2020年高考數學 考點24數列求和及綜合應用

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1、考點24 數列求和及綜合應用 一、選擇題 1.（2020·江西高考理科·Ｔ5） 已知數列?{}的前項和滿足：+=，且=1，那么=( ) A.1 B.9 C.10 D.55 【思路點撥】 【精講精析】選A. 2.（2020·安徽高考文科·Ｔ7）若數列的通項公式是n=(-1)n(3-2),則… （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15 【思路點撥】觀察數列的性質，得到 【精講精析】選A. 故 二、填空題 3.（2020·江蘇高考·Ｔ13）設，其中成

2、公比為q的等比數列，成公差為1的等差數列，則q的最小值是________ 【思路點撥】本題考查的是等差數列與等比數列的綜合問題，解題的關鍵是找出等差數列與等比數列的結合點，從而找到q滿足的關系式，求得其最小值。 【精講精析】答案： 由題意：，，而的最小值分別為1，2，3；。 4.（2020·浙江高考文科·Ｔ17）若數列中的最大項是第項，則=_______________. 【思路點撥】可由不等式組解得. 【精講精析】答案：4設最大項為第項，則由不等式組得,即,解得,故. 三、解答題 5.（2020·安徽高考理科·Ｔ18）在數1和100之間插入個實數，使得這+2個數構成遞增的等比數

3、列，將這+2個數的乘積記作，再令， （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）設求數列的前項和. 【思路點撥】本題將數列問題和三角問題結合在一起，解決此題需利用等比數列通項公式，等差數列前n項和公式，及兩角差的正切公式等基本知識. 【精講精析】（Ⅰ）設這+2個數構成的等比數列為，則，則 ，，又 所以 （Ⅱ）由題意和（Ⅰ）中計算結果，知 另一方面，利用 得 所以 6.（2020·江蘇高考·Ｔ20）設M為部分正整數組成的集合，數列的首項，前n項和為，已知對任意整數kM，當整數n>k時，都成立 （1）設M=｛1｝，，求的值； （2）設M=｛3，4｝，求數列的

4、通項公式。 【思路點撥】本題考查的是等差數列概念、和與通項關系，其中（1）問較為容易，（2）問解決的關鍵是抓住題目的的轉化從中找到解決問題的規(guī)律。 【精講精析】由題設知，當時， 即，從而，又， 故當時，，所以的值為8. (2) 由題設知, 當,且時， 且， 兩式相減得，即，所以當時，成等差數列，且也成等差數列， 從而當時， ， 且。 所以當時，，即，于是， 當時，成等差數列， 從而，故由式知，即，當時，設，當時，， 從而由式知，故， 從而，于是。 因此，對任意都成立。 又由（可知， 故且。解得，從而，。 因此，數列為等差數列，由知， 所以數列

5、的通項公式為。 7.（2020·新課標全國高考理科·Ｔ17）等比數列的各項均為正數，且 （Ⅰ)求數列的通項公式； （Ⅱ）設 求數列的前n項和. 【思路點撥】第（1）問可由，聯立方程組求得和公比，從而求得的通項公式.第（2）問中，需先利用對數的性質化簡，再用裂項相消的方法求數列的前項和. 【精講精析】（Ⅰ）設數列的公比為q，由得所以. 由條件可知,故.由得，所以. 故數列的通項式為=. （Ⅱ?） . 故, . 所以數列的前n項和為. 8.（2020·新課標全國高考文科·Ｔ17）已知等比數列中，，公比. （I）為的前項和，證明： （II）設，求數列{}的通項公式.

6、【思路點撥】第（1）問利用等比數列通項公式和求和公式求出然后證明等式成立； （2）利用對數的性質化簡，即得{}的通項公式. 【精講精析】（I）， （II） . 數列的通項公式為=. 9.（2020·廣東文科·T20）設b>0，數列}滿足a1=b,. (1)求數列的通項公式； (2)證明：對于一切正整數n， b+1 【思路點撥】（1）把題中條件變形為，構造成為，轉化為等比數列，求得的通項公式，進而求出的通項公式. （2）利用均值不等式證明. 【精講精析】（1）【解】由已知得，當時，上式變形為：， 即數列是以為首項，以為公比的等比數列，由等比數列的通項公式得：，解得；

7、 當時，有，即{}是首項公差均為1的等差數列，則. 綜上所述. （2）【證明】方法一：當 只需 綜上所述 方法二：由（1）及題設知: 當時，+1=2=2； 當時，，而，， 即2，又，. 綜上所述，對于一切正整數有. 10.（2020·廣東高考理科·Ｔ20）設數列滿足. 求數列的通項公式； 證明：對于一切正整數n, 【思路點撥】（1）把題中條件變形為，構造成為，轉化為等比數列，求得的通項公式，進而求出的通項公式.，或用猜想證明的方法解決. （2）利用均值不等式證明. 【精講精析】（1）方法一：由已知得，兩邊同除以，整理得， 當時有： （）

8、令，則是以為首項，為公比的等比數列.由等比數列通項公式得，即 從而. 當時，有，即是首項與公差均為的等差數列，從而有，得. 綜上所述 方法二：（?。┊敃r，是以為首項，為公差的等差數列， 即，∴ （ⅱ）當時，，，， 猜想，下面用數學歸納法證明： ①當時，猜想顯然成立； ②假設當時，，則 ， 所以當時，猜想成立， 由①②知，，． 綜上所述 （2）【證明】方法一：（?。┊敃r， ，故時，命題成立； （ⅱ）當時，， ， ，以上n個式子相加得 ， ．故當時，命題成立； 綜上（ⅰ）（ⅱ）知命題成立． 方法二：由（1）及題設知: 當時， 當時， 而

9、 ，即，又 綜上所述：對于一切正整數n,. 11.（2020·山東高考理科·Ｔ20）（本小題滿分12分） 等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列滿足：，求數列的前n項和Sn. 【思路點撥】（Ⅰ）由題意易知.由等比數列的通項公式寫出數列的通項公式.（Ⅱ）由題意易知數列為擺動數列，利用分組求和法，可以將奇數項和偶數項分開來求解數列的前n項和，但是要分奇數和偶數

10、兩種情況討論 【精講精析】（Ⅰ）由題意可知，公比， 通項公式為； （Ⅱ） 當時， 當時 故 另解：令，即 則 故 . 12.（2020·山東高考文科·Ｔ20）（本小題滿分12分） 等比數列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且中的任何兩個數不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）若數列滿足：=，求數列的前項和. 【思路點撥】（I）由題意易知.由等比數列的通項公式寫出數列.（II）由題意易知數列為擺

11、動數列，利用分組求和法，可以將奇數項和偶數項分開來求解數列的前2n項和. 【精講精析】（Ⅰ）由題意知,因為是等比數列,所以公比為3,所以數列的通項公式. （Ⅱ）== =, 所以 =+ 13.（2020·遼寧高考理科·Ｔ17）（本小題滿分12分）已知等差數列{an}滿足a2=0，a6+a8= -10 （I）求數列{an}的通項公式； （II）求數列的前n項和． 【思路點撥】(Ⅰ)先求首項和公差，再求通項公式；（Ⅱ）可利用錯位相減法求和． 【精講精析】(Ⅰ)設等差數列的公差為， 由已知條件可得故數列的通項公式為 ……5分

12、 （Ⅱ）設數列的前項和為，即=故=1， .所以，當＞1時，=- ===，所以= 綜上，數列的前項和=. ……12分 14.（2020·北京高考理科·T20）(13分)若數列滿足，則稱數列為數列，記=. （Ⅰ）寫出一個滿足，且的數列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2020； （Ⅲ）對任意給定的整數n（n≥2），是否存在首項為0的E數列，使得=0？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由. 【思路點撥】（Ⅰ）寫出滿足條件的一個數列即可；（Ⅱ）分別證明必要性與充分性；（Ⅲ）先假設存在，看能否求出，

13、求出即存在，求不出則不存在. 【精講精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一個滿足條件的E數列. （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E數列） （Ⅱ）必要性：因為E數列是遞增數列，所以. 所以是首項為12，公差為1的等差數列.所以. 充分性：由于，，……，， 所以，即. 又因為，所以. 故，即是遞增數列. 綜上，結論得證. （Ⅲ）令，則. 因為 ，……，， 所以 因為 ，所以為偶數. 所以為偶數. 所以要使，必須使為偶數， 即4整除，亦即或 當時，E數列的項滿足 時，有； 當n=4m+1時，E數列的項滿足 時，有； 當n=4m+2或n=4m

14、+3時，n(n-1)不能被4整除，此時不存在E數列，使得. 15.（2020·北京高考文科·T20）(13分)若數列滿足，則稱為數列.記=. （Ⅰ）寫出一個E數列滿足 （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數列是遞增數列的充要條件是=2020； （III）在的E數列中，求使得成立的n的最小值. 【思路點撥】（Ⅰ）寫出滿足條件的一個數列即可；（Ⅱ）分別證明必要性與充分性；（Ⅲ）利用E數列的定義找出前面幾項的和與0的關系，再求n的最小值. 【精講精析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一個滿足條件的E數列. （答案不惟一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E數列） （Ⅱ）必要性：因為E數列是遞

15、增數列，所以. 所以是首項為12，公差為1的等差數列.所以. 充分性：由于，，……，， 所以，即. 又因為，所以. 故，即是遞增數列. 綜上，結論得證. （Ⅲ）對首項為4的E數列由于，… 所以. 所以對任意的首項為4的E數列，若，則必有. 又的E數列：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4滿足， 所以n的最小值是9. 16.（2020·湖南高考文科T20）（本小題滿分13分）某企業(yè)在第1年初購買一臺價值為120萬元的設備M，M的價值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年，每年初M的價值比上年初減少10萬元；從第7年開始，每年初M的價值為上年初的75%. （Ⅰ）求第

16、n年初M的價值的表達式； （2）設大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對M更新.證明：須在第9年初對M更新. 【思路點撥】本題考查學生運用知識的能力，重點考查學生的以下能力：一是閱讀能力.二是轉化能力.三是表達能力.能否把文字語言轉化為符號語言的理解能力.四是解題能力.本題主要考查學生的閱讀能力和建模能力和運算能力，閱讀后建立數列模型是關鍵. 【精講精析】 （I）當時，數列是首項為120，公差為的等差數列． 當時，數列是以為首項，公比為為等比數列，又，所以 因此，第年初，M的價值的表達式為 (II)設表示數列的前項和，由

17、等差及等比數列的求和公式得 當時， 當時， 因為是遞減數列，所以是遞減數列，又 所以須在第9年初對M更新． 17.（2020·江西高考文科·Ｔ21）（1）已知兩個等比數列，，滿足，若數列唯一，求的值； （2）是否存在兩個等比數列，，使得成公差不為的等差數列？若存在，求 ， 的通項公式；若不存在，說明理由． 【思路點撥】（1）先將再根據，可得和的關系式，再根據數列的唯一性，知q必有一個值為0，代入可得a的值。(2)將 再根據它們四個成等差數列，結合等差數列的性質可得之間的關系，通過消參可得，即或，經討論可得兩者都不符合題意。 【精講精析】解：（1）要唯一，當公比時，由且，

18、，最少有一個根（有兩個根時，保證僅有一個正根） ，此時滿足條件的a有無數多個，不符合。 當公比時，等比數列首項為a，其余各項均為常數0，則唯一，此時由，可推得符合 綜上：。 （2）假設存在這樣的等比數列，則由等差數列的性質可得：，整理得： 要使該式成立，則=或此時數列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數列。 18.（2020天津高考文科T20）已知數列滿足 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設，證明是等比數列； （Ⅲ）設為的前項和，證明 【思路點撥】（1）的通項公式是常數，對n取值代入求值； （2）由的關系式，構造是常數； 由（2）求出的通項，得到的通項公

19、式，再求和、放縮證明. 【精講精析】 （Ⅰ）【解析】由可得 又， 當 當 （Ⅱ）證明：對任意 ① ② ②-①，得.所以是等比數列. （Ⅲ）證明：，由（Ⅱ）知，當時， 故對任意 由①得 因此， 于是， 故 19.（2020·浙江高考理科·Ｔ19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數列的首項為（∈R），設數列的前ｎ項和為，且成等比數列。 （Ⅰ）求數列的通項公式及； （Ⅱ）記＝+++…+，?＝+ + ，當≥2時，試比較與的大小． 【思路點撥】本題主要考查等差數列、等比數列、求和公式、不等式等基礎知識，

20、要注意待定系數法與分類討論思想的應用。 【精講精析】（Ⅰ）解：設等差數列{an}的公差為d,由 得。因為,所以 所以， （Ⅱ）解：因為 所以 因為所以 當n≥2時，，即 所以，當＞0時，；當＜0時，。 20.（2020·浙江高考文科·Ｔ19）（本題滿分14分） 已知公差不為0的等差數列的首項且成等比數列。 （Ⅰ）求數列的通項公式； （Ⅱ）對，試比較與的大?。? 【思路點撥】本題主要考查等差數列、等比數列、求和公式、不等式等基礎知識，代入公式即可求解，要注意待定系數法與分類討論思想的應用。 【精講精析】（Ⅰ）解：設等差數列{}的公差為d,

21、由 得。從而 因為,所以 故通項公式 （Ⅱ）解：記因為， 所以，當＞0時，；當＜0時，． 21.（2020.天津高考理科.T20）已知數列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設，證明：是等比數列； （III）設，證明： 【思路點撥】 （1）的通項公式是常數，對n取值代入求值； （2） 由的關系式，構造是常數； （3） 由（2）求出的通項，得到的通項公式，再求和、放縮證明。 【精講精析】 （I）【解析】由 ，可得，又 （II）證明：對任意 ① ② ③ ②—③，得 ④ 將④代入①，可得 即 又 因此是等比數列. （III）證明：由（II）可得. 于是，對任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當k=1時也成立.由④式得 從而 所以，對任意， 對于n=1，不等式顯然成立. 所以，對任意