2020屆高三數(shù)學二輪復(fù)習 必考問題專項突破4 導數(shù)的簡單應(yīng)用及定積分 理

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1、考必考問題4導數(shù)的簡單應(yīng)用及定積分1(2020全國)曲線ye2x1在點(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A. B. C. D1答案： Ay2e2x，曲線在點(0,2)處的切線斜率k2，切線方程為y2x2，該直線與直線y0和yx圍成的三角形如圖所示，其中直線y2x2與yx的交點A，所以三角形面積S1，故選A.2(2020廣東)曲線yx3x3在點(1,3)處的切線方程為_解析曲線方程為yx3x3，則y3x21，又易知點(1,3)在曲線上，有y|x12，即在點(1,3)處的切線方程的斜率為2，所以切線方程為y32(x1)，即2xy10.答案2xy103(2020陜西)設(shè)函數(shù)f

2、(x)D是由x軸和曲線yf(x)及該曲線在點(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則zx2y在D上的最大值為_解析當x0時，求導得f(x)，所以曲線在點(1,0)處的切線的斜率k1，切線方程為yx1，畫圖可知區(qū)域D為三角形，三個頂點的坐標分別為，(0，1)，(1,0)，平移直線x2y0，可知在點(0，1)處z取得最大值2.答案24(2020江西)計算定積分1(x2sin x)dx_.解析1(x2sin x)dx.答案1利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程；考查定積分的性質(zhì)及幾何意義2考查利用導數(shù)的有關(guān)知識研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，進而解(證)不等式3用導數(shù)解決日常生活中的一些實際問題，以及與其

3、他知識相結(jié)合，考查常見的數(shù)學思想方法首先要理解導數(shù)的工具性作用；其次要弄清函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)符號之間的關(guān)系，掌握求函數(shù)極值、最值的方法步驟，對于已知函數(shù)單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍問題，一般先利用導數(shù)將其轉(zhuǎn)化為不等式在某個區(qū)間上的恒成立問題，再利用分離參數(shù)法求解.必備知識導數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)(3)導數(shù)的物理意義：s(t)v(t)，v(t)a(t)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則(1)基本初等函數(shù)

4、的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)cf(x)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導數(shù)的四則運算法則u(x)v(x)u(x)v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)(3)復(fù)合函數(shù)求導復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的導數(shù)和yf(u)，ug(x)的導數(shù)之間的關(guān)系為yxf(u)g(x)利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)f(x)；(3)若

5、求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只需在函數(shù)yf(x)的定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)0；若已知yf(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解求可導函數(shù)極值的步驟(1)求f(x)；(2)求f(x)0的根；(3)判定根兩側(cè)導數(shù)的符號；(4)下結(jié)論求函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值與最小值的步驟(1)求f(x)；(2)求f(x)0的根(注意取舍)；(3)求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值；(4)比較其大小，得結(jié)論(最大的就是最大值，最小的就是最小值)必備方法1利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的步驟(1)審題設(shè)未知數(shù)；(2)結(jié)合題意列出函數(shù)關(guān)系式；(3)確定函數(shù)的定義

6、域；(4)在定義域內(nèi)求極值、最值；(5)下結(jié)論2定積分在幾何中的應(yīng)用被積函數(shù)為yf(x)，由曲線yf(x)與直線xa，xb(ab)和y0所圍成的曲邊梯形的面積為S.(1)當f(x)0時，S f(x)dx；(2)當f(x)0時，S f(x)dx；(3)當xa，c時，f(x)0；當xc，b時，f(x)0，則S f(x)dx f(x)dx.?？疾椋焊鶕?jù)曲線方程，求其在某點處的切線方程；根據(jù)曲線的切線方程求曲線方程中的某一參數(shù)可能出現(xiàn)在導數(shù)解答題的第一問，較基礎(chǔ)【例1】 (2020新課標全國)已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為x2y30，求a、b的值審題視點 聽課記錄審題

7、視點 求f(x)，由可求解f(x)，由于直線x2y30的斜率為，且過點(1,1)，故即解得a1，b1. 函數(shù)切線的相關(guān)問題的解決，抓住兩個關(guān)鍵點：其一，切點是交點；其二，在切點處的導數(shù)是切線的斜率因此，解決此類問題，一般要設(shè)出切點，建立關(guān)系方程(組)其三，求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上；在點P處的切線，點P是切點【突破訓練1】 直線y2xb是曲線yln x(x0)的一條切線，則實數(shù)b_.解析切線的斜率是2，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可以求出切點的橫坐標，進而求出切點的坐標，切點在切線上，代入即可求出b的值y，令2得

8、，x，故切點為，代入直線方程，得ln 2b，所以bln 21.答案ln 21常考查：利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性問題；由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍尤其是含參函數(shù)單調(diào)性的研究成為高考命題的熱點，主要考查學生的分類討論思想，試題有一定難度【例2】 (2020合肥一模)已知函數(shù)f(x)x(aR)，g(x)ln x求函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間審題視點 聽課記錄審題視點 確定定義域求導對a進行分類討論確定f(x)的單調(diào)性下結(jié)論解函數(shù)F(x)f(x)g(x)xln x的定義域為(0，)所以f(x)1.當14a0，即a時，得x2xa0，則f(x)0.所以函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)遞增當14a0，

9、即a時，令f(x)0，得x2xa0，解得x10，x2.(1)若a0，則x20.因為x(0，)，所以f(x)0，所以函數(shù)F(x)在(0，)上單調(diào)遞增(2)若a0，則x時，f(x)0；x，時，f(x)0.所以函數(shù)F(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增綜上所述，當a0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)；當a0時，函數(shù)F(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為. 討論函數(shù)的單調(diào)性其實就是討論不等式的解集的情況大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結(jié)為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應(yīng)方程的根時依據(jù)根的大小進行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時根據(jù)不等式對應(yīng)

10、方程的判別式進行分類討論討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進行的，千萬不要忽視了定義域的限制【突破訓練2】 (2020安徽)設(shè)函數(shù)f(x)aexb(a0)(1)求f(x)在0，)內(nèi)的最小值；(2)設(shè)曲線yf(x)在點(2，f(2)處的切線方程為yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，當f(x)0，即xln a時，f(x)在(ln a，)上遞增；當f(x)0，即xln a時，f(x)在(，ln a)上遞減當0a1時，ln a0，f(x)在(0，ln a)上遞減，在(ln a，)上遞增，從而f(x)在0，)內(nèi)的最小值為f(ln a)2b；當a1時，ln a0，f(x)在0，)上遞增，從而f(x)

11、在0，)內(nèi)的最小值為f(0)ab.(2)依題意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)所以a，代入原函數(shù)可得2b3，即b.故a，b.此類問題的命題背景很寬泛，涉及到的知識點多，綜合性強，常考查：直接求極值或最值；利用極(最)值求參數(shù)的值或范圍常與函數(shù)的單調(diào)性、方程、不等式及實際應(yīng)用問題綜合，形成知識的交匯問題【例3】 已知函數(shù)f(x)x3mx2nx2的圖象過點(1，6)，且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對稱(1)求m，n的值及函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a0，求函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a1，a1)內(nèi)的極值審題視點 聽課記錄審題視點 (1)根據(jù)f(x)、g(x)的函數(shù)圖象的性質(zhì)，

12、列出關(guān)于m、n的方程，求出m、n的值(2)分類討論解(1)由函數(shù)f(x)的圖象過點(1，6)，得mn3.由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，則g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以0，所以m3.代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和(2，)；由f(x)0，得0x2，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)極大值極

13、小值由此可得：當0a1時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極大值f(0)2，無極小值；當a1時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值；當1a3時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)有極小值f(2)6，無極大值；當a3時，f(x)在(a1，a1)內(nèi)無極值綜上得，當0a1時，f(x)有極大值2，無極小值；當1a3時，f(x)有極小值6，無極大值；當a1或a3時，f(x)無極值 (1)求單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為求不等式f(x)0(不恒為0)的解集即可，已知f(x)在M上遞增f(x)0在M上恒成立，注意區(qū)別(2)研究函數(shù)的單調(diào)性后可畫出示意圖討論區(qū)間與0,2的位置關(guān)系，畫圖截取觀察即可【突破訓練3】 (2020北京)已知

14、函數(shù)f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求a，b的值；(2)當a24b時，求函數(shù)f(x)g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(，1上的最大值解(1)f(x)2ax，g(x)3x2b.因為曲線yf(x)與曲線yg(x)在它們的交點(1，c)處具有公共切線，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)即a11b，且2a3b.解得a3，b3.(2)記h(x)f(x)g(x)當ba2時，h(x)x3ax2a2x1，h(x)3x22axa2.令h(x)0，得x1，x2.a0時，h(x)與h(x)的變化情況如下：xh(x)00h(

15、x)所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；單調(diào)遞減區(qū)間為.當1，即0a2時，函數(shù)h(x)在區(qū)間(，1上單調(diào)遞增，h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h(1)aa2.當1，且1，即2a6時，函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h1.當1，即a6時，函數(shù)h(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因hh(1)1aa2(a2)20，所以h(x)在區(qū)間(，1上的最大值為h1.定積分及其應(yīng)用是新課標中的新增內(nèi)容，?？疾椋阂罁?jù)定積分的基本運算求解簡單的定積分；根據(jù)定積分的幾何意義和性質(zhì)求曲邊梯形面積關(guān)鍵在于準確找出被積函數(shù)的原函數(shù)，利用微積分基本定

16、理求解各地考綱對定積分的要求不高學習時以掌握基礎(chǔ)題型為主【例4】 (2020新課標全國)由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4 C. D6審題視點 聽課記錄審題視點 借助封閉圖形確定積分上、下限及被積函數(shù)C由y及yx2可得x4，所以由y、yx2及y軸所圍成的封閉圖形面積為(x2)dx. 求定積分的一些技巧：(1)對被積函數(shù)要先化簡，把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦、余弦函數(shù)與常數(shù)的和或差，再求定積分；(2)求被積函數(shù)是分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分的性質(zhì)，分段求定積分，再求和；(3)對含有絕對值符號的被積函數(shù)，先要去掉絕對值符號再求定積分【突破訓練4】 若dx3ln 2

17、，則a的值為()A6 B4 C3 D2答案：Da2ln a13ln 2，a2.導數(shù)法求最值中的分類討論由參數(shù)的變化引起的分類討論對于某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法【示例】 (2020天津)已知函數(shù)f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點，求a的取值范圍；(3)當a1時，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t3上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)M(t)m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值滿分解答(1)f(x

18、)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.當x變化時f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)極大值極小值故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，1)，(a，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)(5分)(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(2，1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,0)內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,0)內(nèi)恰有兩個零點當且僅當解得0a.所以a的取值范圍是.(8分)(3)a1時，f(x)x3x1.由(1)知f(x)在3，1上單調(diào)遞增，在1,1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增當t3，2時，t30,1，1t，t3，f(x)在t，1上單調(diào)

19、遞增，在1，t3上單調(diào)遞減因此f(x)在t，t3上的最大值M(t)f(1)，而最小值m(t)為f(t)與f(t3)中的較小者由f(t3)f(t)3(t1)(t2)知，當t3，2時，f(t)f(t3)，故m(t)f(t)，所以g(t)f(1)f(t)而f(t)在3，2上單調(diào)遞增，因此f(t)f(2).所以g(t)在3，2上的最小值為g(2).(12分)當t2，1時，t31,2，且1,1t，t3下面比較f(1)，f(1)，f(t)，f(t3)的大小由f(x)在2，1，1,2上單調(diào)遞增，有f(2)f(t)f(1)，f(1)f(t3)f(2)又由f(1)f(2)，f(1)f(2)，從而M(t)f(1)

20、，m(t)f(1).所以g(t)M(t)m(t).綜上，函數(shù)g(t)在區(qū)間3，1上的最小值為.(14分)老師叮嚀：本題中的第(3)問比較麻煩，由于所給的區(qū)間不確定，函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性也不確定，需要根據(jù)參數(shù)的不同取值進行分類討論，注意把握分類的標準，能夠確定出函數(shù)的最大值和最小值，要求思路清晰，結(jié)合第(1)問中的函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)g(t)的最值.【試一試】 (2020北京)已知函數(shù)f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范圍解(1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk.當k0時，f(x)與f(x)的變化情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，k)和(k，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k，k)當k0時，因為f(k1)e，所以不會有x(0，)，f(x).當k0時，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).，4k21，k0.故當x(0，)，f(x)時，k的取值范圍是.