2020屆高三數(shù)學二輪復習 必考問題專項突破21 數(shù)學思想在解題中的應用（1） 理

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1、問題21數(shù)學思想在解題中的應用(一)1(2020重慶)設平面點集A(x，y)|(yx)0，B(x，y)|(x1)2(y1)21，則AB所表示的平面圖形的面積為()A. B. C. D.答案： D數(shù)形結合，畫出圖象，可知集合B表示的是一個圓面，集合A表示的圖形在圓(x1)2(y1)21內的部分正好是圓面積的一半，因此AB所表示的平面圖形的面積是，選D.2(2020新課標全國)設F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點，P為直線x上一點，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A. B. C. D.答案：C由題意可得|PF2|F1F2|，22c，3a4c，e.3(2020遼寧)設

2、變量x，y滿足則2x3y的最大值為()A20 B35 C45 D55答案：D根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，再平移目標函數(shù)求最大值作出不等式組對應的平面區(qū)域(如圖所示)，平移直線yx，易知直線經(jīng)過可行域上的點A(5,15)時，2x3y取得最大值55，故選擇D.4(2020重慶)過拋物線y22x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|，|AF|BF|，則|AF|_.解析設過拋物線焦點的直線為yk，聯(lián)立得整理得k2x2(k22)xk20，x1x2，x1x2.|AB|x1x211，得k224代入k2x2(k22)xk20得12x213x30，解之得x1，x2，又|AF|BF|，故|AF|x1.答案1

3、函數(shù)的主干知識、函數(shù)的綜合應用以及函數(shù)與方程思想的考查一直是高考的重點內容之一高考試題中，既有靈活多變的客觀性小題，又有一定能力要求的主觀性大題，難度有易有難，可以說是貫穿了數(shù)學高考整份試卷，高考中所占比重比較大2數(shù)形結合思想的考查常以數(shù)學概念、數(shù)學式的幾何意義、函數(shù)圖象、解析幾何等為載體，多數(shù)以選擇題、填空題出現(xiàn)，難度中等(1)對于函數(shù)與方程思想，在解題中要善于挖掘題目中的隱含條件，構造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)與方程的相互轉化的關系是應用函數(shù)與方程思想解題的關鍵(2)在運用數(shù)形結合思想分析問題時，要注意三點：理解一些概念與運算法則的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對題目中的條件和結論既分析其幾何意

4、義，又分析其代數(shù)意義；恰當設參、合理用參，建立關系，由形思數(shù)，以數(shù)想形，做好數(shù)形轉化；確定參數(shù)的取值范圍，參數(shù)的范圍決定圖形的范圍.必備知識函數(shù)與方程思想(1)函數(shù)思想就是用運動和變化的觀點，分析和研究具體問題中的數(shù)量關系，并通過函數(shù)形式建立函數(shù)關系，然后利用函數(shù)有關的知識(定義域、值域、最值、單調性、奇偶性、周期性、對稱性、圖象、導數(shù))使問題得以解決函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學教學的始終，不僅在函數(shù)各章的學習，而且在研究方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等其他內容時也起著十分重要的作用(2)方程的思想，是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，從而建立方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、

5、轉化問題，使問題獲得解決在實際問題的解決過程中，函數(shù)、方程、不等式等常?；ハ噢D化因此，函數(shù)與方程的思想是高考考查的重點知識數(shù)形結合思想(1)數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法數(shù)形結合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質，它是數(shù)學規(guī)律性與靈活性的有機結合(2)數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，如解方程、不等式問題，求函數(shù)的值域、最值問題、三角函數(shù)問題，運用數(shù)形結合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程必備方法1在高中數(shù)學的各個部

6、分，都有一些公式和定理，這些公式和定理本身就是方程，如等差數(shù)列的通項公式、余弦定理、解析幾何的弦長公式等，當試題與這些問題有關時，就需要根據(jù)這些公式或者定理列方程或方程組求解需要的量2函數(shù)與不等式也可以相互轉化，對于函數(shù)yf(x)，當y0時，就轉化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖象與性質解決有關問題，而研究函數(shù)的性質，也離不開解不等式3在數(shù)學中函數(shù)的圖象、方程的曲線、不等式所表示的平面區(qū)域、向量的幾何意義、復數(shù)的幾何意義等都實現(xiàn)以形助數(shù)的途徑，當試題中涉及這些問題的數(shù)量關系時，我們可以通過形分析這些數(shù)量關系，達到解題的目的 關問題函數(shù)思想，不僅是利用函數(shù)的方法來研究解決有關函數(shù)問題，更重要的是

7、運用函數(shù)的觀點去分析、解決問題，它的精髓是通過建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，再運用函數(shù)的圖象和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決【例1】 (2020遼寧)設f(x)ln(x1) axb(a，bR，a，b為常數(shù))，曲線yf(x)與直線yx在(0,0)點相切(1)求a，b的值；(2)證明：當0x2時，f(x).審題視點 聽課記錄審題視點 (1)應用導數(shù)研究函數(shù)性質；(2)應用導數(shù)研究函數(shù)性質，并且結合放縮法的應用(1)解由yf(x)過(0,0)點，得b1.由yf(x)在(0,0)點的切線斜率為，又y|x0|x0a，得a0.(2)證明由均值不等式，當x0時，2 x11x2，故1.記h(x)f(x

8、)，則h(x).令g(x)(x6)3216(x1)，則當0x2時，g(x)3(x6)22160.因此g(x)在(0,2)內是遞減函數(shù)，又由g(0)0，得g(x)0，所以h(x)0.因此h(x)在(0,2)內是遞減函數(shù)，又h(0)0，得h(x)0.于是當0x2時，f(x). 根據(jù)所證不等式的結構特征構造相應的函數(shù)，研究該函數(shù)的單調性是解決這一類問題的關鍵，本題并沒有千篇一律的將不等式右邊也納入到所構造函數(shù)中，而是具體問題具體分析，使問題得解，體現(xiàn)了導數(shù)的工具性以及函數(shù)、方程的數(shù)學思想【突破訓練1】 證明：對任意的正整數(shù)n，不等式ln都成立證明令f(x)x3x2ln(x1)，則f(x)在(0,1上

9、恒正f(x)在(0,1上單調遞增，當x(0,1時，有x3x2ln(x1)0，即ln(x1)x2x3，對任意正整數(shù)n，取x(0,1，得ln. 關問題解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，用到最多的是方程思想，即列方程組，通過判別式、根與系數(shù)的關系來研究方程解的情況進一步研究直線與圓錐曲線的關系，同時處理范圍與最值問題時也要用到函數(shù)思想【例2】 (2020湖南)在直角坐標系xOy中，已知中心在原點，離心率為的橢圓E的一個焦點為圓C：x2y24x20的圓心(1)求橢圓E的方程；(2)設P是橢圓E上一點，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標審題視點 聽課記錄審

10、題視點 (1)將圓的一般方程化為標準方程，然后根據(jù)條件列出關于a，b，c，e的方程，解方程(組)即可；(2)設出點P的坐標及直線方程，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，構造一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系及P在橢圓上列出方程組，求解得P點的坐標解(1)由x2y24x20得(x2)2y22，故圓C的圓心為點(2,0)從而可設橢圓E的方程為1(ab0)，其焦距為2c.由題設知c2，e.所以a2c4，b2a2c212.故橢圓E的方程為1.(2)設點P的坐標為(x0，y0)，l1，l2的斜率分別為k1，k2，則l1，l2的方程分別為l1：yy0k1(xx0)，l2：yy0k2(xx0)，且k

11、1k2，由l1與圓C：(x2)2y22相切得 ，即(2x0)22k2(2x0)y0k1y20.同理可得(2x0)22k2(2x0)y0k2y20.從而k1，k2是方程(2x0)22k22(2x0)y0ky20的兩個實根，于是且k1k2.由得5x8x0360，解得x02，或x0.由x02得y03；由x0得y0，它們均滿足式故點P的坐標為(2,3)，或(2，3)，或，或. 直線與圓錐曲線的位置關系中滲透著函數(shù)與方程的思想，在解決解析幾何問題時常常用到函數(shù)與方程的思想【突破訓練2】 (2020安徽)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一

12、個交點，F(xiàn)1AF260.(1)求橢圓C的離心率；(2)已知AF1B的面積為40 ，求a，b的值解(1)由題意可知，AF1F2為等邊三角形，a2c，所以e.(2)法一a24c2，b23c2，直線AB的方程可為y(xc)將其代入橢圓方程3x24y212c2，得B.所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB| sinF1ABaca240，解得a10，b5.法二設|AB|t.因為|AF2|a，所以|BF2|ta.由橢圓定義|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at.再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240知，a10，b5.討論方程的解可構造兩個函數(shù)，使求

13、方程的解的問題轉化為討論兩曲線交點的問題，但用圖象法討論方程的解，一定要注意圖象的精確性、全面性【例3】 方程xsin x0在區(qū)間0,2上的實根個數(shù)為()A1 B2 C3 D4審題視點 聽課記錄答案： B方程xsin x0在區(qū)間0,2上解的個數(shù)，可以轉化為兩函數(shù)yx與ysin x交點的個數(shù)根據(jù)右面圖象可得交點個數(shù)為2，即方程解的個數(shù)為2.故選B. 用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復雜方程)的解的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達式(不熟悉時，需要作適當變形轉化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象

14、的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù)【突破訓練3】 (2020山東煙臺模擬)設函數(shù)f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，則關于x的方程f(x)x的解的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4【突破訓練3】 Cf(x)x24x2，x0，這個函數(shù)的圖象如圖所示：可知直線yx與f(x)的圖象有三個交點，選C. 或求最值在解含有參數(shù)的不等式時，由于涉及到參數(shù)，往往需要討論，導致演算過程繁瑣冗長如果題設與幾何圖形有聯(lián)系，那么利用數(shù)形結合的方法，問題將會簡練地得到解決【例4】 (2020濰坊模擬)不等式|x3|x1|a23a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()A(，14，) B(，25，)C1,2 D(，12，)

15、審題視點 聽課記錄審題視點 去掉絕對值化為分段函數(shù)，畫出函數(shù)圖象找到這個函數(shù)的最大值再求解答案：Af(x)|x3|x1|畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖，可以看出函數(shù)f(x)的最大值為4，故只要a23a4即可，解得a1或a4.選項為A. 本題的知識背景涉及函數(shù)、不等式、絕對值等，“題目中的某些部分都可以使用圖形”表示，在解題時我們就是把這些可以用圖形表示的部分用圖形表示出來，借助于圖形的直觀獲得了解決問題的方法，這就是以形助數(shù)，是數(shù)形結合中的一個主要方面在解答選擇題的過程中，可以先根據(jù)題意，做出草圖，然后參照圖形的作法、形狀、位置、性質，并綜合圖象的特征得出結論【突破訓練4】 (2020天津)設函

16、數(shù)g(x)x22(xR)f(x)則f(x)的值域是()A.(1，) B0，)C. D.(2，)答案： D由題意知f(x)所以結合圖形，可得當 x(，1)(2，)時，f(x)的值域為(2，)；當x1,2時，f(x)的值域為.故選D.突破數(shù)形結合思想缺失的障礙解答函數(shù)試題，很多時候函數(shù)圖象是隱形的，即在試題中沒有出現(xiàn)函數(shù)圖象，在答題中一般也不要畫出函數(shù)圖象，但在尋找解題思路時必須借助于函數(shù)圖象，這就是數(shù)形結合思想的深刻體現(xiàn)，而很多學生常常在解題中對這種隱形的數(shù)形結合意識不到，導致解題錯誤【示例】 (2020德州模擬)已知函數(shù)f(x)x33ax1，a0.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若f(x)在

17、x1處取得極值，直線ym與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍滿分解答(1)f(x)3x23a3(x2a)，當a0時，對任意的xR，有f(x)0，此時，f(x)的單調增區(qū)間為(，)；當a0時，由f(x)0解得x或x，由f(x)0解得x，故當a0時，f(x)的單調增區(qū)間為(，)，(，)；f(x)的單調減區(qū)間為(，)(4分)(2)因為f(x)在x1處取得極值，所以f(1)3(1)23a0，a1.(6分)所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0解得x11，x21.由(1)中f(x)的單調性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1，在x1處取得極小值f(1)3.因為直線ym

18、與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不同的交點，結合f(x)的單調性畫出圖象(如圖所示)可知，m的取值范圍是(3,1)(12分)老師叮嚀：解答本題的關鍵是數(shù)形結合，但前提必須是利用導數(shù)把函數(shù)的性質研究透徹，根據(jù)函數(shù)的性質把函數(shù)圖象的大致形態(tài)勾畫出來，根據(jù)數(shù)形結合思想找到實數(shù)m所滿足的條件，再進行嚴格的推理論證.【試一試】 (2020廣東模擬)設函數(shù)f(x)ax33ax，g(x)bx2ln x(a，bR)，已知它們在x1處的切線互相平行(1)求b的值；(2)若函數(shù)F(x)且方程F(x)a2有且僅有四個解，求實數(shù)a的取值范圍解函數(shù)g(x)bx2ln x的定義域為(0，)(1)f(x)3ax23af(1)0

19、，g(x)2bxg(1)2b1，依題意2b10，所以b.(2)x(0,1)時，g(x)x0，x(1，)時，g(x)x0，所以當x1時，g(x)取極小值g(1)；當a0時，方程F(x)a2不可能有四個解；當a0時，x(，1)時，f(x)0，x(1,0)時，f(x)0，所以x1時，f(x)取得極小值f(1)2a，又f(0)0，所以F(x)的圖象如下：從圖象可以看出F(x)a2不可能有四個解當a0時，x(，1)時，f(x)0，x(1,0)時，f(x)0，所以x1時，f(x)取得極大值f(1)2a.又f(0)0，所以F(x)的圖象如下：從圖象看出方程F(x)a2有四個解，則a22a，所以實數(shù)a的取值范圍是.