2020屆高三數學二輪復習 必考問題專項突破7 三角恒等變換與解三角形 理

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1、必考問題7三角恒等變換與解三角形1(2020全國)已知為第二象限角，sin cos ，則cos 2()A B C. D.答案：A將sin cos 兩邊平方，可得1sin 2，sin 2，所以(sin cos )21sin 2，因為是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以sin cos ，所以cos 2(sin cos )(cos sin )，選A.2(2020江西)若tan 4，則sin 2()A. B. C. D.答案：Dtan 4，4tan 1tan2，sin 22sin cos .3(2020天津)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cos

2、C()A. B C D.答案：A因為8b5c，則由C2B，得sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理得cos B，所以cos Ccos 2B2cos2B1221，故選A.4(2020北京)在ABC中，若a2，bc7，cos B，則b_.解析由余弦定理，得b24(7b)222(7b)，解得b4.答案41對于三角恒等變換，高考命題以公式的基本運用、計算為主，其中多以與角所在范圍、三角函數的性質、三角形等知識結合為命題的熱點2對于解三角形，重點考查正弦定理、余弦定理兩公式在解三角形中的應用，通過三角形中的邊、角關系和相關公式的靈活運用來考查學生分析問題、解決問題的能力以及數學運算能力

3、. 1在三角恒等變換過程中，準確地記憶公式，適當地變換式子，有效地選取公式是解決問題的關鍵2在解三角形的試題時，要弄清楚三角形三邊、三角中已知什么，求什么，這些都是解決問題的思維基礎，分析題設條件，利用正、余弦定理進行邊與角之間的相互轉化是解決問題的關鍵.必備知識兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin coscos sin .(2)cos()cos cossin sin .(3)tan().二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.(4)降冪公式：sin2 ，cos2.正弦定理及其

4、變形2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C.abcsin Asin Bsin C.余弦定理及其推論a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推論：cos A，cos B，cos C.變形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.面積公式SABCbcsin Aacsin Babsin C.必備方法1“變角”是三角變換的靈魂，因此要注意分析條件與所求之間角的聯系，?？疾焓欠窬哂泻汀⒉?、倍、半關系或互余、互補關系如2

5、與是倍角關系此外，根據條件與所求中的角的特點，常要對角進行恰當的配湊，如：()，2()()等2要充分把握三角函數的變換規(guī)律三角變換時，需會用“切化弦”“弦化切”“輔助角”“1的代換”等技巧，追求“名、角、式”(三角函數名、角度、運算結構)的統(tǒng)一，其中角的變換是三角變換的核心3在三角形內求值、證明或判斷三角形形狀時，要用正、余弦定理完成邊與角的互化，一般是都化為邊或都化為角，然后用三角公式或代數方法求解，從而達到求值、證明或判斷的目的解題時要注意隱含條件4解三角形的應用問題時，要將條件和求解目標轉化到一個三角形中，然后用正、余弦定理或三角公式完成求解，同時注意所求結果要滿足實際問題的要求，還要注

6、意對不同概念的角的正確理解與應用，如俯角、仰角、方位角、視角等.的化簡、求值三角恒等變換是三角運算的核心和靈魂，?？疾椋喝呛愕茸儞Q在化簡、求值等方面的簡單應用；三角恒等變換與三角形中相關知識的綜合、與向量的交匯性問題，多以解答題形式出現，難度中檔【例1】 (2020廣東)已知函數f(x)2cos(其中0，xR)的最小正周期為10 .(1)求的值；(2)設，f，f，求cos()的值審題視點 聽課記錄審題視點 (1)由T10可得的值；(2)化簡所給的已知條件，求得cos 、sin 的值，將cos()展開，代入數據即可解(1)f(x)2cos，0的最小正周期T10，.(2)由(1)知f(x)2co

7、s，而，f，f(5)，2cos，2cos，即cos，cos ，于是sin ，cos ，sin ，cos()cos cos sin sin . (1)給值求角的本質還是給值求值，即欲求某角，也要先求該角的某一三角函數值(2)由于三角函數的多值性，故要對角的范圍進行討論，確定并求出限定范圍內的角(3)要仔細觀察分析所求角與已知條件的關系，靈活使用角的變換，如()，等【突破訓練1】 已知cos，x.(1)求sin x的值；(2)求sin的值解(1)因為x，所以x，于是sin .sin xsinsincoscossin .(2)因為x，所以cos x .sin 2x2sin xcos x，cos 2x

8、2cos2x1.所以sinsin 2xcos cos 2xsin .以三角形為載體，以三角變換為核心，結合正(余)弦定理考查解斜三角形是高考的一個熱點問題根據所給式子、三角形的特點合理選擇正弦或余弦定理是解題的關鍵，綜合考查學生邏輯分析和計算推理能力【例2】 (2020山東)在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面積S.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)根據所給式子和第(1)問式子的特征，采用邊化角較為簡單；(2)借用第(1)問的結果可知a、c間的關系，再結合cos ，b2，利用余弦定理可求解解(1)由正弦定理，設k，則，所以

9、.即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化簡可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以原等式可化為sin C2sin A，因此2.(2)由2，得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及cos B，得4a24a24a2，解得a1，從而c2.又因為cos B，且0B，所以sin B.因此Sacsin B12. 在含有三角形內角的三角函數和邊的混合關系式中要注意變換方向的選擇正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個方程，在解三角形的試題中方程思想是主要的數學思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問題【突破訓練2】 (2020江西)在ABC中，角

10、A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知A，bsincsina.(1)求證：BC；(2)若a，求ABC的面積(1)證明由bsincsina，應用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，sin Bsin C，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，由于0B，C，從而BC.(2)解BCA，因此B，C.由a，A，得b2sin，c2sin，所以ABC的面積Sbcsin Asinsincossin.易錯點撥 第(2)問考生往往在遇到非特殊角的情況下思維受阻，導致丟分，遇到這種情況時要學會分析推測或用轉化法使解題進行下去解三角形問題常以向量為載體，解題時通常先利

11、用向量知識將有關向量關系式轉化為三角形中的邊角關系，然后再借助解三角形的知識求解，難度中檔偏低【例3】 在ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，A，(1)c2b.(1)求角C；(2)若1，求a，b，c.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)由(1)c2b及A可利用正弦定理將邊的關系轉化為角的關系；(2)將向量關系式1轉化為三角形中的邊角關系，再利用解三角形的知識求解解(1)由(1)c2b，得，則有，得tan C1，即C.(2)由1，推出abcos C1.而C，即得ab1，則有解得 解答這一類問題，首先要保證向量運算必須正確，否則，反被其累，要很好的掌握正、余弦定理的應用條件及靈活變形，方能

12、使問題簡捷解答【突破訓練3】 在ABC中，已知2|32，求角A，B，C的大小解設BCa，ACb，ABc，由2|，得2bccos Abc，所以cos A，又A(0，)，因此A，由|32，得bca2，于是sin Csin Bsin2A.所以sin Csin，sin C，因此2sin Ccos C2sin2C，sin 2Ccos 2C0，即sin0.由A知0C，所以2C，從而2C0，或2C，即C或C，故A，B，C或A，B，C.由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形應用問題中的測量問題、航海問題等常常是高考的熱點，其主要要求是：會利用正弦定理和余弦定理等知識和方法解決一些測量和幾何計算有關的

13、實際問題【例4】 (2020沈陽模擬)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上(1)求漁船甲的速度；(2)求sin 的值審題視點 聽課記錄審題視點 第(1)問實質求BC；第(2)問運用正弦定理可求解解(1)依題意，BAC120，AB12，AC10220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC12220221220cos 120784，解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/時(2)在ABC中，因為AB12，BA

14、C120，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin ，所以sin 的值為. (1)三角形應用題的解題要點：解斜三角形的問題，通常都要根據題意，從實際問題中尋找出一個或幾個三角形，然后通過解這些三角形得出所要求的量，從而得到實際問題的解(2)有些時候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等正確理解和掌握方位角、俯角、仰角對于解決三角形應用題也是必不可少的【突破訓練4】 (2020惠州調研)如圖，某河段的兩岸可視為平行，為了測量該河段的寬度，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀察對岸的點C，測得CAB75，CBA45且AB100米(1)求sin 75；(2)求該河段的寬度解

15、(1)sin 75sin(3045)sin 30cos45cos 30sin 45.(2)因為CAB75，CBA45，所以ACB180CABCBA60.由正弦定理得，所以BC.如圖，過點B作BD垂直于對岸，垂足為D, 則BD的長就是該河段的寬度在RtBDC中，因為BCDCBA45，sinBCD，所以BDBCsin 45sin 45(米)答：該河段的寬度為米轉化與化歸在解三角形中的應用解三角形問題是歷年高考的熱點，常與三角恒等變換相結合考查正弦、余弦定理的應用，解題的實質是將三角形中的問題轉化為代數問題或方程問題，在此過程中也常利用三角恒等變換知識進行有關的轉化可以說，三角形問題的核心就是轉化與

16、化歸【示例】 (2020新課標全國)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積為，求b，c.滿分解答(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因為BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(6分)(2)ABC的面積Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.(12分)老師叮嚀：本題較容易，得分率較高.考查了考生利用正、余弦定理及三角公式進行轉化的能力.其中，第(1)問利用正弦定理將邊化成角，結合三角恒等變換知識整理出角A.第(2)問根據三角形的面積公式得到關于b，c的等式，再由余弦定理用a和角A表示出b，c的關系，從而求解.【試一試】 在ABC中，BC，AC3，sin C2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，根據正弦定理，.于是ABBC2BC2.(2)在ABC中，根據余弦定理，得cos A.于是sin A.從而sin 2A2sin Acos A，cos 2Acos2Asin2A.所以sinsin 2Acoscos 2Asin.