2020屆高三數學二輪復習 必考問題專項突破10 數列求和 理

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1、必考問題10數列求和1(2020全國)已知等差數列an的前n項和為Sn，a55，S515，則數列的前100項和為()A. B. C. D.答案： A設數列an的公差為d，則a14d5，S55a1d15，得d1，a11，故an1(n1)1n，所以，所以S10011，故選A.2(2020全國)設Sn為等差數列an的前n項和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k()A8 B7 C6 D5答案：Dan是等差數列，a11，d2，an2n1.由已知得Sk2Skak2ak12(k2)2(k1)24k424，所以k5，故選D.3(2020福建)設等差數列an的前n項和為Sn.若a111，a4a66，則當S

2、n取最小值時，n等于()A6 B7 C8 D9答案：Aan是等差數列，a4a62a56，即a53，d2得an是首項為負數的遞增數列，所有的非正項之和最小a61，a71，當n6時，Sn取最小故選A.4(2020江西)已知數列an的前n項和Sn滿足SnSmSnm，且a11，那么a10_.解析SnSmSnm，且a11，S11，可令m1，得Sn1Sn1，Sn1Sn1，即當n1時，an11，a101.答案1本部分是高考重點考查的內容，題型有選擇題、填空題和解答題對于數列的通項問題，求遞推數列(以遞推形式給出的數列)的通項是一個難點，而數列的求和問題多從數列的通項入手，并與不等式證明或求解結合，有一定難度

3、(1)牢固掌握等差數列和等比數列的遞推公式和通項公式，以一階線性的遞推公式求通項的六種方法(觀察法、構造法、猜歸法、累加法、累積法、待定系數法)為依托，掌握常見的遞推數列的解題方法對于既非等差又非等比的數列要綜合運用觀察、歸納、猜想、證明等方法進行研究，要善于將其轉化為特殊數列，這是一種非常重要的學習能力(2)對于數列求和部分的復習要注意以下幾點：熟練掌握等差數列、等比數列的求和公式及其應用，這是數列求和的基礎；掌握好分組、裂項、錯位相減、倒序相加法這幾種重要的求和方法，特別要掌握好裂項與錯位相減求和的方法，這是高考考查的重點；掌握一些與數列求和有關的綜合問題的解決方法，如求數列前n項和的最值

4、，研究前n項和所滿足的不等式等.必備知識求通項公式的方法(1)觀察法：找項與項數的關系，然后猜想檢驗，即得通項公式an；(2)利用前n項和與通項的關系an(3)公式法：利用等差(比)數列求通項公式；(4)累加法：如an1anf(n)，累積法，如f(n)；(5)轉化法：an1AanB(A0，且A1)常用公式等差數列的前n項和，等比數列的前n項和，123n，122232n2.常用裂項方法(1)；(2).必備方法1利用轉化，解決遞推公式為Sn與an的關系式：數列an的前n項和Sn與通項an的關系：an通過紐帶：anSnSn1(n2)，根據題目求解特點，消掉一個an或Sn.然后再進行構造成等差或者等比

5、數列進行求解如需消掉Sn，可以利用已知遞推式，把n換成(n1)得到新遞推式，兩式相減即可若要消掉an，只需把anSnSn1代入遞推式即可不論哪種形式，需要注意公式anSnSn1成立的條件n2.2裂項相消法的基本思想是把數列的通項an分拆成anbn1bn或者anbnbn1或者anbn2bn等，從而達到在求和時逐項相消的目的，在解題中要善于根據這個基本思想變換數列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件3錯位相減法適用于數列由一個等差數列和一個等比數列對應項的乘積構成的數列的求和，乘以等比數列的公比再錯位相減，即依據是：cnanbn，其中an是公差為d的等差數列，bn是公比為q(q1)的等比數列，則

6、qcnqanbnanbn1，此時cn1qcn(an1an)bn1dbn1，這樣就把對應相減的項變?yōu)榱艘粋€等比數列，從而達到求和的目的.數列的遞推關系一直是高考“久考不衰”的考點，具有題型新穎、方法靈活等特點，求通項的常用方法有：定義法、公式法、累加法、累乘法、構造轉化法等【例1】 已知數列an的首項a1，且an1，n1，2，.(1)證明：數列1是等比數列；(2)令bn1，試求數列nbn的前n項和Sn.審題視點 聽課記錄審題視點 對于第(1)問，由條件利用等比數列的定義即可證明；對于第(2)問，求數列nbn的前n項和Sn，只需利用錯位相減法即可(1)證明由已知，得，n1,2，11，n1,2，.數

7、列是以為公比，為首項的等比數列(2)解由bn1(n1)，得Sn1b12b23b3(n1)bn1nbn123(n1)n.Sn123(n1)n.Snnn.Sn1n. 對于由數列的遞推關系式求數列通項an的問題，一般有以下幾種題型：(1)類型an1cand(c0,1)，可以通過待定系數法設an1c(an)，求出后，化為等比數列求通項；(2)類型an1anf(n)與an1f(n)an，可以分別通過累加、累乘求得通項；(3)類型an1canrn(c0，r0)，可以通過兩邊除以rn1，得，于是轉化為類型(1)求解【突破訓練1】 在數列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)證明：數列ann是等比

8、數列；(2)求數列an的前n項和Sn；(3)證明：不等式Sn14Sn對任意nN*皆成立(1)證明由題設an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以數列ann是首項為1，公比為4的等比數列(2)解由(1)可知ann4n1，于是數列an的通項公式為an4n1n.所以，數列an的前n項和Sn.(3)證明對任意的nN*，Sn14Sn4(3n2n4)0，所以不等式Sn14Sn對任意nN*皆成立裂項法求和是近幾年高考的熱點，試題設計年年有變、有創(chuàng)新，但變的僅僅是試題的外殼，有效地轉化、化歸問題是解題的關鍵，常與不等式綜合命制解答題【例2】 已知二次函數yf(x)的圖象經過坐標

9、原點，其導函數為f(x)6x2，數列an的前n項和為Sn，點(n，Sn)(nN*)均在函數yf(x)的圖象上(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，Tn是數列bn的前n項和，求使得Tn對所有n(nN*)都成立的最小正整數m.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)由f(x)6x2可求f(x)，則可得Sn與n的關系式，再由anSnSn1(n2)求an.(2)由裂項求和求Tn，再由單調性求Tn的最大值解(1)設函數f(x)ax2bx(a0)，則f(x)2axb，由f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因為點(n，Sn)(nN*)均在函數yf(x)的圖象上，所以Sn3n22n.當n2時

10、，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5.當n1時，a1S1312211，所以，an6n5(nN*)(2)由(1)知bn，故Tnb1b2bn11.因此，要使1(nN*)成立，則m需滿足即可，則m10，所以滿足要求的最小正整數m為10. 使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源與目的【突破訓練2】 已知數列an是首項a1的等比數列，其前n項和Sn中S3.(1)求數列an的通項公式；(解(1)若q1，則S3不符合題意，q1.當q1時，由得q.ann1n1.(2)bnlog|

11、an|logn1，Tn.錯位相減法求和作為求和的一種方法在近幾年高考試題中經常出現，復習時要熟練掌握錯位相減法求和的特點【例3】 (2020淄博一模)已知數列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)(1)證明：數列為等差數列；(2)求數列an1的前n項和Sn.審題視點 聽課記錄審題視點 (1)作差：后，把an2an12n1代入；(2)求出an1，利用錯位相減法求和(1)證明設bn，b12.bnbn1(an2an1)1(2n1)11.所以數列為首項是2，公差是1的等差數列(2)解由(1)知，(n1)1，an1(n1)2n.Sn221322n2n1(n1)2n，2Sn222323n2n(

12、n1)2n1.，得Sn4(22232n)(n1)2n1，Sn44(2n11)(n1)2n1，Snn2n1. 錯位相減法求數列的前n項和是一類重要方法在應用這種方法時，一定要抓住數列的特征即數列的項可以看作是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘所得數列的求和問題所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減，要注意的是相減后得到部分等比數列的和，此時一定要查清其項數【突破訓練3】 (2020天津)已知an是等差數列，其前n項和為Sn，bn是等比數列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數列an與bn的通項公式；(2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN*，證明：Tn122an10bn(n

13、N*)(1)解設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由條件，得方程組解得所以an3n1，bn2n，nN*.(2)證明法一由(1)得Tn2an22an123an22na1，2Tn22an23an12na22n1a1.由，得Tn2(3n1)32232332n2n22n26n2102n6n10.而2an10bn122(3n1)102n12102n6n10，故Tn122an10bn，nN*.法二當n1時，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；證明：假設當nk時等式成立，即Tk122ak10bk，則當nk1時有：Tk1a

14、k1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112即Tk1122ak110bk1.因此nk1時等式也成立由和，可知對任意nN*，Tn122an10bn成立數列綜合題中的轉化與推理數列是一個既有相對獨立性，又與其他知識易交匯的知識點，命題者為體現考查思維的綜合性與創(chuàng)新性，經常讓數列與一些其他知識交匯，有效地考查考生對數學思想與方法的深刻理解，以及考生的數學潛能與思維品質因此，要利用轉化與推理將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，降低問題難度【示例

15、】 (2020湖南)已知數列an的各項均為正數，記A(n)a1a2an，B(n)a2a3an1，C(n)a3a4an2，n1,2，.(1)若a11，a25，且對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成等差數列，求數列an的通項公式；(2)證明：數列an是公比為q的等比數列的充分必要條件是：對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列滿分解答(1)對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)成等差數列，所以B(n)A(n)C(n)B(n)，即an1a1an2a2，亦即an2an1a2a14.故數列an是首項為1，公差為4的等差數列于是an1(n1)44n3

16、.(5分)(2)必要性：若數列an是公比為q的等比數列，則對任意nN*，有an1anq.由an0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是q，q，即q，所以三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列(8分)充分性：若對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列，則B(n)qA(n)，C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n)，得an2a2q(an1a1)，即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1)，即a2qa1，從而an2qan10.因為an0，所以q.故數列an是首項為a1，公比為q的等比數列綜上所述，數列an是公比為q的

17、等比數列的充分必要條件是：對任意nN*，三個數A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數列(12分)老師叮嚀：本題看似新穎，但揭開面紗卻很平常.它很好地考查了考生的應試心理和推理論證的能力，用到的知識卻很簡單，失去信心是本題失分的主要原因.第(1)問根據B(n)A(n)C(n)B(n)即可輕松解決；第(2)問需分充分性和必要性分別證明，其依據完全是非常簡單的等比數列的定義，其關鍵是要有較好的推理論證能力.【試一試】 (2020山東)在等差數列an中，a3a4a584，a973.(1)求數列an的通項公式；(2)對任意mN*，將數列an中落入區(qū)間(9m,92m)內的項的個數記為bm，求數列bm的前m項和Sm.解(1)因為an是一個等差數列，所以a3a4a53a484，a428.設數列an的公差為d，則5da9a4732845，故d9.由a4a13d得，28a139，即a11.所以ana1(n1)d19(n1)9n8(nN*)(2)對mN*，若9man92m，則9m89n92m8.因此9m11n92m1.故得bm92m19m1.于是Smb1b2b3bm(99392m1)(199m1).