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1、2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)同步練習(xí)：專(zhuān)題4 數(shù)列
1．(2020·大綱全國(guó)卷文，17)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
[解析] 設(shè){an}的公比為q，由已知有：
.解得或
(1)當(dāng)a1＝3，q＝2時(shí)，an＝a1·qn－1＝3×2n－1
Sn＝＝＝3×(2n－1)
(2)當(dāng)a1＝2，q＝3時(shí)，an＝a1·qn－1＝2×3n－1
Sn＝＝＝3n－1.
綜上，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)或an＝2×3n－1，Sn＝3n－1.
2．(文)(2020·浙江文，19)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為a
2、(a∈R)，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)對(duì)n∈N＋，試比較＋＋＋…＋與的大小．
[解析] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意可知()2＝·，
即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，從而a1d＝d2
因?yàn)閐≠0，所以d＝a1＝a
故通項(xiàng)公式an＝na；
(2)記Tn＝＋＋…＋，因?yàn)閍2k＝2k·a，
所以Tn＝(＋＋…＋)
＝·＝[1－()n]
從而，當(dāng)a>0時(shí)，Tn<；當(dāng)a<0時(shí)，Tn>.
(理)(2020·浙江理，19)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1為a.(a∈R)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn且，，成等比數(shù)列．
(1)求
3、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn；
(2)記An＝＋＋＋…＋，Bn＝＋＋＋…＋，當(dāng)n≥2時(shí)，試比較An與Bn的大小．
[解析] 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由()2＝·，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．
因?yàn)閐≠0，所以d＝a1＝a.
所以an＝na，Sn＝.
(2)因?yàn)椋?－)，所以
An＝＋＋＋…＋＝(1－)．
因?yàn)閍2n－1＝2n－1a，所以Bn＝＋＋＋…＋
＝·＝(1－)，
由n≥2時(shí)，2n＝C＋C＋…＋C>n＋1，
即1－<1－，
所以，由a>0時(shí)，AnBn.
3．(2020·陜西理，19)如圖，從點(diǎn)P1(0,0)作x軸的垂線(xiàn)交曲
4、線(xiàn)y＝ex于點(diǎn)Q1(0,1)，曲線(xiàn)在Q1點(diǎn)處的切線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)P2.再?gòu)腜2作x軸的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)：P1，Q1；P2，Q2；…，Pn，Qn，記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k＝1,2，…，n)．
(1)試求xk與xk－1的關(guān)系(2≤k≤n)；
(2)求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.
[解析] (1)設(shè)Pk－1(xk－1,0)，由y′＝ex得Qk－1(xk－1，exk－1)點(diǎn)處切線(xiàn)方程為y－exk－1＝exk－1(x－xk－1)．
由y＝0得xk＝xk－1－1 (2≤k≤n)．
(2)由x1＝0，xk－xk－1＝－1，得xk
5、＝－(k－1)，
所以|PkQk|＝exk＝e－(k－1)，于是
Sn＝|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|
＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－(n－1)
＝＝.
4．(2020·山東青島)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝－2x＋7，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖像上．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及Sn的最大值；
(2)令bn＝，其中n∈N*，求{nbn}的前n項(xiàng)和．
[分析] (1)先求a，b，再根據(jù)Sn與n的關(guān)系求an及Sn的最大值．
(2)先確定bn，再根據(jù)nbn的結(jié)
6、構(gòu)特征求和．
[解析] (1)∵f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
∴f′(x)＝2ax＋b，
由f′(x)＝－2x＋7得：a＝－1，b＝7，
所以f(x)＝－x2＋7x，
又因?yàn)辄c(diǎn)Pn(n，Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y＝f(x)的圖像上，所以有Sn＝－n2＋7n.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝6；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－2n＋8，
∴an＝－2n＋8(n∈N*)．
令an＝－2n＋8≥0得n≤4，
∴當(dāng)n＝3或n＝4時(shí)，Sn取得最大值12.
綜上，an＝－2n＋8(n∈N*)，
當(dāng)n＝3或n＝4時(shí)，Sn取得最大值12.
(2)由題意得b1＝＝8，bn＝＝2
7、－n＋4，
所以＝，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為8，公比是的等比數(shù)列，
故{nbn}的前n項(xiàng)和Tn＝1×23＋2×22＋…＋n×2－n＋4，①
Tn＝1×22＋2×2＋…＋(n－1)×2－n＋4＋n×2－n＋3，②
所以①－②得：Tn＝23＋22＋…＋2－n＋4－n×2－n＋3
∴Tn＝－n·24－n＝32－(2＋n)24－n.
[評(píng)析] 本題也是數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，求解時(shí)，要應(yīng)用函數(shù)的思想，把數(shù)列中的關(guān)系表示出來(lái)，同時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性．
5．在直角坐標(biāo)系平面上，點(diǎn)列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)，…，對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，點(diǎn)Pn都在函數(shù)y＝3x＋的圖像上
8、，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以－為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列{xn}．
(1)求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；
(2)設(shè)拋物線(xiàn)列C1，C2，C3，…，Cn，…中的每一條的對(duì)稱(chēng)軸都垂直于x軸，第n條拋物線(xiàn)Cn的頂點(diǎn)為Pn且過(guò)點(diǎn)Dn(0，n2＋1)，記過(guò)點(diǎn)Dn且與拋物線(xiàn)Cn相切的直線(xiàn)的斜率為k，求證：＋＋…＋<.
[分析] (1)利用點(diǎn)(xn，yn)在直線(xiàn)上，代入方程求yn.
(2)依題設(shè)構(gòu)建第n條拋物線(xiàn)方程：
y＝a(x－xn)2＋yn，再用點(diǎn)Dn(0，n2＋1)在拋物線(xiàn)上求a.求kn時(shí)，借助導(dǎo)數(shù)kn＝y(tǒng)′|x＝0.
[解析] (1)∵Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以－為首項(xiàng)，－1為公差的等差數(shù)列{xn}，
∴xn＝x
9、1＋(n－1)d＝－－(n－1)＝－n－，
∵Pn(xn，yn)在函數(shù)y＝3x＋的圖像上，
∴yn＝3xn＋＝3(－n－)＋＝－3n－.
∴Pn的坐標(biāo)為(－n－，－3n－)．
(2)證明：據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)Cn的方程為：
y＝a(x－xn)2＋yn，由(1)得
y＝a(x＋n＋)2－3n－，
∵拋物線(xiàn)Cn過(guò)點(diǎn)Dn(0，n2＋1)，
∴n2＋1＝a(n＋)2－3n－
＝an2＋(3a－3)n＋－，
∴a＝1，∴y＝(x＋n＋)2－3n－，
∵過(guò)點(diǎn)Dn且與拋物線(xiàn)Cn相切的直線(xiàn)的斜率為kn，且y′＝2x＋2n＋3，
∴kn＝y(tǒng)′|x＝0＝2n＋3，
∴＝
＝(－)，
∴＋
10、＋…＋
＝(－＋－＋…＋－)
＝(－)<.
[評(píng)析] 1.本題體現(xiàn)了數(shù)列與解析幾何的完美結(jié)合，涉及的主要知識(shí)點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)法求和，拋物線(xiàn)的方程，用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)的斜率等，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
2．此類(lèi)題目中，解析幾何一般只作為載體出現(xiàn)，求解時(shí)，要正確解讀解析幾何語(yǔ)言，把它譯成數(shù)列的有關(guān)關(guān)系式，再借助數(shù)列知識(shí)求解或求證．
6．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝2an－1＋2n＋2(n≥2，a1＝2)．
(1)求a2，a3，a4；
(2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}成等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)(理)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和
11、Sn，并證明Sn≥n3＋n2.
[解析] (1)a2＝4＋4＋2＝10，a3＝20＋8＋2＝30，
a4＝60＋16＋2＝78.
(2)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{}成等差數(shù)列，則－
＝＝1＋恒為常數(shù)．
∴2－λ＝0，即λ＝2.此時(shí)＝2，－＝1，
∴當(dāng)λ＝2時(shí)，數(shù)列{}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．
(3)(理)由(2)得＝＋(n－1)＝n＋1，
∴an＝(n＋1)2n－2，
則Sn＝2·2＋3·22＋4·23＋…＋(n＋1)·2n－2n，
2Sn＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1－4n，
兩式相減得－Sn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·
12、2n＋1＋2n＝－n·2n＋1＋2n，
∴Sn＝n·2n＋1－2n，
不難驗(yàn)證，當(dāng)n＝1或2時(shí)，有Sn＝n3＋n2，
當(dāng)n≥3時(shí)，Sn＝n·2n＋1－2n＝2n[(1＋1)n－1]
＝2n[1＋n＋＋…]
≥2n[1＋n＋－1]＝n3＋n2，
綜上知Sn≥n3＋n2.
[評(píng)析] (1)求λ值時(shí)，應(yīng)用－＝常數(shù)求解，不需驗(yàn)證．而用－＝常數(shù)求解時(shí)，要驗(yàn)證－的值為同一個(gè)常數(shù)．
(2)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，因運(yùn)算過(guò)程較繁，容易造成運(yùn)算失誤，因此，不但要理解算理，而且應(yīng)加強(qiáng)練習(xí)，熟練運(yùn)算．
(3)(理)在證明有關(guān)指數(shù)式與多項(xiàng)式的關(guān)系時(shí)，常把指數(shù)式用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，然后用放縮法證明不等關(guān)系．
2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題4 數(shù)列同步練習(xí) 新人教A版
