推出0”的充分而不必要條件．
5．函數(shù)f(x)＝ex－ex在[0,2]上的最大值為( )
A．0 B．1
C．e－2 D．e(e－2)
解析：選D.f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1，
比較f(0)、f(1)、f(2)知最大值為e(e－2)．
6．下列四個命題：
①“若x2＋y2＝0，則實數(shù)x，y均為0”的逆命題；
②“相似三角形的面積相等”的否命題
4、；
③“A∩B＝A，則A?B”的逆否命題；
④“末位數(shù)不是0的數(shù)可以被3整除”的逆否命題．
其中真命題為( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
解析：選C.①的逆命題為“若實數(shù)x、y均為0，則x2＋y2＝0”，是正確的；∵“A∩B＝A，則A?B”是正確的，∴它的逆否命題也正確．
7．以－＝－1的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：選A.將方程－＝－1化為－＝1.它表示焦點在y軸上的雙曲線，a2＝12，b2＝4，c2＝16，由題意知橢圓焦點在y軸上，a橢＝4，b橢＝2，c＝16－4＝12，
5、∴橢圓方程為＋＝1.
8．兩曲線y＝x2＋ax＋b與y＝x－2相切于點(1，－1)處，則a，b的值分別為( )
A．0,2 B．1，－3
C．－1,1 D．－1，－1
解析：選D.點(1，－1)在曲線y＝x2＋ax＋b上，
可得a＋b＋2＝0, ①
f′(x)＝y(tǒng)′＝2x＋a，f′(1)＝2＋a＝1，
∴a＝－1代入①可得b＝－1.
9．(2020年高考山東卷)設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞)
6、D．[2，＋∞)
解析：選C.∵x2＝8y，∴焦點F的坐標為(0,2)，準線方程y＝－2.由拋物線的定義知|MF|＝y(tǒng)0＋2.以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標準方程為x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.
由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準線相交，又圓心F到準線的距離為4，故42.
10．設F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－4y2＝4a(a>0)的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足：·＝0，||·||＝2，則a的值為( )
A．2 B.
C．1 D.
解析：選C.雙曲線方程化為－＝1(a>0)，
∵·＝0，∴PF1⊥PF2.
∴||2＋||2＝4c2＝20
7、a，①
由雙曲線定義||－||＝±4，②
又已知：||·||＝2，③
由①②③得：20a－2×2＝16a，∴a＝1.
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在題中橫線上)
11．(1)命題?x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．
(2)命題?x0∈R，x＋3x0－4≤0的否定是________．
答案：(1)?x0∈R，x－x0＋3≤0
(2)?x∈R，x2＋3x－4>0
12．(2020年高考四川卷)雙曲線－＝1上一點P到雙曲線右焦點的距離是4，那么點P到左準線的距離是__________．
解析：由－＝1可知a＝8，b＝6，則c＝10，設
8、雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，由|PF2|＝4及雙曲線的第一定義得|PF1|＝16＋4＝20.設點P到左準線的距離為d，由雙曲線的第二定義有＝，即d＝16.
答案：16
13．已知函數(shù)f(x)＝x3＋px2＋qx的圖象與x軸相切于點(a,0)(a>0)，且f(x)只有一個極大值為4，則p＋q的值為________．
解析：可設f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x，
所以f′(x)＝(3x－a)(x－a)．
所以當f′(x)＝0時，x＝或x＝a，
易得f()＝4，故a＝3.
所以－2a＝p＝－6，a2＝q＝9，所以p＋q＝3.
答案：3
14．命題“?x∈R,
9、2x2－3ax＋9<0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：∵?x∈R,2x2－3ax＋9<0為假命題，
∴?x∈R,2x2－3ax＋9≥0為真命題，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2 ]
15．(2020年高考北京卷)曲線C是平面內(nèi)與兩個定點F1(－1，0)和F2(1,0)的距離的積等于常數(shù)a2(a>1)的點的軌跡．給出下列三個結(jié)論：
①曲線C過坐標原點；②曲線C關(guān)于坐標原點對稱；③若點P在曲線C上，則△F1PF2的面積不大于a2.
其中，所有正確結(jié)論的序號是________．
解析：設曲線C上任一點P(x，
10、y)，由|PF1|·|PF2|＝a2，可得 ·＝a2(a>1)，將原點(0,0)代入等式不成立，故①不正確．
∵點P(x，y)在曲線C上，點P關(guān)于原點的對稱點P′(－x，－y)，將P′代入曲線C的方程等式成立，故②正確．
設∠F1PF2＝θ，則S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin θ
＝a2sin θ≤a2，故③正確．
答案：②③
三、解答題(本大題共6小題，共75分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
16．(本小題滿分13分)已知雙曲線的漸近線方程是2x±y＝0，并且過點M(，－4)．
(1)求該雙曲線的方程；
(2)求該雙曲線的頂點、焦點、離心率．
11、
解：(1)設雙曲線方程為4x2－y2＝m，
代入點M(，－4)得m＝－4，
∴－x2＝1.
(2)∵a2＝4，b2＝1，
∴c2＝5，
∴頂點A(0，－2)，B(0,2)，
焦點F1(0，－)，F(xiàn)2(0，)，離心率e＝.
17．(本小題滿分13分)已知函數(shù)f(x)＝sinx－x，x∈(0，π)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)求函數(shù)f(x)的圖象在點x＝處的切線方程．
解：(1)由x∈(0，π)及f′(x)＝cos x－>0，
解得x∈(0，)，
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)．
(2)f()＝sin －×＝－，
切線的斜率k＝f′()＝co
12、s －＝0，
∴所求切線方程為y＝－.
18．(本小題滿分13分)命題p：x2－4mx＋1＝0有實數(shù)解，命題q：?x0∈R，使得mx－2x0－1>0成立．
(1)若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)若命題q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；
(3)若命題綈p∨綈q為真命題，且命題p∨q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)∵x2－4mx＋1＝0有實根，
∴Δ＝16m2－4≥0，
∴m≤－或m≥.
∴m的取值范圍是
(－∞，－]∪[，＋∞)．
(2)設f(x)＝mx2－2x－1.
當m＝0時，f(x)＝－2x－1，q為真命題；
當m>0時，q為真命題；
當m
13、<0時，需有Δ＝4＋4m>0，∴m>－1，
綜上m>－1.
(3)∵綈p∨綈q為真，p∨q為真，
∴p、q為一真一假．
p、q范圍在數(shù)軸上表示為
∴滿足條件的m的取值范圍是(－∞，－1]∪.
19．(本小題滿分12分)(2020年煙臺高二檢測)已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋3x，a∈R.
(1)若x＝3是f(x)的極值點，求f(x)在x∈[1,5]上的最大值；
(2)若函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)f′(x)＝3x2－2ax＋3，
f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.
f(x)＝x3－5x2＋3x，
f′(x)＝3x
14、2－10x＋3＝0，
解得x＝3或x＝(舍去)．
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：
x
1
(1,3)
3
(3,5)
5
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－1
－9
15
因此，當x＝5時，f(x)在區(qū)間[1,5]上有最大值是f(5)＝15.
(2)f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0在R上恒成立．
從而有f′(x)＝3x2－2ax＋3，
由Δ＝(－2a)2－4·3·3≤0，
解得a∈[－3,3]．
20．(本小題滿分12分)(2020年高考陜西卷)設f(x)＝ln x，g(x)＝f(
15、x)＋f′(x)．
(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值；
(2)討論g(x)與g的大小關(guān)系；
(3)求a的取值范圍，使得g(a)－g(x)＜對任意x＞0成立．
解：(1)由題意知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋，
∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.
將x∈(0,1)時，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間．
當x∈(1，＋∞)時，g′(x)＞0，
故(1，＋∞)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間．
因此，x＝1是g(x)的唯一極值點，
且為極小值點，從而是最小值點．
所以最小值為g(1)＝1.
(2)g＝－ln x＋x.
設h(x)＝g(x)－g
16、
＝2ln x－x＋，
則h′(x)＝－.
當x＝1時，h(1)＝0，
即g(x)＝g，
當x∈(0,1)∪(1，＋∞)時，h′(x)＜0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減．
當0＜x＜1時，h(x)＞h(1)＝0，
即g(x)＞g.
當x＞1時，h(x)＜h(1)＝0，
即g(x)＜g.
(3)由(1)知g(x)的最小值為1，
所以g(a)－g(x)＜對任意x＞0成立?g(a)－1＜，
即ln a＜1，從而得0＜a＜e.
21．(本小題滿分12分)(2020年高考四川卷)過點C的橢圓＋＝1的離心率為.橢圓與x軸交于兩點A、B，過點C的直線l與
17、橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P.直線AC與直線BD交于點Q.
當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長；
當點P異于點B時，求證：·為定值．
解：由已知得b＝1，＝，解得a＝2，
所以橢圓方程為＋y2＝1.
橢圓的右焦點為，此時直線l的方程為y＝－x＋1，代入橢圓方程化簡得7x2－8x＝0.
解得x1＝0，x2＝，
代入直線l的方程得y1＝1，y2＝－，
所以D點坐標為.
故|CD|＝ ＝.
證明：當直線l與x軸垂直時與題意不符，所以直線l與x軸不垂直，即直線l的斜率存在．
設直線l的方程為y＝kx＋1.
代入橢圓方程化簡得x2＋8kx＝0.
解得x1＝0，x2＝，
代入直線l的方程得y1＝1，y2＝，
所以D點坐標為.
又直線AC的方程為＋y＝1，
直線BD的方程為y＝，
聯(lián)立解得
因此Q點的坐標為.
又P點坐標為，
所以·＝·＝4.
故·為定值．
【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學 模塊綜合檢測 湘教版選修1-1
