2019屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 模塊七 選考模塊 第21講 不等式選講學(xué)案 文

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1、第21講　不等式選講 1.[2017·全國卷Ⅰ] 已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范圍. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題角度　含絕對值的不等式的解法 含絕對值不等式的解題策略: 關(guān)鍵一:運用分類討論思想,根據(jù)零點分區(qū)間討論; 關(guān)鍵二:運用數(shù)形結(jié)合思想,利用絕對值的幾何意義求解.

2、 2.[2017·全國卷Ⅱ] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題角度　不等式的證明 不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式. 3.[2016·全國卷Ⅲ] 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a. (1)當(dāng)a=2時,求不等式f(x)≤6的解集; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|,

3、當(dāng)x∈R時,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范圍. [試做] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命題角度　關(guān)于含絕對值不等式的恒成立問題 解決恒成立問題主要利用轉(zhuǎn)化思想,其思路為: ①f(x)>a恒成立?f(x)min>a; ②f(x)a有解?f(x)max>a; ④f(x)a無解?f(x)max≤a; ⑥f(x)

4、的不等式的解法 1 設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-a|+5x,其中a>0. (1)當(dāng)a=3時,求不等式f(x)≥5x+1的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集為{x|x≤-1},求a的值. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考?？嫉暮薪^對值的不等式的解法: (1)利用零點分區(qū)間討論法.以絕對值的零點為分界點,將數(shù)軸分成幾個區(qū)間,運用分類討論思想對每個區(qū)間進(jìn)行討論. (2)利用絕對值的幾何意義求解.即運用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式

5、與在數(shù)軸上的距離(范圍)問題結(jié)合.解題時強(qiáng)調(diào)函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想的靈活應(yīng)用. (3)構(gòu)造函數(shù)去解決.一般是把含有絕對值的式子構(gòu)造為一個函數(shù),剩余的部分構(gòu)造成另一個函數(shù),畫出函數(shù)圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題. 【自我檢測】 已知函數(shù)f(x)=|x+m|+|2x-1|. (1)當(dāng)m=-1時,求不等式f(x)≤2的解集; (2)若f(x)≤|2x+1|的解集包含34,2,求實數(shù)m的取值范圍. 解答2不等式的證明 2 已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-4|. (1)若f(x)≤-m2+6m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍; (2)在(1)的條件下,設(shè)m的最大值為m0,

6、a,b,c均為正實數(shù),當(dāng)3a+4b+5c=m0 時,證明:a2+b2+c2≥12. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考場點撥】 高考中不等式證明的關(guān)注點: 不等式證明的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、公式法等,其中以比較法和綜合法最為常見,反證法和分析法也是我們常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是證明不等式的利器,又是求二元變量關(guān)系式最值的法寶. 【自我檢測】 已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-5|.

7、 (1)解關(guān)于x的不等式f(x)>6; (2)記f(x)的最小值為m,已知實數(shù)a,b,c 都是正實數(shù),且1a+12b+13c=m4,求證:a+2b+3c≥9. 解答3含絕對值不等式的恒成立問題 3 已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|2x-2|. (1)求不等式f(x)+1>0的解集; (2)當(dāng)x∈R時,f(x)<-x+a恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. [聽課筆記]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【考場點撥】 利用絕對值不等式恒成立求參數(shù)的值或范

8、圍,一般采用分離參數(shù)法,然后使用結(jié)論:(1)如f(x)>g(a)恒成立,則轉(zhuǎn)化為f(x)min>g(a);(2)如f(x)

9、-3x-4≤0,無解; 當(dāng)-1≤x≤1時,①式化為x2-x-2≤0,從而-1≤x≤1; 當(dāng)x>1時,①式化為x2+x-4≤0,從而1

10、a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+3(a+b)24(a+b)=2+3(a+b)34, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 3.解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3. 因此,f(x)≤6的解集為{x|-1≤x≤3}. (2)當(dāng)x∈R時,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 當(dāng)x=12時等號成立, 所以當(dāng)x∈R時,f(x)+g(x)≥3等價于|1-a|

11、+a≥3.① 當(dāng)a≤1時,①等價于1-a+a≥3,無解. 當(dāng)a>1時,①等價于a-1+a≥3,解得a≥2. 所以a的取值范圍是[2,+∞). 考點考法探究 解答1 例1　解:(1)當(dāng)a=3時,不等式f(x)≥5x+1即|2x-3|+5x≥5x+1,即|2x-3|≥1,解得x≥2或x≤1, ∴不等式f(x)≥5x+1的解集為{x|x≤1或x≥2}. (2)由f(x)≤0得|2x-a|+5x≤0, 即x≥a2,7x-a≤0或x0,∴不等式f(x)≤0的解集為xx≤-a3, 由題意得-a3=-1,解得a=3. 【自我檢測】 解:(1)當(dāng)m=-

12、1時,f(x)=|x-1|+|2x-1|. ①當(dāng)x≥1時,f(x)=3x-2≤2,此時1≤x≤43; ②當(dāng)12

13、解答2 例2　解:(1)不等式f(x)≤-m2+6m恒成立等價于f(x)max≤-m2+6m, 而f(x)=|x+1|-|x-4|≤|x+1-(x-4)|=5, ∴-m2+6m≥5,∴1≤m≤5, 即實數(shù)m的取值范圍為[1,5]. (2)證明:在(1)的條件下,m的最大值m0=5,即3a+4b+5c=5, 由柯西不等式得(a2+b2+c2)·(9+16+25)≥(3a+4b+5c)2, 即50(a2+b2+c2)≥25, ∴a2+b2+c2≥12. 【自我檢測】 解:(1)f(x)=|x-1|+|x-5|,所以由f(x)>6得 x<1,1-x+5-x>6或1≤x≤5,x-

14、1+5-x>6或x>5,x-1+x-5>6, 解得x<0或x>6, 所以不等式f(x)>6的解集為(-∞,0)∪(6,+∞). (2)證明:由f(x)=|x-1|+|x-5|≥|x-1-(x-5)|=4(當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤5時取等號), 得f(x)min=4,即m=4,從而1a+12b+13c=1, 所以a+2b+3c=1a+12b+13c(a+2b+3c)=3+a2b+2ba+a3c+3ca+2b3c+3c2b≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=3c=3時取等號). 解答3 例3　解:(1)當(dāng)x≤1時,f(x)=x, ∴f(x)+1>0即為x+1>0,解得x>-1,此時-1

15、10即為-3x+5>0,解得x<53,此時12時,f(x)=-x, ∴f(x)+1>0即為-x+1>0,解得x<1,此時x∈?. 綜上可知,f(x)+1>0的解集為x-12. 作出y=f(x)的圖像,如圖所示: 結(jié)合圖像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需當(dāng)x=1時,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2, ∴實數(shù)a的取值范圍為(2,+∞). 【自我檢測】 解:(1)∵f(x)=|x+a|+|x-3a|

16、≥|(x+a)-(x-3a)|=4|a|, 且f(x)min=4,∴4|a|=4, 解得a=±1. (2)由題知|m|2-4|m|≤4|a|, 又a是存在的且a∈[-2,3]. ∴|m|2-4|m|≤4|a|max=12, 即|m|2-4|m|-12≤0,即(|m|-6)(|m|+2)≤0, ∴|m|≤6, ∴-6≤m≤6,即實數(shù)m的取值范圍為[-6,6]. [備選理由] 在不等式的證明中,反證法也是解決問題的一個重要思路,備用例1是對例2應(yīng)用的一個補(bǔ)充. 例1　[配例2使用] 已知函數(shù)f(x)=|2x-a|,g(x)=x+2,a∈R. (1)當(dāng)a=1時,求不等式

17、f(x)+f(-x)≤g(x)的解集; (2)若b∈R,求證:fb2,f-b2,f12中至少有一個不小于12. 解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)+f(-x)≤g(x)即|2x-1|+|2x+1|≤x+2, 所以x≤-12,-4x≤x+2,無解;-12