《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末復(fù)習(xí)學(xué)案(含解析)新人教B版必修5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列章末復(fù)習(xí)學(xué)案(含解析)新人教B版必修5(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二章 數(shù)列章末復(fù)習(xí)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.整合知識(shí)結(jié)構(gòu),梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò),進(jìn)一步鞏固、深化所學(xué)知識(shí).2.熟練掌握解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題的基本技能.3.依托等差數(shù)列、等比數(shù)列解決一般數(shù)列的常見(jiàn)通項(xiàng)、求和等問(wèn)題.
1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本概念與公式
等差數(shù)列
等比數(shù)列
定義
如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示
如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)
遞推公式
an+
2、1-an=d
=q
中項(xiàng)
由三個(gè)數(shù)x,A,y組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列.這時(shí)A叫做x與y的等差中項(xiàng),并且A=
如果在x與y中間插入一個(gè)數(shù)G,使x,G,y成等比數(shù)列,那么G叫做x與y的等比中項(xiàng),且G=±
通項(xiàng)公式
an=a1+(n-1)d
an=a1qn-1
前n項(xiàng)和公式
Sn==na1+d
當(dāng)q≠1時(shí),Sn==,當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1
性質(zhì)
am,an的關(guān)系
am-an=(m-n)d
=qm-n
m,n,s,t∈N+,
m+n=s+t
am+an=as+at
aman=asat
性質(zhì)
{kn}是等差數(shù)列,且kn∈N+
{ }是等差數(shù)列
3、{}是等比數(shù)列
n=2k-1,k∈N+
S2k-1=(2k-1)·ak
a1a2·…·a2k-1=a
判斷方法
利用定義
an+1-an是同一常數(shù)
是同一常數(shù)
利用中項(xiàng)
an+an+2=2an+1
anan+2=a
利用通項(xiàng)公式
an=pn+q,其中p,q為常數(shù)
an=abn(a≠0,b≠0)
利用前n項(xiàng)和公式
Sn=an2+bn (a,b為常數(shù))
Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1或Sn=np(p為非零常數(shù))
2.數(shù)列中的基本方法和思想
(1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),分別用到了疊加法和疊乘法;
(2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的
4、前n項(xiàng)和時(shí),分別用到了倒序相加法和錯(cuò)位相減法.
(3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個(gè)量,已知其中任意三個(gè)求其余兩個(gè),用到了方程思想.
(4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調(diào)性,等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問(wèn)題時(shí),都用到了函數(shù)思想.
題型一 方程思想求解數(shù)列問(wèn)題
例1 等差數(shù)列{an}各項(xiàng)為正整數(shù),a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列{bn}中,b1=1且b2S2=64,{}是公比為64的等比數(shù)列,求{an},{bn}的通項(xiàng)公式.
解 設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正整數(shù),
an=3+(n-1)d,bn=qn-1.
依題意有
由q(6+d)=64知q為正有理數(shù),又由q=
5、知d為6的因子1,2,3,6之一,解①②得d=2,q=8,
故an=2n+1,bn=8n-1.
反思感悟 在等比數(shù)列和等差數(shù)列中,通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和公式Sn共涉及五個(gè)量:a1,an,n,q(d),Sn,其中首項(xiàng)a1和公比q(公差d)為基本量,“知三求二”是指將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于a1,an,n,q(d),Sn的方程組,通過(guò)方程的思想解出需要的量.
跟蹤訓(xùn)練1 記等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,設(shè)S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列,求Sn.
解 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
依題設(shè)有
即
解得或
因此Sn=n(3n-1)或Sn=2n(5-n),n∈N+.
題型二
6、轉(zhuǎn)化與化歸思想求解數(shù)列問(wèn)題
例2 在數(shù)列{an}中,Sn+1=4an+2,a1=1.
(1) 設(shè)cn=,求證:數(shù)列{cn}是等差數(shù)列;
(2) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式.
(1)證明 ∵Sn+1=4an+2, ①
∴當(dāng)n≥2,n∈N+時(shí),Sn=4an-1+2. ②
①-②得an+1=4an-4an-1.
方法一 對(duì)an+1=4an-4an-1兩邊同除以2n+1,得
=2-,
即+=2,
即cn+1+cn-1=2cn,
∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.
由Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,
則a2=3a1+2=5,
∴c1==,c2==,故公差
7、d=-=,
∴{cn}是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.
方法二 ∵an+1-2an=2an-4an-1=2(an-2an-1),
令bn=an+1-2an,
則{bn}是以a2-2a1=4a1+2-a1-2a1=3為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴bn=3·2n-1.
∵cn=,∴cn+1-cn=-=
===,
c1==,
∴{cn}是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.
(2)解 由(1)可知數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,
∴=+(n-1)=n-,
∴an=(3n-1)·2n-2.
∴Sn+1=4an+2=2n(3n-1)+2.
∴Sn=2n-1·(3n-4)+2(n≥2)
8、.
當(dāng)n=1時(shí),S1=1=a1,符合.
∴Sn=2+(3n-4)·2n-1(n∈N+).
反思感悟 由遞推公式求通項(xiàng)公式,要求掌握的方法有兩種,一種求法是先找出數(shù)列的前幾項(xiàng),通過(guò)觀察、歸納得出,然后證明;另一種是通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,再采用公式求出.
跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N+).
(1)求a2,a3的值;
(2)求證:數(shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列.
(1)解 ∵a1+2a2+3a3+…+nan
=(n-1)Sn+2n(n∈N+),
∴當(dāng)n=1時(shí),a1=2×1=2;
當(dāng)n=2時(shí),
9、a1+2a2=(a1+a2)+4,
∴a2=4;
當(dāng)n=3時(shí),a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,
∴a3=8.
(2)證明 ∵a1+2a2+3a3+…+nan
=(n-1)Sn+2n(n∈N+), ①
∴當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1
=(n-2)Sn-1+2(n-1). ②
①-②得nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2
=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2
=nan-Sn+2Sn-1+2.
∴-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2,
∴Sn+2=2(Sn-1+2).
∵S1+2=4≠0,∴Sn-
10、1+2≠0,∴=2,
故{Sn+2}是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
題型三 函數(shù)思想求解數(shù)列問(wèn)題
命題角度1 借助函數(shù)性質(zhì)解數(shù)列問(wèn)題
例3 一個(gè)等差數(shù)列{an}中,3a8=5a13,a1>0.若Sn為{an}的前n項(xiàng)和,則S1,S2,…,Sn中沒(méi)有最大值?請(qǐng)說(shuō)明理由.
解 因?yàn)榇说炔顢?shù)列不是常數(shù)列,所以其前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),我們可以利用配方法,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.設(shè){an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則有3(a1+7d)=5(a1+12d),所以d=-a1,所以Sn=na1+d=-n2a1+na1=-a1(n-20)2+a1,故n=20時(shí),Sn最大,即前20項(xiàng)
11、之和最大.
反思感悟 數(shù)列是一種特殊的函數(shù),在求解數(shù)列問(wèn)題時(shí),若涉及參數(shù)取值范圍、最值問(wèn)題或單調(diào)性時(shí),均可考慮采用函數(shù)的性質(zhì)及研究方法指導(dǎo)解題.值得注意的是數(shù)列定義域是正整數(shù)集或{1,2,3,…,n},這一特殊性對(duì)問(wèn)題結(jié)果可能造成影響.
跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-2019,問(wèn)這個(gè)數(shù)列前多少項(xiàng)的和最?。?
解 設(shè)an=2n-2 019,對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2x-2 019,易知y=2x-2 019在R上單調(diào)遞增,且當(dāng)y=0時(shí),x=,因此,數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,a1 009<0,a1 010>0,故當(dāng)1≤n≤1 009時(shí),an<0;當(dāng)n>1 009時(shí),an>0.
12、∴數(shù)列{an}中前1 009項(xiàng)的和最?。?
命題角度2 以函數(shù)為載體給出數(shù)列
例4 已知函數(shù)f(x)=,數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f,n∈N+.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn.
解 (1)∵an+1=f===an+,
∴an+1-an=,
∴{an}是以為公差的等差數(shù)列.
又a1=1,∴an=n+.
(2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1
=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)
=-(a2+a4+…+a2
13、n)
=-·=-(2n2+3n).
反思感悟 以函數(shù)為載體給出數(shù)列,只需代入函數(shù)式即可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問(wèn)題.
跟蹤訓(xùn)練4 設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)=________.
答案 2n2+3n
解析 設(shè)f(x)=kx+b(k≠0),又f(0)=1,則b=1,
所以f(x)=kx+1(k≠0).
又[f(4)]2=f(1)f(13),
所以(4k+1)2=(k+1)(13k+1),解得k=2.
所以f(x)=2x+1,則f(2n)=4n+1.
所以{f(2n)}是公差為4的等差數(shù)列.
所以f
14、(2)+f(4)+…+f(2n)==2n2+3n.
1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,則當(dāng)Sn取最小值時(shí),n等于( )
A.6B.7C.8D.9
答案 A
解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
∵a4+a6=-6,∴a5=-3,
∴d==2,∴a6=-1<0,a7=1>0,
故當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最小值時(shí),n等于6.
2.?dāng)?shù)列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,…的前99項(xiàng)和為( )
A.2100-101 B.299-101
C.2100-99 D.299-99
答案 A
解析 由數(shù)列
15、可知an=1+2+22+…+2n-1==2n-1,所以,前99項(xiàng)的和為S99=(2-1)+(22-1)+…+(299-1)=2+22+…+299-99=-99=2100-101.
3.在等比數(shù)列{an}中,已知a2=4,a6=16,則a4=________.
答案 8
解析 a=a2a6=4×16=64,∴a4=±8.
若a4=-8,則a=a2a4<0.∴a4=-8舍去.∴a4=8.
4.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且a1a5=4,則log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=________.
答案 5
解析 log2a1+log2a2+log2a
16、3+log2a4+log2a5=log2(a1a2…a5)=log2a,
又a1a5=a=4,且a3>0,∴a3=2.
∴l(xiāng)og2a=log225=5.
5.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n(n=1,2,3,…),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為________;數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第________項(xiàng).
答案 an=3n-16 3
解析 利用an=求得an=3n-16.
則nan=3n2-16n=3,
所以n=3時(shí),nan的值最?。?
1.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩種最基本的數(shù)列,也是高考中經(jīng)??疾椴⑶抑攸c(diǎn)考查的內(nèi)容之一,這類問(wèn)題多從數(shù)列的本質(zhì)入手,考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡(jiǎn)單運(yùn)算、通項(xiàng)公式、求和公式等問(wèn)題.
2.?dāng)?shù)列求和的方法:一般的數(shù)列求和,應(yīng)從通項(xiàng)入手,若無(wú)通項(xiàng),先求通項(xiàng),然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形,轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式,從而選擇合適的方法求和.
3.在求通項(xiàng)求和的基礎(chǔ)上,可以借助不等式、單調(diào)性等研究數(shù)列的最值、取值范圍、存在性問(wèn)題.
8