2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第三節(jié) 圓的方程學(xué)案 理（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　圓的方程 2019考綱考題考情 1．圓的定義 (1)在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫圓。 (2)確定一個(gè)圓最基本的要素是圓心和半徑。 2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中(a，b)為圓心坐標(biāo)，r為半徑。 3．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F＞0，其中圓心為，半徑r＝。 4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系有三種。 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)， (1)點(diǎn)在圓上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2。 (2)點(diǎn)在圓外：(x0－a

2、)2＋(y0－b)2＞r2。 (3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2。 1．圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2。 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0。 3．二元二次方程表示圓的條件 對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時(shí)易忽視D2＋E2－4F>0這一條件。 一、走進(jìn)教材 　　　　　　　　　　　 1．(必修2P124A組T1改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是(　　) A．(2,3) B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，

3、－3) 解析　圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)。故選D。 答案　D 2．(必修2P120例3改編)過(guò)點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，且圓心在直線(xiàn)x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析　設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，因?yàn)閳A心C在直線(xiàn)x＋y－2＝0上，所以b＝2－a。因?yàn)閨CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2。所以a＝1，b＝1。所以

4、r＝2。所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4。故選C。 解析：因?yàn)锳(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂線(xiàn)方程為y＝x。由得所以圓心坐標(biāo)為(1,1)，r＝＝2。則圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4。 答案　C 二、走近高考 3．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______。 解析　設(shè)圓心為(t,0)(t>0)，則半徑為4－t，所以4＋t2＝(4－t)2，解得t＝，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝。 答案　2＋y2＝ 4．(2016·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C

5、上，且圓心到直線(xiàn)2x－y＝0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)_______。 解析　設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，根據(jù)題意得＝，解得a＝2(a＝－2舍去)，所以圓的半徑r＝＝3，所以圓的方程為(x－2)2＋y2＝9。 答案　(x－2)2＋y2＝9 三、走出誤區(qū) 微提醒：①忽視表示圓的充要條件D2＋E2－4F>0；②錯(cuò)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定；③忽視圓的方程中變量的取值范圍。 5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圓，則m的取值范圍是(　　) A．(－∞，－)∪(，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－∞，－)∪(，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解

6、析　將x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得2＋(y－1)2＝－2。由其表示圓可得－2>0，解得m<－2或m>2。 答案　B 6．若點(diǎn)(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a(chǎn)＞1或a＜－1 D．a(chǎn)＝±4 解析　因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓內(nèi)，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，即－1＜a＜1。故選A。 答案　A 7．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足(x－2)2＋y2＝4，則3x2＋4y2的最大值為_(kāi)_______。 解析　由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4，所以3x2＋4y

7、2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64(0≤x≤4)，所以當(dāng)x＝4時(shí)，3x2＋4y2取得最大值48。 答案　48 考點(diǎn)一圓的方程 【例1】　(1)過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線(xiàn)x－y－1＝0相切于點(diǎn)B(2,1)，則圓C的方程為_(kāi)_______。 (2)已知圓C經(jīng)過(guò)P(－2,4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6，則圓C的方程為_(kāi)_______。 解析　(1)由已知kAB＝0，所以AB的中垂線(xiàn)方程為x＝3①。過(guò)B點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)x－y－1＝0的直線(xiàn)方程為y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0②，聯(lián)立①②，解得所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑r＝＝

8、，所以圓C的方程為(x－3)2＋y2＝2。 解析：設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因?yàn)辄c(diǎn)A(4,1)，B(2,1)在圓上，故又因?yàn)椋剑?，解得a＝3，b＝0，r＝，故所求圓的方程為(x－3)2＋y2＝2。 (2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③。設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36④，聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0。故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝

9、0。 答案　(1)(x－3)2＋y2＝2　(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0 求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程．一般來(lái)說(shuō)，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量。確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且垂直切線(xiàn)的直線(xiàn)上；②圓心在任一弦的中垂線(xiàn)上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線(xiàn)。(2)代數(shù)法：即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解。 【變式訓(xùn)練】　(1)(2019·珠海聯(lián)考)已知圓C與直線(xiàn)x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圓心在直線(xiàn)x＋y＝0上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x＋1)2

10、＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 (2)(2019·河南豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線(xiàn)x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2 C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16 解析　(1)由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，則有＝即|a|＝|a－2|，解得a＝1。故圓心坐標(biāo)為(1，－1)，半徑r＝＝，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2。

11、故選B。 (2)直線(xiàn)x－by＋2b＋1＝0過(guò)定點(diǎn)P(－1,2)，如圖。所以圓與直線(xiàn)x－by＋2b＋1＝0相切于點(diǎn)P時(shí)，圓的半徑最大，為，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2。故選B。 答案　(1)B　(2)B 考點(diǎn)二與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題 【例2】　已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)。 (1)求線(xiàn)段AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程。 解　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)。 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2

12、＝4。 故線(xiàn)段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1，(x≠2)。 (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)。 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|。 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4。 整理得x2＋y2－x－y－1＝0， 故線(xiàn)段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為 x2＋y2－x－y－1＝0。 求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同，常采用以下方法： 1．直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程。 2．定義法：根據(jù)圓、直線(xiàn)等定義列方程。 3．幾何法：利用圓

13、的幾何性質(zhì)列方程。 4．代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式等。 【變式訓(xùn)練】　自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點(diǎn)P(x，y)引該圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為Q，PQ的長(zhǎng)度等于點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 解析　由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3，－4)，半徑r＝2，如圖。因?yàn)閨PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點(diǎn)P的軌跡方程為6x－

14、8y－21＝0，故選D。 答案　D 考點(diǎn)三與圓有關(guān)的最值問(wèn)題微點(diǎn)小專(zhuān)題 方向1：借助幾何性質(zhì)求最值 【例3】　已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則(1)的最大值和最小值分別為_(kāi)_______和________； (2)y－x的最大值和最小值分別為_(kāi)_______和________； (3)x2＋y2的最大值和最小值分別為_(kāi)_______和________。 解析　原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓。 (1)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx。當(dāng)直線(xiàn)y＝kx與圓相切時(shí)(如圖)，斜率k取最大值或最小值，

15、此時(shí)＝，解得k＝±。所以的最大值為，最小值為－。 (2)令y－x＝b，則y－x可看作是直線(xiàn)y＝x＋b在y軸上的截距。如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2±，所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－。 (3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方。由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值。又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4。 答案　(1)?。?2)－2＋　－2－ (3)7＋4　7－4 借助幾何性質(zhì)求與圓有關(guān)的最值問(wèn)題

16、，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結(jié)合思想求解。 1．形如μ＝形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)斜率的最值問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。 2．形如t＝ax＋by形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線(xiàn)截距的最值問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題。 3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題。 方向2：建立函數(shù)關(guān)系求最值 【例4】　(2019·廈門(mén)模擬)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2,0)，B(－2,0)，則·的最大值為_(kāi)_______。 解析　由題意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y), 所以·＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(

17、x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿(mǎn)足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12。由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，當(dāng)y＝4時(shí)，·的值最大，最大值為6×4－12＝12。 答案　12 根據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)知識(shí)或基本不等式求最值。 【題點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】　 1．(方向1)已知兩點(diǎn)A(0，－3)，B(4,0)，若點(diǎn)P是圓C：x2＋y2－2y＝0上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的面積的最小值為(　　) A．6 B． C．8 D． 解析　x2＋y2－2y＝0可化為x2＋(y－1)2＝1，則圓C

18、為以(0,1)為圓心，1為半徑的圓。如圖，過(guò)圓心C向直線(xiàn)AB作垂線(xiàn)交圓于點(diǎn)P，連接BP，AP，這時(shí)△ABP的面積最小，直線(xiàn)AB的方程為＋＝1，即3x－4y－12＝0，圓心C到直線(xiàn)AB的距離d＝，又|AB|＝＝5，所以△ABP的面積的最小值為×5×＝。 答案　B 2．(方向2)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足(x－2)2＋(y－1)2＝1，則z＝的最大值與最小值分別為_(kāi)_______和________。 解析　由題意，得表示過(guò)點(diǎn)A(0，－1)和圓(x－2)2＋(y－1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)(x，y)的直線(xiàn)的斜率。當(dāng)且僅當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，直線(xiàn)的斜率分別取得最大值和最小值。設(shè)切線(xiàn)方程為y＝kx－1，即kx－y

19、－1＝0，則＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝。 答案　　 3．(方向2)已知圓O：x2＋y2＝9，過(guò)點(diǎn)C(2,1)的直線(xiàn)l與圓O交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，直線(xiàn)l的方程為(　　) A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0 B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0 C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0 D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0 解析　當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝2，則P，Q的坐標(biāo)為(2，)，(2，－)，所以S△OPQ＝×2×2＝2。當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)，則圓心到直線(xiàn)PQ的距離d＝，由平面幾何知識(shí)得|PQ|

20、＝2，S△OPQ＝·|PQ|·d＝·2·d＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)9－d2＝d2，即d2＝時(shí)，S△OPQ取得最大值。因?yàn)?<，所以S△OPQ的最大值為，此時(shí)＝，解得k＝－1或k＝－7，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0。故選D。 答案　D 四點(diǎn)共圓問(wèn)題的求解策略 四點(diǎn)共圓問(wèn)題本屬于平面幾何內(nèi)容，是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的高頻考點(diǎn)，近年來(lái)，圓錐曲線(xiàn)中的四點(diǎn)共圓問(wèn)題也頻頻出現(xiàn)在高考試題中。 【典例】　已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y＝4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|＝|PQ|。 (1)求拋物線(xiàn)C的方程； (2)過(guò)F的直線(xiàn)l與C相交于A，B兩點(diǎn)，若A

21、B的垂直平分線(xiàn)l′與C相交于M，N兩點(diǎn)，且A，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程。 【解】　(1)設(shè)Q(x0,4)，代入y2＝2px，得x0＝，又P(0，4)，所以|PQ|＝。又|QF|＝＋x0＝＋，且|QF|＝|PQ|，所以＋＝·，解得p＝2(p＝－2舍去)，所以，拋物線(xiàn)C的方程為y2＝4x。 (2)因?yàn)锳，M，B，N四點(diǎn)在同一圓上，弦AB的垂直平分線(xiàn)必過(guò)圓心，又MN垂直平分AB，所以MN是圓的直徑，則MN的中點(diǎn)E就是這個(gè)圓的圓心，所以|AE|＝|BE|＝|MN|。 依題意可知，直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸不垂直，故可設(shè)l的方程為x＝my＋1。 由得y2－4my－4＝0。 設(shè)A(x1，y1

22、)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4。 故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為D(2m2＋1,2m)， |AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1)。 又l′與l垂直，故可得直線(xiàn)l′的方程為x＝－y＋2m2＋3，與y2＝4x聯(lián)立可得： y2＋y－4(2m2＋3)＝0。 設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)， 則y3＋y4＝－，y3y4＝－8m2－12。 故線(xiàn)段MN的中點(diǎn)為E， |MN|＝|y3－y4|＝。 在直角△ADE中，由勾股定理得 |AD|2＋|DE|2＝|AE|2， 所以|AB|2＋4|DE|2＝|MN|2，即 4(m2＋1)2＋2＋2 ＝， 解得m＝±1。 故所求直線(xiàn)l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0。 本題中，MN的中點(diǎn)E就是A，M，B，N四點(diǎn)所在圓的圓心，故可將四點(diǎn)共圓的條件轉(zhuǎn)化為圓心E到四點(diǎn)的距離相等，從而得到|AE|＝|BE|＝|MN|，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D、線(xiàn)段MN的中點(diǎn)E的坐標(biāo)以及|AB|和|MN|，這是解析幾何中的常規(guī)問(wèn)題，通常是聯(lián)立方程組后結(jié)合韋達(dá)定理來(lái)處理，但計(jì)算量較大。 10