10、與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（e>1）
與定點和直線的距離相等的點的軌跡.
圖形
方
程
標(biāo)準(zhǔn)方程
(>0)
(a>0,b>0)
y2=2px
參數(shù)方程
(t為參數(shù))
范圍
─a￡x￡a，─b￡y￡b
|x| 3 a，y?R
x30
中心
原點O（0，0）
原點O（0，0）
頂點
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
(a,0), (─a,0)
(0,0)
對稱軸
x軸，y軸；
長軸長2a,短軸長2b
x軸，y軸;
實軸長2a, 虛軸長2b.
x軸
焦點
F1
11、(c,0), F2(─c,0)
F1(c,0), F2(─c,0)
焦距
2c （c=）
2c （c=）
離心率
e=1
準(zhǔn)線
x=
x=
漸近線
y=±x
焦半徑
通徑
2p
焦參數(shù)
P
4、曲線和方程
1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：
(1) 曲線C上的點的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；
（2） 方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點都在曲線C上（完備性）。
則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f
12、(x,y)=0的曲線。
2.求曲線方程的方法：.
（1）待定系數(shù)法; （2) 直接法（直譯法）；（3）定義法; （4）相關(guān)點代入法（轉(zhuǎn)移法）；（5）參數(shù)法.
3.過兩條曲線f1(x,y)=0與f2(x,y)=0的公共點的曲線系方程：
（三）高頻考點及考題類型
1、直線以傾斜角、斜率、夾角、距離、平行與垂直、線性規(guī)劃（老）等有關(guān)的問題，其中要重視“對稱問題”及”線性規(guī)劃問題”的解答。
2、與圓位置有關(guān)的問題，一是研究方程組；二是充分利用平面幾何知識。重在后者。
3、求曲線的方程或軌跡問題，涉及圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì)（如求離心率的問題）
4、直線與圓錐曲線的位
13、置關(guān)系問題，如參數(shù)的變量取值范圍、最值；幾何參量的求值問題。
5、以圓錐曲線為載體在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點設(shè)計問題，其目的是加強聯(lián)系注重應(yīng)用，考查學(xué)生的應(yīng)變能力以及分析問題和解決問題的能力。
二、高考真題回放
（一）直線
1 、(2020四川文、理) 直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，再向右平移１個單位，所得到的直線為( A )
（Ａ） ?。ǎ拢 。ǎ茫 。ǎ模?
【解】∵直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰（Ｃ），（D）
又∵將向右平移１個單位得，即 故選A；
【點評】此題重點考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問題；
【突破】熟悉互相垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，過原點的
14、直線無常數(shù)項；重視平移方法：“左加右減”；
A
B
C
x
y
P
O
F
E
2、 (2020江蘇) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點分別為，點在線段AO上的一點（異于端點），這里均為非零實數(shù)，設(shè)直線分別與邊交于點，某同學(xué)已正確求得直線的方程為，請你完成直線的方程： ( )。
【解】畫草圖，由對稱性可猜想填．事實上，由截距式可得直線AB：，直線CP： ，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點F 滿足此方程，又原點O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程．【答案】
【點評】本小題考查直線方程的求法．
【突破】注意觀察出對稱性。
（二）圓
A
B
15、
C
D
O
x
y
1、(2020上海文、理)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點C、D的定圓所圍成的區(qū)域（含邊界），A、B、C、D是該圓的四等分點．若點、點滿足且，則稱P優(yōu)于．如果中的點滿足：
不存在中的其它點優(yōu)于Q，那么所有這樣的點Q組成的集合是劣?。ā?。?
A． B． C． D．
【解】由題意可知Q點一定是圓上的一段弧且縱坐標(biāo)較大橫坐標(biāo)較小，
故知是上半圓的左半弧。
【點評】此題是一個情景創(chuàng)設(shè)題，考查學(xué)生的應(yīng)變能力。
【突破】Q點的縱坐標(biāo)較大，橫坐標(biāo)較小。
2、(2020天津文)已知圓的
16、圓心與點關(guān)于直線對稱．直線與圓相交于兩點，且，則圓的方程為
【解】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)易得結(jié)果。
【點評】此題雖小但考查到了對稱、直線與圓相交、圓的方程等知識。
【突破】利用對稱求出圓心坐標(biāo)，利用直角三角形解出半徑。
（三） 直線與圓的位置關(guān)系
1、 (2020海南、寧夏文)已知m∈R，直線l：和圓C：。
（1）求直線l斜率的取值范圍；
（2）直線l能否將圓C分割成弧長的比值為的兩段圓?。繛槭裁?？
【解】（Ⅰ）直線的方程可化為，
直線的斜率，
因為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．
所以，斜率的取值范圍是．
（Ⅱ）不能．
由（Ⅰ）知的方程為
，
17、其中．
圓的圓心為，半徑．
圓心到直線的距離
．
由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于．
所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段?。?
【點評】此題考查了直線方程，函數(shù)求值域，直線與圓的位置關(guān)系。難度不大但很好的綜合了以上知識點。
【突破】注意把直線方程中的換成k使表達(dá)簡單，減小運算量。
（四） 圓錐曲線
1、（08福建卷11)又曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（B）
A.(1,3) B. C.(3,+) D.
【解】PF1|-|PF2|=|PF2
18、|=2a-a，故知e≤3又因為e＞1,選B
【點評】圓錐曲線的幾何參量是高考重點，而幾何參量中的離心率又是重中之重。
【突破】解決離心率的求值或求范圍問題，重要是找到的齊次等式或不等式。
2、（08陜西卷8）雙曲線（，）的左、右焦點分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（ B ）
A． B． C． D．
同上易知
3、（08安徽卷22）．（本小題滿分13分）
設(shè)橢圓過點，且著焦點為
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上
解 (1)由題意：
19、 ，解得，所求橢圓方程為
(2)方法一
設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為。
由題設(shè)知均不為零，記,則且
又A，P，B，Q四點共線，從而
于是 ，
，
從而
，（1） ，（2）
又點A、B在橢圓C上，即
（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得
即點總在定直線上
方法二
設(shè)點，由題設(shè)，均不為零。
且
又 四點共線，可設(shè),于是
（1）
20、 （2）
由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程
整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 得
即點總在定直線上
【點評】本題第一問是直接待定系數(shù)求出方程，第二問本質(zhì)也是求動點軌跡是一條直線采用交軌法和參數(shù)法可求解。另外第二問還可以利用直線的參數(shù)方程解題。
4、（廣東卷18）．（本小題滿分14分）
設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過點作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為，已知拋物線在點的切線經(jīng)過橢圓的右焦點．
（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（2）設(shè)分別是橢圓長軸的左、右端點，試
21、探究在拋物線上是否存在點，使得為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具體求出這些點的坐標(biāo)）．
A
y
x
O
B
G
F
F1
圖4
【解析】（1）由得，
當(dāng)?shù)茫珿點的坐標(biāo)為，，，過點G的切線方程為即，令得，點的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點的坐標(biāo)為，
即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；
（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個交點,以為直角的只有一個，
同理 以為直角的只有一個。
若以為直角，設(shè)點坐標(biāo)為，、兩點的坐標(biāo)分別為和，
。
關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，
即以為直角的有兩個，
因此拋物線上存在四個點使得為直角三角形。
三、典
22、型模擬
1.（遼寧省沈陽二中2020學(xué)年上學(xué)期高三期中考試）
直線恒過定點C，圓C是以點C為圓心，以4為半徑的圓。
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)圓M的方程為上任意一點P分別作圓C的兩條切線PE、PF，切點為E、F，求的最大值和最小值。
【解析】（1），
（2）設(shè)則
在，
由圓的幾何性質(zhì)得
，由此可得
的最大值為－最小值為－8
【點評】向量與解析幾何結(jié)合是高考命題的重要趨勢，本題難度不大。但是如果不能將“向量語言”準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為“函數(shù)語言”，或在解題中不細(xì)心都可能會出現(xiàn)錯誤。切記：“細(xì)節(jié)決定成敗”
2、（遼寧省部分重點中學(xué)協(xié)作體2020年高考模擬）
在正△AB
23、C中，D∈AB，E∈AC，向量，則以B，C為焦點，且過D，E的雙曲線的離心率為 （ ）
A． B． C． D．
【解析】D.
【點評】由幾何圖形的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的齊次等式
3、（金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科））
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過、、三點．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．
【解析】（1）設(shè)橢圓方程為
將、、代入橢圓E的方程，得
解得.
∴橢圓的方程
24、（4分）
（2），設(shè)邊上的高為
當(dāng)點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為．
設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因為的周長為定值6．所以，
所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為 （10分）
（3）法一：將直線代入橢圓的方程并整理．
得．
設(shè)直線與橢圓的交點，
由根系數(shù)的關(guān)系，得．
直線的方程為：，它與直線的交點坐標(biāo)為
同理可求得直線與直線的交點坐標(biāo)為．
下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標(biāo)相等：
，
因此結(jié)論成立．
綜上可知．直線與直線的交點住直線上． （16分）
法二：直線的方程為：
由直線的方程為：，即
由直
25、線與直線的方程消去，得
∴直線與直線的交點在直線上．
【點評】本題是將直線、圓與橢圓結(jié)合運用方程思想解題。
4、（2020學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級質(zhì)量調(diào)研第16題）（本題滿分12分）設(shè)點在橢圓的長軸上，點是橢圓上任意一點. 當(dāng)?shù)哪Ｗ钚r，點恰好落在橢圓的右頂點，求實數(shù)的取值范圍．
答案：解：設(shè)為橢圓上的動點，由于橢圓方程為，故．
因為，所以
推出．
依題意可知，當(dāng)時，取得最小值．而，
故有，解得．
又點在橢圓的長軸上，即. 故實數(shù)的取值范圍是．
【點評】與圓錐曲線有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題綜合性較強，解題時需根據(jù)具體問題靈活的運用平面幾何
26、、函數(shù)、不等式等知識，正確的構(gòu)造出圓錐曲線與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。
四、考點預(yù)測
1。命題預(yù)測
直線與圓是最基本的圖形，是解析幾何的基本內(nèi)容，也是高考必考查的內(nèi)容，試題多為選擇和填空題，難度適中，屬基本要求，但偶有與圓有關(guān)問題的解答題，其解答難度則可能較大。試題常在直線的圖象、求直線方程，直線 的平行與垂直的位置關(guān)系，求圓面積的方程與有關(guān)圓的軌跡問題上作重點考查。同時有關(guān)對稱問題也是高考的熱點問題，其中直線與圓的位置關(guān)系與對稱問題出現(xiàn)頻率較高。而隨著平面向量的出現(xiàn)，向量與直線或圓的綜合問題則是一直高考的新熱點。
圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，因而是高考考查的重點內(nèi)容。在每年的
27、高考中一般有兩道選擇或填空題以及一道解答題。兩道小題目通常是一道較易的“低檔”題與一道“中檔”題，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能以及基本方法的靈活運用，特別是要注意離心率的考察。而解答題則是注重對數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)語言的考查，重視對圓錐曲線定義的應(yīng)用的考查。求軌跡以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考題，將注重考查與一元二次方程有關(guān)的判別式、韋達(dá)定理等腰三角形的應(yīng)用。
2、應(yīng)試對策
（1）重視對教材中知識交匯點的復(fù)習(xí)。將解析幾何與導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，建模后求參數(shù)的取值范圍；將解析幾何與向量結(jié)合，向量起“表達(dá)”或“工具”作用。所有這些都是高考命題的重
28、點，因此對這類知識及問題要重視它的建模與解模的思想與方法，重視這些題型的訓(xùn)練。
（2）注重基礎(chǔ)，掌握基本知識、基本方法、基本技能、基本內(nèi)容。要多訓(xùn)練一些選擇、填空題型。求直線、圓、圓錐曲線的方程，動點的軌跡，參數(shù)的范圍以及對稱問題等是高考考試中的重點題型，要熟練掌握求軌跡方程的方法與步驟，要熟練掌握求參數(shù)的范圍的常用方法，考前要對這些重要內(nèi)容與重要方法，進(jìn)行一定量的適應(yīng)性訓(xùn)練，使之成為技能，成為常法，考時才能得心應(yīng)手。
（3）重視圓錐曲線的定義在解題中的應(yīng)用。有關(guān)圓錐曲線上的點到焦點的距離，曲線上的點到準(zhǔn)線的距離，離心率的問題等都可用圓錐曲線的定義去求解，活用定義，可以大大縮短破題與解題的
29、時間，減少運算量，進(jìn)而大大提高自己的解題自信心。
（4）熟練掌握坐標(biāo)法的思想。要注意學(xué)習(xí)如何借助于坐標(biāo)系，用代數(shù)的方法來研究幾何問題，體會這種數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用；要會尋找點與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系、曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。這兒順便提一下：有關(guān)圓的問題，解答時一定要充分利用圓的幾何性質(zhì)，如圓與直線相切、相交的性質(zhì)，圓與圓的位置關(guān)系，這樣可以大大減少運算量，并使過程得以簡化。
五、考題預(yù)測
1、小題（選擇題、填空題）
(1) 線性規(guī)劃問題
1、已知集合, ,則集合所表示圖形的面積是 .
答案：
解題過程：集合
30、表示以為圓心，1為半徑的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域，其中圓心在邊長為2的正方形區(qū)域內(nèi)移動（如圖），故所表示的圖形是“圓角”正方形，面積為：
.
命題意圖：主要考查學(xué)生對集合語言的理解以及對解幾初步知識的運用能力，以線性規(guī)劃求面積問題的面目出現(xiàn)，考察了直線、圓及點集的表示。
（2）參數(shù)方程與普通方程問題（理）（09年安徽文科不作為考試內(nèi)容）
曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是（ ）
A、線段 B、雙曲線的一支 C、圓 D、射線
解題過程：消去參數(shù)可得D選項
命題意圖：參數(shù)方程在高考中只要求學(xué)生能化為普通方程即可。
（3）求參數(shù)的值問題（以圓錐曲線的離心率問
31、題為主，對大題考不到的圓錐曲線做以補充）
幾何參量
若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）
A． B． C． D．
解題過程：橢圓的右焦點為(1,0)，所以拋物線的焦點為(1,0)，則，故選D.
命題意圖： 本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì).
曲線的離心率
(1)橢圓的離心率e＝∈(0,1) (e越大則橢圓越扁);
(2) 雙曲線的離心率e＝∈(1, ＋∞) (e越大則雙曲線開口越大).
已知雙曲線的方程為，則雙曲線的交點坐標(biāo)為（ ），離心率為（ ）
32、解答過程： 所以焦點是，，離心率為2
命題意圖：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念.
小結(jié): 對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其對雙曲線的焦點位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會.
（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化問題（理）（09年安徽文科不作為考試內(nèi)容）
已知曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線， 相交于，兩點.
（Ⅰ）把曲線，的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求弦的長度.
解題過程：（Ⅰ）曲線：（）表示直線．曲線：，，
所以，即．
（Ⅱ）圓心（3，0）到直線的距離 ，，所以弦長=．
33、
命題意圖：極坐標(biāo)在高考中的要求較低，只要能把極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)進(jìn)行互化即可。
2、解答題
（1）解析幾何章節(jié)內(nèi)知識綜合問題
已知向量，動點M到定直線的距離等于，并且滿足，其中O為坐標(biāo)原點，K為參數(shù)；
（1）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（2）當(dāng)k=時，求的最大值和最小值；
（3）在（2）的條件下，將曲線向左平移一個單位，在x軸上是否存在一點P（m，0）使得過點P的直線交該曲線于D、E兩點、并且以DE為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由.
解題過程： （1）設(shè)，則由，
且O為原點得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
從而
34、代入得
為所求軌跡方程
當(dāng)K=1時，=0 軌跡為一條直線
當(dāng)K1時，，若K=0，則為圓 ；若K，則為雙曲線
（2）當(dāng)K=時，若或則為橢圓
方程為，即且
從而
又
當(dāng)時，取最小值，當(dāng) 時，取最大值16
故，
（3）在（2）的條件下，將曲線向左平移一個單位后曲線方程為
假設(shè)存在過P（m,0）直線滿足題意條件，不妨設(shè)過P（m,0）直線方程為
設(shè)D（x1,y1 ）,E(x2,y2 )， 消去x得：
即
由韋達(dá)定理，得
由于以
35、DE為直徑的圓都過原點則,即
又因為
即顯然能滿足
故當(dāng)
命題意圖：解析幾何大題在高考中以直線與圓錐曲線相交為背景，結(jié)合向量（向量起“表達(dá)”作用），考查求方程、最值、點的定位等問題。本題就是抓住這一特點進(jìn)行命題的。另外特別說一下，09安徽高考數(shù)學(xué)解析幾何大題要以橢圓為背景命題。
（2）解幾與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合問題
已知圓O的方程為過直線上的任意一點P作圓O的切線PA、PB．四邊形OABP的面積取得最小時的點P的坐標(biāo)（m，n）設(shè)．
（1）求證：當(dāng)恒成立；
（2）討論關(guān)于的方程： 根的個數(shù)．
解題過程：（1）＝．
當(dāng)取得最小值時取得最小，過點O 作垂直于直線，交點為，
36、
易得，∴．∴．
∴，∴在是單調(diào)增函數(shù)，
∴對于恒成立．
（2）方程，∴．
∵ ，∴ 方程為．令，
，當(dāng)上為增函數(shù)；
上為減函數(shù)，
當(dāng)時，
，
∴、在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，
∴①當(dāng)時，方程無解．
②當(dāng)時，方程有一個根．
③當(dāng)時，方程有兩個根．
命題意圖：解幾大題在高考中以解幾章節(jié)內(nèi)部知識綜合題為主，只有理科卷在高考中偶爾會有與導(dǎo)數(shù)函數(shù)綜合型的問題。本題就在這一點上立意命題。
高考資源網(wǎng)
2020屆新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 平面解析幾何練習(xí)
