2020屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破5 函數(shù)、導數(shù)、不等式的綜合問題 理

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1、必考問題5函數(shù)、導數(shù)、不等式的綜合問題(2020山東)已知函數(shù)f(x)(k為常數(shù)，e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)g(x)xf(x)，其中f(x)為f(x)的導函數(shù)，證明：對任意x0，g(x)1e2.解(1)由f(x)，得f(x)，x(0，)，由于曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行所以f(1)0，因此k1.(2)由(1)得f(x)(1xxln x)，x(0，)，令h(x)1xxln x，x(0，)，當x(0,1)時，h(x)0；當x(1，)時，h(x)0.又ex0，所以x

2、(0,1)時，f(x)0；x(1，)時，f(x)0.因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1，)(3)因為g(x)xf(x)，所以g(x)(1xxln x)，x(0，)，由(2)得，h(x)1xxln x，求導得h(x)ln x2(ln xln e2)所以當x(0，e2)時，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當x(e2，)時，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減所以當x(0，)時，h(x)h(e2)1e2.又當x(0，)時，01，所以當x(0，)時，h(x)1e2，即g(x)1e2.綜上所述結(jié)論成立導數(shù)與函數(shù)、方程、不等式的交匯綜合，以及利用導數(shù)研究實際中的優(yōu)化問題，是命題的熱點

3、，而且不斷豐富創(chuàng)新題型以解答題的形式為主，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力應通過一些典型例題的分析提高分析問題和解決問題的能力解題時要善于把復雜的、生疏的、非規(guī)范化的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的、規(guī)范化的問題來解決.常考查：確定零點，圖象交點及方程解的個數(shù)問題；應用零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或范圍該類試題一般以含參數(shù)的高次式、分式、指數(shù)式或?qū)?shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)、方程呈現(xiàn)主要考查學生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合思想，以及運用所學知識解決問題的能力【例1】 已知x3是函數(shù)f(x)aln(1x)x210x的一個極值點(1)求a；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若直線yb與函數(shù)yf(x)的

4、圖象有3個交點，求b的取值范圍審題視點 聽課記錄審題視點 (1)由f(3)0求a；(2)由f(x)0或f(x)0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求f(x)的極值，結(jié)合圖象可確定b的取值范圍解f(x)的定義域：(1，)(1)f(x)2x10，又f(3)6100，a16.經(jīng)檢驗此時x3為f(x)極值點，故a16.(2)f(x)2x10.當1x3時，f(x)0；當1x3時，f(x)162101616ln 29f(1)，f(e21)321121f(3)，所以在f(x)的三個單調(diào)區(qū)間(1,1)，(1,3)，(3，)直線yb與yf(x)的圖象各有一個交點，當且僅當f(3)bln 21時，g(x)取最小值

5、為g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)0.所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增于是當aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(shù)(x)0.即exx22ax10，故exx22ax1.分析法在函數(shù)與導數(shù)題中的應用近年來，高考對函數(shù)與導數(shù)大部分是以壓軸題的形式考查的，試題難度較大，命題角度新穎，需要考生把生疏的問題通過分析轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，考查考生分析、解決問題的能力下面以2020年新課標全國卷為例對分析法在導數(shù)中的具體應用作一介紹【示例】 (2020新課標全國)設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，

6、k為整數(shù)，且當x0時，(xk)f(x)x10，求k的最大值滿分解答(1)f(x)的定義域為(，)，f(x)exa.若a0，則f(x)0，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增；若a0，則當x(，ln a)時，f(x)0；當x(ln a，)時，f(x)0，所以，f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增(5分)(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故當x0時，(xk)f(x)x10等價于kx(x0)(8分)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增而h(1)0，h(2)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點故g(x)

7、在(0，)上存在唯一的零點設(shè)此零點為，則(1,2)當x(0，)時，g(x)0；當x(，)時，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價于kg()，故整數(shù)k的最大值為2.(12分)老師叮嚀：本題主要考查導數(shù)在解決函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)的零點、不等式問題等方面的應用.其中，第(1)問求函數(shù)的導數(shù)，對字母a進行討論，根據(jù)導函數(shù)值的正負得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.第(2)問將原不等式轉(zhuǎn)化為kg(x)的形式，利用導數(shù)法求出函數(shù)g(x)的值域，進而得到整數(shù)k的最大值.【試一試】 設(shè)函數(shù)f(x)x(ex1)ax2.(1)若a，求f(x)的單調(diào)區(qū)

8、間；(2)若當x0時f(x)0，求a的取值范圍解(1)a時，f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)當x(，1)時，f(x)0；當x(1,0)時，f(x)0；當x(0，)時， f(x)0.故f(x)在(，1，0，)上單調(diào)遞增，在1,0上單調(diào)遞減(2)f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，則g(x)exa.若a1，則當x(0，)時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，而g(0)0，從而當x0時g(x)0，即f(x)0；若a1，則當x(0，ln a)時，g(x)0，g(x)為減函數(shù)，而g(0)0，從而當x(0，ln a)時g(x)0，即f(x)0.綜上得a的取值范圍為(，1