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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)與導數(shù) 規(guī)范答題示例9 導數(shù)與不等式的恒成立問題學案
典例9 (15分)設函數(shù)f(x)＝emx＋x2－mx.
(1)證明：f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
(2)若對于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范圍．
審題路線圖 (1)―→―→
(2)―→ ―→―→―→―→
規(guī) 范 解 答·分 步 得 分
構(gòu) 建 答 題 模 板
(1)證明 f′(x)＝m(emx－1)＋2x.1分
若m≥0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1≤0，f′(x)<0；
當x∈
2、(0，＋∞)時，emx－1≥0，f′(x)>0.
若m<0，則當x∈(－∞，0)時，emx－1>0，f′(x)<0；
當x∈(0，＋∞)時，emx－1<0，f′(x)>0.4分
所以f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.6分
(2)解 由(1)知，對任意的m，f(x)在[－1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，
故f(x)在x＝0處取得最小值．
所以對于任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1的充要條件是
8分
即①
設函數(shù)g(t)＝et－t－e＋1，則g′(t)＝et－1.10分
當t<0時，g′(t)<0；當t>0時，
3、g′(t)>0.
故g(t)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
又g(1)＝0，g(－1)＝e－1＋2－e<0，故當t∈[－1,1]時，g(t)≤0.
當m∈[－1,1]時，g(m)≤0，g(－m)≤0，即①式成立；12分
當m>1時，由g(t)的單調(diào)性，得g(m)>0，即em－m>e－1；
當m<－1時，g(－m)>0，即e－m＋m>e－1.14分
綜上，m的取值范圍是[－1,1].15分
第一步
求導數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f′(x)．
第二步
定區(qū)間：根據(jù)f′(x)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性．
第三步
尋條件：一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值
4、問題．
第四步
寫步驟：通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立.
第五步
再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等.
評分細則 (1)求出導數(shù)給1分；
(2)討論時漏掉m＝0扣1分；兩種情況只討論正確一種給2分；
(3)確定f′(x)符號時只有結(jié)論無中間過程扣1分；
(4)寫出f(x)在x＝0處取得最小值給1分；
(5)無最后結(jié)論扣1分；
(6)其他方法構(gòu)造函數(shù)同樣給分．
跟蹤演練9 (2018·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)若f(x)存在兩個
5、極值點x1，x2，
證明：2，令f′(x)＝0，得
x＝或x＝.
當x∈∪時，
f′(x)<0；
當x∈時，f′(x)>0.
所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
(2)證明 由(1)知，f(x)存在兩個極值點當且僅當a>2.
由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0，
所以x1x2＝1，不妨設01.
由于＝－－1＋a
＝－2＋a＝－2＋a，
所以
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