2020版高中數(shù)學 第一章 解三角形章末復習學案(含解析)新人教B版必修5

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1、第一章 解三角形章末復習 學習目標 1.整合知識結構,進一步鞏固、深化所學知識.2.掌握解三角形的基本類型,并能在幾何計算、測量應用中靈活分解組合.3.能解決三角形與三角變換、平面向量的綜合問題. 1.正弦定理及其推論 設△ABC的外接圓半徑為R,則 (1)===2R. (2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. (3)sinA=,sinB=,sinC=. (4)在△ABC中,A>B?a>b?sinA>sinB. 2.余弦定理及其推論 (1)a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC. (2)c

2、osA=;cosB=;cosC=. (3)在△ABC中,c2=a2+b2?C為直角;c2>a2+b2?C為鈍角;c2

3、所以BC==7. (2)已知△ABC中,若cosB=,C=,BC=2,則△ABC的面積為. 答案  反思感悟 利用正弦、余弦定理尋求三角形各元素之間的關系來解決三角形及其面積問題. 跟蹤訓練1 (1)在△ABC中,∠A=45°,AB=1,AC=2,則S△ABC的值為(  ) A.B.C.D.2 答案 B (2)已知銳角△ABC的面積為3,BC=4,CA=3,則角C的大小為(  ) A.75°B.60°C.45°D.30° 答案 D 解析 S=BC·AC·sin C=×4×3×sin C=3, ∴sin C=,∵三角形為銳角三角形. ∴C=30°. 題型二 幾何計算

4、例2 如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,E在AC上,若BE⊥AC,則ED=. 答案  解析 在Rt△ABC中,BC=3,AB=, 所以∠BAC=60°. 因為BE⊥AC,AB=,所以AE=. 在△EAD中,∠EAD=30°,AD=3, 由余弦定理知,ED2=AE2+AD2-2AE·AD·cos∠EAD=+9-2××3×=, 故ED=. 反思感悟 正確挖掘圖形中的幾何條件簡化運算是解題要點,善于應用正弦定理、余弦定理,只需通過解三角形,一般問題便能很快解決. 跟蹤訓練2 在△ABC中,∠B=120°,AB=,∠A的平分線AD=,則AC等于(  ) A.1B.2C.

5、D.2 答案 C 解析 如圖,在△ABD中,由正弦定理,得=, ∴sin∠ADB=. 由題意知0°<∠ADB<60°, ∴∠ADB=45°, ∴∠BAD=180°-45°-120°=15°. ∴∠BAC=30°,∠C=30°,BC=AB=. 在△ABC中,由正弦定理, 得=, ∴AC=. 題型三 實際應用 例3 如圖,已知在東西走向上有AM,BN兩個發(fā)射塔,且AM=100m,BN=200m,一測量車在塔底M的正南方向的點P處測得發(fā)射塔頂A的仰角為30°,該測量車向北偏西60°方向行駛了100m后到達點Q,在點Q處測得發(fā)射塔頂B的仰角為θ,且∠BQA=θ,經(jīng)計算,ta

6、nθ=2,求兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離. 解 在Rt△AMP中,∠APM=30°,AM=100 m, 所以PM=100 m,連接QM, 在△PQM中,∠QPM=60°, 又PQ=100 m, 所以△PQM為等邊三角形, 所以QM=100 m. 在Rt△AMQ中,由AQ2=AM2+QM2,得AQ=200 m. 在Rt△BNQ中,因為tan θ=2,BN=200 m, 所以BQ=100 m,cos θ=. 在△BQA中,BA2=BQ2+AQ2-2BQ·AQcos θ, 所以BA=100 m. 故兩發(fā)射塔頂A,B之間的距離是100 m. 反思感悟 實際應用問題的解決過程

7、實質上就是抽象成幾何計算模型,在此過程中注意術語如“北偏西60°”、“仰角”的準確翻譯,并轉換為解三角形所需邊、角元素. 跟蹤訓練3 如圖,從無人機A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時無人機的高是60m,則河流的寬度BC等于(  ) A.240(-1)m B.180(-1)m C.120(-1)m D.30(+1)m 答案 C 解析 如圖,在△ADC中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60m, 所以CD=AD·tan60°=60(m). 在△ABD中,∠BAD=90°-75°=15°, 所以BD=AD·tan15°=60(2-)(m)

8、. 所以BC=CD-BD=60-60(2-) =120(-1)(m).故選C. 題型四 三角形中的綜合問題 例4 a,b,c分別是銳角△ABC的內角A,B,C的對邊,向量p=(2-2sinA,cosA+sinA),q=(sinA-cosA,1+sinA),且p∥q,已知a=,△ABC的面積為,求b,c的大?。? 解 p=(2-2sin A,cos A+sin A),q=(sin A-cos A,1+sin A), 又p∥q,∴(2-2sin A)(1+sin A)-(cos A+sin A)·(sin A-cos A)=0, 即4sin2A-3=0, 又∠A為銳角,則sin A=

9、,∠A=60°, ∵△ABC的面積為,∴bcsin A=,即bc=6,① 又a=,∴7=b2+c2-2bccos A,∴b2+c2=13,② ①②聯(lián)立解得或 反思感悟 解三角形綜合問題的方法 (1)三角形中的綜合應用問題常常把正弦定理、余弦定理、三角形面積公式、三角恒等變換等知識聯(lián)系在一起,要注意選擇合適的方法、知識進行求解. (2)解三角形常與向量、三角函數(shù)及三角恒等變換知識綜合考查,解答此類題目,首先要正確應用所學知識“翻譯”題目條件,然后根據(jù)題目條件和要求選擇正弦或余弦定理求解. 跟蹤訓練4 在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,4sin2-cos2A=. (

10、1)求A的度數(shù); (2)若a=,b+c=3,求b和c的值. 解 (1)由4sin2-cos2A=及A+B+C=180°, 得2[1-cos(B+C)]-2cos2A+1=, 4(1+cosA)-4cos2A=5, 即4cos2A-4cosA+1=0, ∴(2cosA-1)2=0,解得cosA=. ∵0°

11、.5B.6C.7D.8 答案 C 解析 設角A,B,C的對邊分別為a,b,c,∵a+b+c=20, ∴b+c=20-a, 即b2+c2+2bc=400+a2-40a, ∴b2+c2-a2=400-40a-2bc,① 又cosA==,∴b2+c2-a2=bc.② 又S△ABC=bcsinA=10,∴bc=40.③ 由①②③可知a=7. 2.在△ABC中,已知cosA=,cosB=,b=3,則c=. 答案  解析 在△ABC中,∵cos A=>0,∴sin A=. ∵cos B=>0,∴sin B=. ∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sin

12、Acos B+cos Asin B=×+×=. 由正弦定理知=,∴c===. 3.在△ABC中,cos=,判斷△ABC的形狀. 解 由已知得cos2=, ∴2cos2-1=cosB,∴cosA=cosB, 又0

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