《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破14 用空間向量法解決立體幾何問題 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破14 用空間向量法解決立體幾何問題 理（20頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、考問題14用空間向量法解決立體幾何問題(2020山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，F(xiàn)C平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：BD平面AED；(2)求二面角F BD C的余弦值(1)證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED.(2)解連接AC，由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，
2、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB1，則C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(xiàn)(0,0,1)，因此，(0，1,1)設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為m(x，y，z)，則m0，m0，所以xyz，取z1，則m(，1,1)由于(0,0,1)是平面BDC的一個(gè)法向量，則cosm，所以二面角FBDC的余弦值為.對立體幾何中的向量方法部分，主要以解答題的方式進(jìn)行考查，而且偏重在第二問或者第三問中使用這個(gè)方法，考查的重點(diǎn)是使用空間向量的方法進(jìn)行空間角和距離等問題的計(jì)算，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算問題空間向量的引入為空間立體幾何問題的解決提供了新的思路，作為解決空間幾何問題的重要工具，首先要從
3、定義入手，抓住實(shí)質(zhì)，準(zhǔn)確記憶向量的計(jì)算公式，注意向量與線面關(guān)系、線面角、面面角的準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化；其次要從向量的基本運(yùn)算入手，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，確保運(yùn)算的準(zhǔn)確性.必備知識直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面、的法向量分別為(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)(1)線面平行l(wèi)aa0a1a3b1b3c1c30.(2)線面垂直laaka1ka3，b1kb3，c1kc3.(3)面面平行vva3a4，b3b4，c3c4.(4)面面垂直v0a3a4b3b4c3c40.空間角的計(jì)算(1)兩條異面直線所成角的求
4、法設(shè)直線a，b的方向向量為a，b，其夾角為，則cos |cos |(其中為異面直線a，b所成的角)(2)直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.(3)二面角的求法利用向量求二面角的大小，可以不作出平面角，如圖所示，m，n即為所求二面角的平面角對于易于建立空間直角坐標(biāo)系的幾何體，求二面角的大小時(shí)，可以利用這兩個(gè)平面的法向量的夾角來求如圖所示，二面角l，平面的法向量為n1，平面的法向量為n2，n1，n2，則二面有l(wèi)的大小為或.空間距離的計(jì)算直線到平面的距離，兩平行平面的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的
5、距離點(diǎn)P到平面的距離，d(其中n為的法向量，M為內(nèi)任一點(diǎn))必備方法1空間角的范圍(1)異面直線所成的角()：0；(2)直線與平面所成的角()：0；(3)二面角()：0.2用向量法證明平行、垂直問題的步驟：(1)建立空間圖形與空間向量的關(guān)系(可以建立空間直角坐標(biāo)系，也可以不建系)，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面；(2)通過向量運(yùn)算研究平行、垂直問題；(3)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題3空間向量求角時(shí)考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系：(1)求線面角時(shí)，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，而不是線面角的余弦；(2)求二面角時(shí)，兩法向量的夾角有可能是二面角的補(bǔ)角，要注意從圖中分析
6、.多以多面體(特別是棱柱、棱錐)為載體，求證線線、線面、面面的平行或垂直，其中邏輯推理和向量計(jì)算各有千秋，邏輯推理要書寫清晰，“充分”地推出所求證(解)的結(jié)論；向量計(jì)算要步驟完整，“準(zhǔn)確”地算出所要求的結(jié)果【例1】 如圖所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分別為B1A、C1C、BC的中點(diǎn)求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 建系后，(1)在平面ABC內(nèi)尋找一向量與共線；(2)在平面AEF內(nèi)尋找兩個(gè)不共線的向量與垂直證明如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(
7、0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中點(diǎn)為N，連接CN，則N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFFEF，B1F平面AEF. (1)要證明線面平行，只需證明與平面ABC的法向量垂直；另一個(gè)思路則是根據(jù)共面向量定理證明向量與相等(2)要證明線面垂直，只要證明與平面AEF的法向量平行即可；也可根據(jù)線面垂直的判
8、定定理證明，.【突破訓(xùn)練1】 在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中點(diǎn)(1)求證：D1F平面ADE；(2)設(shè)正方形ADD1A1的中心為M，B1C1的中點(diǎn)為N，求證：MN平面ADE.證明(1)如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F(xiàn)0，0，E1,1，(1,0,0)，0，1，(1,0,0)0，10.ADD1F.又0,1，0，1，0,1，0，10.AED1F.又AEADA，D1F平面ADE，D1F平面ADE.(2)M，0，N，1,1，0,1，.由(1)知，0，1是平面ADE的法向量又
9、00，MND1F.MN平面ADE，MN平面ADE.多以空間幾何體、平面圖形折疊成的空間幾何體為載體，考查線線角、線面角的求法，正確科學(xué)地建立空間直角坐標(biāo)系是解此類題的關(guān)鍵【例2】 (2020全國理)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC2，PA2，E是PC上的一點(diǎn)，PE2EC.(1)證明：PC平面BED；(2)設(shè)二面角APBC為90，求PD與平面PBC所成角的大小審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) (1)由可得FCEPCA，則FEC90，易得PCEF、PCBD. (2)作AGPB于G，由二面角APBC為90，易得底面ABCD為正方形，可得AD面PBC，則點(diǎn)D到平面PCB的
10、距離dAG，找出線面角求解即可也可利用法向量求解，思路更簡單，但計(jì)算量比較大法一(1)證明因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC，又PA底面ABCD，所以PCBD.設(shè)ACBDF，連接EF.因?yàn)锳C2，PA2，PE2EC，故PC2，EC，F(xiàn)C，從而，.因?yàn)?，F(xiàn)CEPCA，所以FCEPCA，F(xiàn)ECPAC90，由此知PCEF.PC與平面BED內(nèi)兩條相交直線BD，EF都垂直，所以PC平面BED.(2)解在平面PAB內(nèi)過點(diǎn)A作AGPB，G為垂足因?yàn)槎娼茿PBC為90，所以平面PAB平面PBC.又平面PAB平面PBCPB，故AG平面PBC，AGBC.BC與平面PAB內(nèi)兩條相交直線PA，AG都垂直，故BC平
11、面PAB，于是BCAB，所以底面ABCD為正方形，AD2，PD2.設(shè)D到平面PBC的距離為d.因?yàn)锳DBC，且AD平面PBC，BC平面PBC，故AD平面PBC，A、D兩點(diǎn)到平面PBC的距離相等，即dAG.設(shè)PD與平面PBC所成的角為，則sin .所以PD與平面PBC所成的角為30.法二(1)證明以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.C(2，0,0)，設(shè)D(，b,0)，其中b0，則P(0,0,2)，E，0，B(，b,0)于是(2，0，2)，b，b，從而0，0，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.(2)解(0,0,2)，(，b,0)設(shè)m(
12、x，y，z)為平面PAB的法向量，則m0，m0，即2z0且xby0，令xb，則m(b，0)設(shè)n(p，q，r)為平面PBC的法向量，則n0，n0，即2p2r0且bqr0，令p1，則r，q，n1，.因?yàn)槊鍼AB面PBC，故mn0，即b0，故b，于是n(1，1，)，(，2)cosn，n，60.因?yàn)镻D與平面PBC所成角和n，互余，故PD與平面PBC所成的角為30. (1)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；寫出向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論(2)求直線與平面所成的角，主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin |cos
13、 |.【突破訓(xùn)練2】 (2020陜西)如圖，在ABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)證明：平面ADB平面BDC；(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求A與D夾角的余弦值(1)證明折起前AD是BC邊上的高，當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.AD平面ABD，平面ADB平面BDC.(2)解由BDC90及(1)知DA，DB，DC兩兩垂直，不妨設(shè)|DB|1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D，D，D所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0，)，E，A，D(1,0
14、,0)，A與D夾角的余弦值為cosA，D.用空間向量法求二面角的大小是高考的熱點(diǎn)考查空間向量的應(yīng)用以及運(yùn)算能力，題目難度為中等【例3】 (2020天津改編)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)證明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 建立空間坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求解解如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，0，P(0,0,2)(1)證明：易得(0,1，2)，(2,0,0)于是0，所以PCAD.(2)(0,1，2)，(2，1,0)設(shè)平面
15、PCD的法向量n(x，y，z)，則即不妨令z1，可得n(1,2,1)可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cosm，n.從而sinm，n.所以二面角APCD的正弦值為. 借助向量求二面角是解決空間角問題的常用方法求解過程中應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：(1)兩平面的法向量的夾角不一定就是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補(bǔ)角為所求；(2)求平面的法向量的方法：待定系數(shù)法：設(shè)出法向量坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)的方程解之；先確定平面的垂線，然后取相關(guān)線段對應(yīng)的向量，即確定了平面的法向量當(dāng)平面的垂線較易確定時(shí)，?？紤]此方法【突破訓(xùn)練3】 (2020唐山一模)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面A
16、BC，底面是邊長為2的正三角形，M，N分別是棱CC1、AB的中點(diǎn)(1)求證：CN平面AMB1；(2)若二面角AMB1C為45，求CC1的長(1)證明設(shè)AB1的中點(diǎn)為P，連接NP、MP.CM綉AA1，NP綉AA1，CM綉NP，CNPM是平行四邊形，CNMP.CN平面AMB1，MP平面AMB1，CN平面AMB1.(2)解如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，使x軸、y軸、z軸分別與、同向則C(0,0,0)，A(1，0)，B(1，0)，設(shè)M(0,0，a)(a0)，則B1(1，2a)，(1，a)，(1，a)，(0,0，a)，設(shè)平面AMB1的法向量n(x，y，z)，則n0，n0，即則y0，令xa
17、，則z1，即n(a,0,1)設(shè)平面MB1C的一個(gè)法向量是m(u，v，w)，則m0，m0，即則w0，令v1，則u，即m(，1,0)所以cosm，n，依題意，m，n45，則，解得a，所以CC1的長為2. 探索性問題此類問題命題背景寬，涉及到的知識點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，通常是尋找使結(jié)論成立的條件或探索使結(jié)論成立的點(diǎn)是否存在等問題，全面考查考生對立體幾何基礎(chǔ)知識的掌握程度，考生的空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力【例4】 如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E為BC的中點(diǎn)(1)求異面直線NE與AM所成角的余弦值；(2)在線段AN上是否存在點(diǎn)S
18、，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由審題視點(diǎn) 聽課記錄審題視點(diǎn) 建立以D為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，第(2)問中設(shè)，由ES平面AMN可得值解(1)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.依題意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E，1,0.，0，1，(1,0,1)cos，異面直線NE與AM所成角的余弦值為.(2)假設(shè)在線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN.(0,1,1)，可設(shè)(0，)，又，1,0，1，.由ES平面AMN，得即故，此時(shí)0，|.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)AS時(shí)，ES平
19、面AMN.故線段AN上存在點(diǎn)S，使得ES平面AMN，此時(shí)AS. 空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，因此使用問題的解決更簡單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題【突破訓(xùn)練4】 如圖1，ACB45，BC3，過動(dòng)點(diǎn)A作ADBC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將ABD折起，使BDC90(如圖2所示) (1)當(dāng)BD的長為多少時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大；(2)當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為
20、棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得ENBM，并求EN與平面BMN所成角的大小解(1)法一在如題圖1所示的ABC中，設(shè)BDx(0x3)，則CD3x.由ADBC，ACB45知，ADC為等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后(如題圖2)，ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD.又BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)，于是VABCDADSBCD(3x)x(3x)2x(3x)(3x)3，當(dāng)且僅當(dāng)2x3x，即x1時(shí)，等號成立，故當(dāng)x1，即BD1時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大法二同法一，得VABCDADSBCD(3x)x(3x)(x36x29x)令f(x
21、)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x3，解得x1.當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1,3)時(shí)，f(x)0.所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最大值故當(dāng)BD1時(shí)，三棱錐ABCD的體積最大(2)以D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由(1)知，當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí)，BD1，ADCD2.于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E，1,0，且(1,1,1)設(shè)N(0，0)，則，1,0.因?yàn)镋NBM等價(jià)于0，即，1,0(1,1,1)10，故，N0，0.所以當(dāng)DN(即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí)，ENBM
22、.設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由及1，0，得可取n(1,2，1)設(shè)EN與平面BMN所成角的大小為，則由，0，n(1,2，1)，可得sin cos (90)，即60.故EN與平面BMN所成角的大小為60.利用向量法求空間角要破“四關(guān)”利用向量法求解空間角，可以避免利用定義法作角、證角、求角中的“一作、二證、三計(jì)算”的繁瑣過程，利用法向量求解空間角的關(guān)鍵在于“四破”第一破“建系關(guān)”，第二破“求坐標(biāo)關(guān)”；第三破“求法向量關(guān)”；第四破“應(yīng)用公式關(guān)”，熟記線面成的角與二面角的公式，即可求出空間角【示例】 (2020佛山調(diào)研)如圖所示，在三棱錐PABC中，已知PC平面ABC，點(diǎn)C在平面PB
23、A內(nèi)的射影D在直線PB上(1)求證：AB平面PBC；(2)設(shè)ABBC，直線PA與平面ABC所成的角為45，求異面直線AP與BC所成的角；(3)在(2)的條件下，求二面角CPAB的余弦值滿分解答(1)PC平面ABC，AB平面ABC，ABPC.點(diǎn)C在平面PBA內(nèi)的射影D在直線PB上，CD平面PAB.又AB平面PBA，ABCD.又CDPCC，AB平面PBC.(4分)(2)PC平面ABC，PAC為直線PA與平面ABC所成的角于是PAC45，設(shè)ABBC1，則PCAC，以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0，0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，)，(1，1，)，(1,0,0
24、)，cos，異面直線AP與BC所成的角為60.(8分)(3)取AC的中點(diǎn)E，連接BE，則，0，ABBC，BEAC.又平面PCA平面ABC，BE平面PAC.是平面PAC的法向量設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則由得取z1，得n(，0,1)于是cosn，.又二面角CPAB為銳角，所求二面角的余弦值為.(12分)老師叮嚀：(1)解決此類問題，一定要先分析已知條件中，是否直接說出此三條直線是兩兩垂直，否則，要先證明以后才能建立坐標(biāo)系，另外，要在作圖時(shí)畫出每條坐標(biāo)軸的方向.(2)有的考生易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求解二面角時(shí)，不能根據(jù)幾何體判斷二面角的范圍，忽視法向量的方向，誤以為兩
25、個(gè)法向量的夾角就是所求的二面角，導(dǎo)致出錯(cuò).如本例中求得cos ，不少考生回答為：二面角的余弦值為，這是錯(cuò)誤的，原因是忽視了對二面角CPAB的大小的判斷.【試一試】 (2020東北三校模擬)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，ABBCCAAA1，D為AB的中點(diǎn)(1)求證：BC1平面DCA1；(2)求二面角DCA1C1的平面角的余弦值(1)證明如圖所示，以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)ABBCCAAA12.設(shè)n(x，y，z)是平面DCA1的一個(gè)法向量，則又，0，(1,2，)，所以令x1，z，y1，所以n(1,1，)因?yàn)?2,2,0)，所以n2200.又BC1平面DCA1，所以BC1平面DCA1.(2)解設(shè)m(x1，y1，z1)是平面CA1C1的一個(gè)法向量，則又(0,2,0)，(1,2，)，所以令z11，x1，所以m(，0,1)所以cosm，n.所以所求二面角的余弦值為.必考問題
2020屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破14 用空間向量法解決立體幾何問題 理
