（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)與導數(shù) 第2講 函數(shù)與方程學案

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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)與導數(shù) 第2講 函數(shù)與方程學案 [考情考向分析]　求函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)． 熱點一　函數(shù)的零點 1．零點存在性定理 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函數(shù)的零點與方程根的關系 函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y

2、＝g(x)的圖象交點的橫坐標． 例1　(1)已知f(x)＝＋x－，則y＝f(x)的零點個數(shù)是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　C 解析　令＋x－＝0，化簡得2|x|＝2－x2，畫出y1＝2|x|，y2＝2－x2的圖象，由圖可知，圖象有兩個交點，即函數(shù)f(x)有兩個零點． (2)關于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0(t∈R)的不等實根的個數(shù)為(　　) A．1 B．3 C．5 D．1或5 答案　B 解析　設f(x)＝(x2－2x)ex，則f′(x)＝(x＋)(x－)ex，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上單

3、調(diào)遞增，在(－，)上單調(diào)遞減，且當x→－∞時，f(x)→0，f(－)＝(2＋2) f(0)＝0，f()＝(2－2)當x→＋∞，f(x)→＋∞，由此畫出函數(shù)y＝f(x)的草圖，如圖所示． 關于x的方程(x2－2x)2e2x－(t＋1)(x2－2x)ex－4＝0， 令u＝f(x)，則u2－(t＋1)u－4＝0，Δ＝(t＋1)2＋16>0，故有兩個不同的解u1，u2， 又u1u2＝f(－)f()＝－4， 所以不等實根的個數(shù)為3. 思維升華　函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有 (1)函數(shù)零點大致存在區(qū)間的確定． (2)零點個數(shù)的確定． (3)兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個

4、交點的確定． 解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結合法，尤其是方程兩端對應的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結合法求解． 跟蹤演練1　(1)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x)＝且f(x＋1)＝f(x－1)，若g(x)＝3－log2x，則函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)內(nèi)的零點有(　　) A．3個 B．2個 C．1個 D．0個 答案　B 解析　由f(x＋1)＝f(x－1)得f(x)的周期為2，作函數(shù)f(x)和g(x)的圖象， 圖中，g(3)＝3－log23>1＝f(3)， g(5)＝3－log25<1＝f(5)， 可得有兩個交點，所以

5、選B. (2)已知函數(shù)f(x)滿足：①定義域為R；②?x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③當x∈[－1,1]時，f(x)＝－|x|＋1，則方程f(x)＝log2|x|在區(qū)間[－3,5]內(nèi)解的個數(shù)是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 答案　A 解析　畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解． 熱點二　函數(shù)的零點與參數(shù)的范圍 解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關鍵是利用函數(shù)與方程思想或數(shù)形結合思想，構建關于參數(shù)的方程或不等式求解． 例2　(1)(2018·浙江省重點中學聯(lián)考)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝若存在三個互不相等的實數(shù)x1，x2，x3，使得＝

6、＝＝－e成立，則a的取值范圍是________． 答案　(－∞，－2) 解析　＝＝＝－e成立，等價于方程f(x)＝－ex有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－ex有三個不同的交點，易知直線y＝－ex與y＝e－x的圖象相切，已有一個交點，只需直線y＝－ex與曲線y＝a＋(x>0)有兩個不同的交點即可，由－ex＝a＋，得ex2＋ax＋1＝0，∴Δ＝a2－4e>0，解得a>2或a<－2，又方程的兩個根之和為正數(shù)，故－>0，∴a<0.綜上所述，a<－2. (2)(2018·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取

7、值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　C 解析　令h(x)＝－x－a， 則g(x)＝f(x)－h(huán)(x)． 在同一坐標系中畫出y＝f(x)，y＝h(x)圖象的示意圖，如圖所示． 若g(x)存在2個零點，則y＝f(x)的圖象與y＝h(x)的圖象有2個交點，平移y＝h(x)的圖象可知，當直線y＝－x－a過點(0,1)時，有2個交點， 此時1＝－0－a，a＝－1. 當y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1時，僅有1個交點，不符合題意； 當y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1時，有2個交點，符合題意．

8、 綜上，a的取值范圍為[－1，＋∞)． 故選C. 思維升華　(1)方程f(x)＝g(x)根的個數(shù)即為函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)圖象交點的個數(shù)． (2)關于x的方程f(x)－m＝0有解，m的范圍就是函數(shù)y＝f(x)的值域． 跟蹤演練2　(1)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個零點，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1)∪(1,2) D．(－∞，1) 答案　A 解析　∵函數(shù)f(x)＝(a∈R)在R上有兩個零點，且x＝是函數(shù)f(x)的一個零點， ∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一個解， 再根據(jù)當x∈(－∞，

9、0]時，0<2x≤20＝1，可得00時，f(x)＝，則f′(x)＝(x>0)， 故f(1)＝為f(x)在(0，＋∞)上的最大值． 設t＝f(x)，t2－(m＋1)t＋1－m＝0 有兩個根t1，t2， 由圖可知，對應兩個x值的t值只有一個， 故可設t1對應一個x值，t2對應3個x值． 情況為或 當屬于第一種情況時，將0代入方程得m＝1， 此時

10、二次方程t2－(m＋1)t＋1－m＝0的根是確定的，一個為0，一個為2>，不符合第一種情況的要求； 當屬于第二種情況時， 即0，x∈R)．若f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒有零點，則ω的取值范圍是______________． 答案　∪ 解析　f(x)＝＋sin ωx－ ＝(sin ωx－cos ωx)＝sin. 因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒有零點， 所以>2π－π，所以>π，所以0<ω<1. 當x∈(π，2π)時，ωx－∈，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)有零點，

11、 則ωπ－

12、0,1]時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意． (2)當m>1時，0<<1，如圖②， 要使f(x)與g(x)的圖象在[0,1]上只有一個交點， 只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2， 解得m≥3或m≤0(舍去)． 綜上所述，m∈(0,1]∪[3，＋∞)． 3．(2017·江蘇)設f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，則方程f(x)－lg x＝0的解的個數(shù)是________． 答案　8 解析　由于f(x)∈[0,1)，則只需考慮1≤x<10的情況，在此范圍內(nèi)，當x∈Q，且x?Z時，設x＝，p，q∈N*，p≥2且

13、p，q互質(zhì)．若lg x∈Q，則由lg x∈(0,1)，可設lg x＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互質(zhì)．因此＝， 則10n＝m，此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾．因此lg x?Q，因此lg x不可能與每個周期內(nèi)x∈D對應的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內(nèi)x?D部分的交點，畫出函數(shù)草圖．圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標均為無理數(shù)，屬于每個周期內(nèi)x?D部分，且x＝1處(lg x)′＝＝<1，則在x＝1附近僅有1個交點，因此方程解的個數(shù)為8. 押題預測 1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 押題依據(jù)　函數(shù)的零點是

14、高考的一個熱點，利用函數(shù)圖象的交點確定零點個數(shù)是一種常用方法． 答案　B 解析　令2sin πx－x＋1＝0，則2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，則f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)h(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)問題．h(x)＝2sin πx的最小正周期為T＝＝2，畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，因為h(1)＝g(1)，h>g，g(4)＝3>2，g(－1)＝－2，所以兩個函數(shù)圖象的交點一共有5個，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為5. 2．已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個不同的零點，

15、則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1,1) B．[0,2] C．(－2,2] D．[－1,2) 押題依據(jù)　利用函數(shù)零點個數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點個數(shù)，進而確定參數(shù)范圍，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結合思想． 答案　D 解析　g(x)＝f(x)－2x＝要使函數(shù)g(x)恰有三個不同的零點，只需g(x)＝0恰有三個不同的實數(shù)根， 所以或 所以g(x)＝0的三個不同的實數(shù)根為x＝2(x>a)， x＝－1(x≤a)，x＝－2(x≤a)． 再借助數(shù)軸，可得－1≤a<2. 所以實數(shù)a的取值范圍是[－1,2)，故選D. 3．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且當0

16、≤x≤2時，f(x)＝min{－x2＋2x,2－x}，若方程f(x)－mx＝0恰有兩個實根，則m的取值范圍是(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 押題依據(jù)　在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，先研究特殊位置，結合函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結合法，構建關于參數(shù)的不等式(組)求解． 答案　C 解析　當0≤x<1時，－x2＋2x<2－x，當1≤x≤2時，－x2＋2x≥2－x，所以f(x)＝又因為f(x)是偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，直線y＝mx與y＝－x2＋2x的圖象相切時，m＝2，直線y＝mx經(jīng)過點(3,1)時，與函數(shù)f(x)的圖象有三個交點，此

17、時m＝，故x≥0時，要使方程f(x)－mx＝0恰有兩個實根，則0，f?＝－>0，f?＝－<0，f?f?<0， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)必有零點，故選B. 2．(2018·紹興市柯橋區(qū)模擬)已知x0是函數(shù)f(x)＝e－x＋的零點，若x1∈(0，x0)，x2∈(x0,2)，則(　　) A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1

18、)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 答案　C 解析　函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠2}，又e－x>0，且x<2時，<0，故f(x)的零點x0∈(－∞，2)，求導得f′(x)＝－e－x－<0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，2)，(2，＋∞)上單調(diào)遞減，由0f(x0)>f(x2)，即f(x1)>0，f(x2)<0，故選C. 3．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當x>0時，f(x)＝2x＋2x－4，則f(x)的零點個數(shù)是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 答案　B 解析　由

19、于函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 故f(0)＝0. 由于f?·f(2)<0， 而函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 故當x>0時有1個零點，根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知， 當x<0時，也有1個零點．故一共有3個零點． 4．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x－(x<0)與g(x)＝x2＋log2(x＋a)的圖象上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－) B．(－∞，) C. D. 答案　B 解析　f(x)＝x2＋2x－(x<0)， 當x>0時，－x<0，f(－x)＝x2＋2－x－(x>0)， 所以f(x)關于y軸對稱的函數(shù)為h(x)＝f(－x)

20、＝x2＋2－x－(x>0)， 由題意得x2＋2－x－＝x2＋log2(x＋a)在x>0時有解，作出函數(shù)的圖象如圖所示， 當a≤0時，函數(shù)y＝2－x－與y＝log2(x＋a)的圖象在(0，＋∞)上必有交點，符合題意， 若a>0，若兩函數(shù)在(0，＋∞)上有交點，則log2a<， 解得0

21、|＋|2x|，f(2x－1)＝f(x)?|2x－2|＋|2x－1|＋|2x|＝|x－1|＋|x|＋|x＋1|，即|x－1|＋|x|＋|2x－1|－|x＋1|＝0，設g(x)＝|x－1|＋|x|＋|2x－1|－|x＋1|，則g(x)＝令g(x)＝0，解得x＝或x＝1， 所以方程f(2x－1)＝f(x)所有根的和是＋1＝，故選C. 6．已知函數(shù)f(x)＝則方程f(f(x))－2＝0的實根個數(shù)為(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 答案　C 解析　令t＝f(x)，則方程f(f(x))－2＝0等價于f(t)－2t－＝0，在同一平面直角坐標系中作出f(x)與直線y＝2x＋的圖象，

22、 由圖象可得有兩個交點，且f(t)－2t－＝0的兩根分別為t1＝0和1

23、)在(－1,4]上有3個零點， 因此在區(qū)間(－1,9]上只有3個零點， 且在(－1,0)上有1個零點，在[0,9]上有2個零點且不在區(qū)間端點處．而2 019＝201×10＋9， 故在區(qū)間[0,2 019]上共有201×3＋2＝605(個)零點． 8．已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)－kx(k∈R)． ①當k＝1時，函數(shù)g(x)有________個零點； ②若函數(shù)g(x)有3個零點，則k的取值范圍是________． 答案　1　 解析?、佼攌＝1時，g(x)＝0，即f(x)＝x， 當0

24、(舍去)或1(舍去)， 綜上，g(x)的零點個數(shù)為1. ②若函數(shù)g(x)有3個零點，則k≠0. 當x≥π時，＝kx(k>0)，最多有1個解， 即有x＝≥π，解得0

25、] 解析　由題意知，函數(shù)f(x)的零點為x＝2， 設g(x)滿足|2－μ|≤1的零點為μ， 因為|2－μ|≤1，解得1≤μ≤3. 因為函數(shù)g(x)的圖象開口向上， 所以要使g(x)的一個零點落在區(qū)間[1,3]上， 則需滿足g(1)g(3)≤0或 解得≤a≤4或3≤a<，得3≤a≤4. 故實數(shù)a的取值范圍為[3,4]． 10．(2018·浙江)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝當λ＝2時，不等式f(x)<0的解集是________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________． 答案　(1,4)　(1,3]∪(4，＋∞) 解析　當λ＝2時，f(x)＝ 其圖象如圖(

26、1)． 由圖知f(x)<0的解集為(1,4)． f(x)＝恰有2個零點有兩種情況：①二次函數(shù)有兩個零點，一次函數(shù)無零點；②二次函數(shù)與一次函數(shù)各有一個零點． 在同一平面直角坐標系中畫出y1＝x－4與y2＝x2－4x＋3的圖象，如圖(2)，平移直線x＝λ，可得λ∈(1,3]∪(4，＋∞)． B組　能力提高 11．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)＝若關于x的方程f(x)－a＝0(0

27、)＝log2(1－x)； 當x∈(－∞，－1]時，f(x)＝－f(－x)＝－(1－|－x－3|)＝|x＋3|－1，所以函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，令g(x)＝f(x)－a，函數(shù)g(x)的零點即為函數(shù)y＝f(x)與y＝a的交點，如圖所示，共5個．當x∈(－∞，－1]時，令|x＋3|－1＝a，解得x1＝－4－a，x2＝a－2，當x∈(－1,0)時，令log2(1－x)＝a，解得x3＝1－2a；當x∈[1，＋∞)時，令1－|x－3|＝a，解得x4＝4－a，x5＝a＋2，所以所有零點之和為x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝－4－a＋a－2＋1－2a＋4－a＋a＋2＝1－2a＝1－，∴a＝. 12．

28、若函數(shù)f(x)＝ax＋ln x－有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　函數(shù)f(x)＝ax＋ln x－有3個不同的零點， 等價于a＝－，x∈(0，＋∞)有3個不同解， 令g(x)＝－，x∈(0，＋∞)， 則g′(x)＝－ ＝， 當x∈(0，＋∞)時，令y＝2x－ln x， 則y′＝2－＝， 當x∈時，y′<0，y單調(diào)遞減； 當x∈時，y′>0，y單調(diào)遞增， 則ymin＝1－ln＝1＋ln 2>0， 則當x∈(0，＋∞)時，恒有2x－ln x>0， 令g′(x)＝0，得x＝1或x＝e， 且x∈(0,1)時，g

29、′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減； x∈時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增； x∈時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減， 則g(x)的極小值為g(1)＝1， g(x)的極大值為g(e)＝－， 當x→0時，g(x)→＋∞， 當x→＋∞時，g(x)→1. 結合函數(shù)圖象(圖略)可得， 當1

30、3，則x1x2x3的取值范圍為________． 答案　(1－，0) 解析　f(x)＝|x|(2－x)＝ 如圖所示，關于x的方程f(x)＝m恰有三個互不相等的實根x1，x2，x3， 即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m有三個不同的交點，則00時，由對稱性知， x2＋x3＝2,0

31、_______，函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點有________個．(用數(shù)字作答) 答案　1　3 解析　f(e)＝ln e＝1.函數(shù)y＝f(f(x))－1的零點個數(shù)為方程f(f(x))＝1的根的個數(shù)，則①由ln x＝1(x≥1)，得x＝e，于是f(x)＝e，則由ln x＝e(x≥1)，得x＝ee；由ef(|x|＋1)＝e(x<1)，得f(|x|＋1)＝1， 所以ln(|x|＋1)＝1，解得x＝e－1(舍去)或x＝1－e；②由ef(|x|＋1)＝1(x<1)，得f(|x|＋1)＝0， 所以ln(|x|＋1)＝0，解得x＝0，所以f(x)＝0， 只有l(wèi)n x＝0(x≥1)，解得x＝1.綜上可知，函數(shù)y＝f(f(x))－1有x＝ee,1－e,1，共3個零點．